1、数学综合训练(三)1已知定点 12(,0,F，N 是圆 2:1Oxy上任意一点，点 F1 关于点 N 的对称点为 M，线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P，则点 P 的轨迹是 （ B ）A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆2已知函数 ，若在区间（0，1）内任取两个实数 p，q，且 ，2()ln()fxax 不等式 恒成立，则实数 a 的取值范围是 x15 。1pfq3对于连续函数 在闭区间 上的最大值称为(),|()|fxgfxg和 函 数 ,b在闭区间 上的“绝对差” ，记为 ，则()fx与 ab()axfg= 214,)9x1394对有 10 个元素的总体1,2,3 ，10 进行
2、抽样，先将总体分成两个子总体 A1,2,3,4和 B5,6,7,8,9,10，再从 A 和 B 中分别随机抽取 2 个元素和 3 个元素组成样本，用Pij表示元素 i 和 j 同时出现在样本中的概率，则 P15 ，所有14Pij（1i j10）的和等于 10 5设 x，y，z 为实数，则 的最大值为 222xyz6设函数 1()xfae。 （1）求函数 ()fx单调区间；（2）若 0R对 恒成立，求 a 的取值范围；（3）对任意 n 的个正整数 1212,.nnaA 记（1）求证： (,)aiiAe （2）求证： 12nn6 （I） 1()xf当 0a时， ()0f， ()f在 R上是增函数当
3、 时，令 得 lna若 lnx则 x，从而 fx在区间 (,1ln)a上是增函数若 1则 ()f，从而 ()在区间 上是减函数综上可知：当 0a时， f在区间 ,上是增函数。当 0时，在区间(,l上是增函数， 在区间 l)上是减函数（II）由（I）可知：当 时， ()0fx不恒成立又当 时， ()fx在点 1lna处取最大值，且 ln(1ln)lafae令 0得 故若 x对 R恒成立，则 的取值范围是 1,（III）证明：（1）由（II）知：当 时恒有 1()0xfe成立即 xe1iaiA（2）由（1）知：1e； 21aAe； 1naAe把以上 n个式子相乘得1212nna12nAa,故 A7
4、已知数列a n满足 13)(21na（1）若方程 xf)(的解称为函数 )(xfy的不动点，求 )(1nnaf的不动点的值；（2）若 21a， 1nab，求数列 bn的通项（3）当 n时，求证： 23n648217解：（1）由方程 )(1nnaf得2()na，解得 0,nnna或 或 （2） ,13)(13)(21 nnn aa,)()(21 nnna两式相除得 ,)1(31nna即 .31nb由 21a可以得到 0b，则 .lll3nn又 ,3b得 3ll1， 1)n()(ln， 13)(nnb（ N） 。（3）当 时， 1201122nnCC132()(3)nnb当 时， 12b nb12
5、76)3(n2)1(= 270246)3(1n 068= 4 8.已知实数 上的增函数，设函数, ln3,)xayea函 数 是 区 间（1）求 a 的值并写出 的表达式；3 22(),()3().fxgf()gx（2）求证：当 ；()0,gxxe时（3）设 是否存在相等的两项？若存在，求出1*(),nn nagNa其 中 问 数 列所有相等的两项；若不存在，请说明理由。8.9 如图，过曲线 ： 上一点 作曲线 的切线 交 轴于点 ，又Cxye0(,1)PC0lx1(,0)Qx过 作 1QOPn+1Qn+1Pn P1Q1l0P0yx轴的垂线交曲线 于点 ，然后再过 作曲线 的切线 交 轴于点
6、xC1(,)Pxy1(,)PxyC1lx，又过 作 轴的垂线交曲线 于点 ， ，以此类推，过点 的2(,0)Q2C2 nP切线 nl与 轴相交于点 ，再过点 作 轴的垂线交曲线 于点 （1(,0)n1nQ 11(,)nyN ） *(1) 求 、 及数列 的通项公式；1x2x(2) 设曲线 与切线 及直线 所围成的图形面积为 ，求 的表达式；Cnl1nP nS(3) 在满足(2)的条件下, 若数列 的前 项和为 ，求证： N .SnT1nx(*)(1) 解: 由 ，设直线 的斜率为 ，则 .xyenlnknxe直线 的方程为 .令 ，得 ， 0l1y0y1 ， . .1xye(,)Pexke直线
7、 的方程为 .令 ，得 . 1l1y0y2一般地，直线 的方程为 ，n()nxnex由于点 在直线 上， .1(,0)Qxl1数列 是首项为 ，公差为 的等差数列. . n n（2）解： 11(1)(1)()()222|x xnnnnnSedyeyee . （3）证明： .121()221()nn n neeeTe e ， . 11 1nn neeT 1()1nxn要证明 ，只要证明 ，即只要证明1nx1ne证法 1：（数学归纳法） 当 时，显然 成立；n222(1)01(1)eeee 假设 时， 成立，k1()k则当 时， ，n21()kkeek而 .2(1)()()10e . .()(1)
8、keke2()keke这说明， 时，不等式也成立. n由知不等式 对一切 N 都成立. 1nTxn*证法 2: 110111()()()nn nnneCeCe .01()()()ne不等式 对一切 N 都成立. 1nTxn*证法 3:令 ,则 ,1xfee 1xfe当 时, ,0 1xf 0函数 在 上单调递增.当 时, .f,x0fxf N , , 即 .n*0f10nee .不等式 对一切 N 都成立.1ne1nTxn*10 已知双曲线 与椭圆 有公共焦点，且以抛物线2:(0,)xyCab2184y的准线为双曲线 的一条准线动直线 过双曲线 的右焦点 且与双曲线的右2yxlCF支交于 两点
9、PQ、（1）求双曲线 的方程；（2）无论直线 绕点 怎样转动，在双曲线 上是否总存在定点 ，使 恒lFMPQ成立？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由M解：（1）设 ，则由题意有：(,0)c ， ，284ca221a32b故双曲线 的方程为 ， C2yx（2）解法一：由（1）得点 为F(,0)当直线 l 的斜率存在时，设直线方程 ， ，(2)kx1(,)Py2(,)Qx将方程 与双曲线方程联立消去 得： ，(2)ykxy23430k 解得 221230 430xk23k假设双曲线 上存在定点 ，使 恒成立，设为CMPQ(,)Mmn则： 1212()()PQxmyn 12()kkx224
10、k k222222(1)43()43kknmkkn25)1(1)mn ， ，MPQ0故得： 对任意的 恒成立，2 2(4)3()0kn23k ，解得2510 nm10 m当点 为 时， 恒成立；(,)PMQ当直线 l 的斜率不存在时，由 ， 知点 使得 也成(2,3)(,)(1,0)MPQ立又因为点 是双曲线 的左顶点，(1,0)C所以双曲线 上存在定点 ，使 恒成立(1,0)解法二（略解）：当直线 l 的斜率不存在时，由 ， ， ，且点(2,3)P(,)Q在双曲线 上可求得 ，M,当直线 l 的斜率存在时，将 ， ， 代入()M124kx2143kx，经计算发现 对任意的 恒成立，从而恒有
11、成PQ0PQ3MPQ立因而双曲线 上存在定点 ，使 恒成立C(,)PQ11.定义 ,)1(, yxyxF（1）令函数 的图象为曲线 c1，曲线 c1与 y 轴交于点)94(log2xfA（0，m） ，过坐标原点 O 作曲线 c1的切线，切点为 B（n，t） （n0）设曲线 c1 在点 A、B 之间的曲线段与 OA、OB 所围成图形的面积为 S，求 S 的值；（2）当 ).,(),(,* xyFxyxNy证 明时且解：（1） F)1(故 A（0，9）4294log,)( 2)94(log22xxxf x，过 O 作 C1 的切线，切点为 ，)(f )(,ntB解得 B（ 3，6）429nt 9|
12、)1()2( 302330 xxdxS（2）令 2)1ln()(1()ln)( xhxxh 令 0l1P)1()() 22xx单调递减。,0在 0)(),0(xhxPxx时 有当有时当上单调递减。,1)(在hyxyx)1ln()l(,有时12已知数列 na中， 1，且 213nnna*(,)Nw.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1) 求数列 的通项公式；(2) 令 3nb*()N，数列 nb的前 项和为 nS，试比较 2n与 的大小；(3) 令 1ac，数列 2(1)nc的前 项和为 T求证：对任意 *，都有 2nT解：(1)由题 213n知，213nna， 由累加法，当 时，2a代入
13、，得 时，1a21()3nn又 ，故 1*3()nN（2） 时， *Nnba方法 1：当 时， ；当 时， ；12S2n21234S当 时， 3n321345678猜想当 时， n下面用数学归纳法证明：当 时，由上可知 32S成立；假设 (3)nk时，上式成立，即 123k .当 1时，左边 1122k ，所以当 nk时成立112kkk由可知当 时, 2nS *3,nN综上所述：当 时, ；当 时, 2；1当 时, 2n*()方法 2： 3nS记函数 21()()n nf所以 11(2n则 12()( )10nnnff 所以 )n由于 ，此时 ；12()(10fS12S，此时 2；2 )34，
14、此时 ；3()( )305678f32S由于， ，故 n时， ，此时 n 1)nf(f综上所述：当 时， ； 当 时, 2n,22S*)N（3） 13nnac当 时，12 133()(1)()3nnn nn.所以当 时222231()()nT 1()331nnn 且 2故对 ， 得证 *NnT13.已知函数 21()l(0).fxax(I)若函数 在定义域内单调递增，求 a的取值范围；(II)若 12a且关于 x 的方程 1()2fxb在 ,4上恰有两个不相等的实数根，求实数 b的取值范围；(III)设各项为正的数列 na满足： *11,ln2,.aN求证：12na解：（1）2()(0).xf
15、依题意 0f在 时恒成立，即 210ax在 x恒成立.则 221()xa在 0恒成立，即 minx 当 1x时， 2()1取最小值 a的取值范围是 (,1 （3）设 ()ln1,hxx，则 1()0hx在 1,为减函数，且 max(),故当 时有 ln1xa假设 *(,kN则 1ln21kk，故 *()aN从而 1ln21.naa1 12()2().nnnaa 即 ， 14.设 是定义在 上的函数，用分点)(xf,bbxxaTnii 110:将区间 任意划分成 个小区间，如果存在一个常数 ，使得和式,n0M（ ）恒成立，则称 为 上的有界变差函数.Mxffni ii11)() ni,2)(xf
16、,ba（1）函数 在 上是否为有界变差函数？请说明理由；2f,0（2）设函数 是 上的单调递减函数，证明： 为 上的有界变差函)(xba)(xf,ba数；（3）若定义在 上的函数 满足：存在常数 ，使得对于任意的 、,)(xfk1x时， .证明： 为 上的有界变2bax2121x)(f,ba差函数.解：（1） 函数 在 上是增函数， 对任意划分 ，2)(xf,0T)()1nnxff，0()()( 1121 xfxffxf nniii 取常数 ，则和式 （ ）恒成立，MMni ii1 i,2所以函数 在 上是有界变差函数. 2)(xf,0（2） 函数 是 上的单调递减函数，ba且对任意划分 ，T
17、bxxxnii 110:)()()()(10 ffff nn，)()(12111 faffx nnniii 一定存在一个常数 ，使 ，MMbaf)(故 为 上的有界变差函数. )(f,ba（3） 2121)(xkxf对任意划分 ，Tbxnii 10:，)(111 akkf niiniiniii 取常数 ，)(abk由有界变差函数定义知 为 上的有界变差函数. (xf,b15.已知常数 a 为正实数，曲线 总经过nnn LyxPxyC处 的 切 线在 其 上 一 点 ),(:定点( ,0) *)(N(1) 求证：点列： 在同一直线上nP,21(2) 求证： iiyan1)l( *)(N解：（1）
18、法一： xnnxfxf 212)(的斜率nn LyPyC处 的 切 线在 点 ,: nnnxfk21)()(21 : nnn xL的 方 程 为上总 在 直 线上在 曲 线又经 过 点 axnaPnayxxCP xaayan nnn),( , )(21)()0,(即 在同一直线 x=a 上 21(2) 解：由（1）可知 iyifyin 1)(2)1()12()01(2 ),2( 2nniiya niininni LL设函数 F(x)= 0(,0,lFxx有)1ln()1ln()2l3(nl121)( ll,l)ln()(,ln1 . ln)1l(1l,3,2( )l(0 0)(01,)( )1,0(21(21211 2 iif fff iiifixxFxF xxni LL L 综上所述有 niiya1)l
