1、必修2第二章 直线与圆 专题讲解,专题1待定系数法的应用,例1已知直线经过点P(2，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为1，试求直线的方程。,解：设所求的直线方程为,由题意有,解之得 或,将a，b的值代回原方程，,所以所求的直线方程是x+2y2=0或2x+y+2=0.,例2有一圆与直线l：4x3y+6=0相切于点A(3，6)，且经过点B(5，2)，求此圆的方程。,解1：设圆的方程为(xa)2+(yb)2=r2， 则圆心为C(a，b)，由|CA|=|CB|，CA直线l，得,解得,所以圆的方程为,解2：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 由A、B在圆上，且CA直线l，得,解得,所以圆的方
2、程是x2+y210x9y+39=0.,解3：由题意可设圆的方程为 (x3)2+(y6)2+(4x3y+6)=0，,例2有一圆与直线l：4x3y+6=0相切于点A(3，6)，且经过点B(5，2)，求此圆的方程。,又因为此圆经过点B(5，2)， 将坐标(5，2)代入解得=1，,所以圆的方程为x2+y210x9y+39=0.,例3已知圆C和y轴相切，圆心在直线x2y=0上，且被直线y=x截得的弦长为 ，求圆C的方程。,解：因为圆心在直线x2y=0上， 可设圆心的坐标为(2t，t)，,圆与y轴相切，所以r=|2t|，,即圆的方程为(x2t)2+(yt)2=4t2，,圆心到直线xy=0的距离,弦长为,所
3、以,解得,所以圆的方程是,或,专题2对称问题,例4求直线3xy4=0关于点P(2，1)对称的直线l的方程。,解1：设直线l上任意一点为(x，y)，,则其关于P(2，1)的对称点为(4x，2y)，,该点在直线3xy4=0上，,所以3(4x)(2y)4=0，,即3xy10=0为所求的直线方程。,例4求直线3xy4=0关于点P(2，1)对称的直线l的方程。,解2：因为直线l的方程与直线3xy4=0平行，,设直线l的方程为3xy+b=0，,P点到两直线的距离相等，,所以,解得b=10或b=4(舍去)，,所以直线l的方程是3xy10=0.,例5如果直线y=ax+2与直线y=3xb关于直线y=x对称，那么
4、（ ） （A）a= ，b=6 （B）a= ，b=6 （C）a=3，b=2 （D）a=3，b=6,解：直线y=ax+2关于直线y=x对称的直线方程是x=ay+2，,即y=,与y=3xb比较解得,A,a= ，b=6.,所以选A .,专题3数形结合思想,例6已知实数x，y满足x2+y24x+1=0， （1）求 的最大值和最小值； （2）求x2+y2的最大值和最小值。,解：（1）实数x，y满足x2+y24x+1=0， 所以点P(x，y)在圆(x2)2+y2=3上，,的几何意义是圆上的点P(x，y)与原点连线的斜率，,设过原点的直线的斜率为k，,则y=kx，其中斜率k的最值为圆的两条切线的斜率,由圆心(
5、2，0)到直线y=kx的距离等于半径,得,解得,所以 的最大值是 ，最小值是 .,例6已知实数x，y满足x2+y24x+1=0， （2）求x2+y2的最大值和最小值。,解：（2）x2+y2的几何意义是原点到圆上任意一点的距离的平方，,圆心(2，0)到原点的距离为2，,所以最远点到原点的距离为2+,最近点到原点的距离为2,所以x2+y2的最大值是7+4 ，最小值是74 .,例7已知a，b满足a+b=3， 求 的最小值。,解：由题意知点P(a，b)是直线x+y3=0上一点，,表示的是直线x+y3=0上的点P(a，b)到A(5，2)的距离，,因为A(5，2)到直线x+y3=0的最短距离是,例8已知直
6、线l：y=x+b与曲线C： 有两个公共点，求实数b的取值范围。,解：方程y=x+b表示斜率为1的平行直线系,方程 表示的是单位圆位于x轴及其上方的半个圆，如图所示，,当直线l通过A(1，0)和B(0，1)点时，l与C有两个交点，此时b=1 ，,当直线l与半圆相切时，即b= 时，l与C有一个公共点，,所以当1b 时， 直线l与半圆C有两个公共点。,例9在坐标平面内，与点A(1，2)的距离等于1，且与点B(3，1)的距离等于2的直线共有（ ）（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条,解：与点A(1，2)的距离等于1的点在圆(x1)2+(y2)2=1上，,与点B(3，1)的距离等于2的点在圆(x3)2+(y1)2=4上，,同时满足两个条件的直线应是两个圆的公切线。,这两个圆的位置关系是相交，只有两条外公切线，所以选B.,
