1、华南理工大学数学科学学院-数学分析思考题多变量微分学1求函数 在点 的偏导数 与 ，并0,0,),( 223yxyxf ),()0,(xf),(yf考察 在点 处可微性.),(f)(2设 ， ，求 ， .uyea2 )0(2ayxdxy23 证明：若在点 的邻域 内， 存在，且在点 连续，),(0P)0PO,fx ),(0yxP又 存在，则函数 在点 可微.),(0yxf ,yxf,(y4证明：若二元函数 在点 的某邻域 内偏导数 与 有界，则 在)(0)(xfyf内连续.)(PO5 确定正数 ，使曲面 与椭球面 在某点相切（即在该点有xyz 122czbyax公共切面）.华南理工大学数学科学
2、学院-数学分析思考题解答多变量微分学1求函数 在点 的偏导数 与 ，并0,0,),( 223yxyxf ),()0,(xf),(yf考察 在点 处可微性.),(f)(证 ,1lim),(),(lim0, 30 xxfffxx2.1lim)0,(),0(lim),0( 3 yyfffyy且 20 ),(),(),(),(limyxfffxf yyx 3220)(liyxyx不存在. 所以函数 在点 处不可微.),(f)0,(2设 ， ，求 ， .uyea2 )0(2ayxdxy2解 令 ，有ayxxF22),( ， .2yFdyx2)(yadx3 证明：若在点 的邻域 内， 存在，且在点 连续，
3、),(0P)(0PO),f ),(0yxP又 存在，则函数 在点 可微.),(0yxf ,yxf,yx证 ，有)(0),( 00yxfyxfz.),(),(,(), 000 yxfyxf由已知条件，有,100000 ),(),(),(),( ffyxfyxf xx其中 ， .1)2又由已知条件，有.yyxfyxfyxf 2000 ),(),(),(于是，ffzyx2100),(),( 其中 . 即函数 在点 可微.|2121 y ),(yxf),(0yxP34证明：若二元函数 在点 的某邻域 内偏导数 与 有界，则 在f),(0yxP)(POxfyf内连续.)(PO证明 设 在 内成立. ，取
4、充分小 ，Mffyx|,| )( )(,(yxyx,使 ，且分别连接这两点到点 的两线段（完全在)(,(POy ,内）.于是)PO|),(),(| yxfyxf|),(),(| yxfxf |),(| 21yfyxf xy .)1,0(,|,| 1M因此 ，即 在 连续，故 在 内连续.)(lim0, yxfyxfyx f,yxf)(PO5 确定正数 ，使曲面 与椭球面 在某点相切（即在该点有z 122czba公共切面）.解 设两曲面的公共切点为 ，则曲面 在点 的切平面),(00zyxPxyz),(00zyxP方程为 ，椭球面在点 的切平()(00 zxzy面方程为 ，由已知它们应为同一平面，则有0)(2022 zcyba，即 . 又 ,所以020202xczyzx202ba1202czbyax，则得 ， .3122ba 3,300zy 030abczyx因此所求公共切点为或 或 或 .),(c),(cba),(cba),(c4
