1、1高中数学必修 5 知识点第一章 解三角形1、正弦定理：在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边， 为 的外CAabcACRCA接圆的半径，则有 正弦定理的变形公式：a=_，b=_，c=_；sinA=_ ，sinB= _，sinC=_； ；:_abc _sinisnCA在正弦定理中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：(1)三内角和为 180 (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(3)面积公式：S= absinC= =2R2sinAsinBsinC 21Rabc4(4)三角函数的
2、恒等变形。如：sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC ，sin =cos ，cos =sinBA2CBA2C使用正弦定理解三角形共有三种题型题型 1 利用正弦定理公式原型解三角形题型 2 利用正弦定理公式的变形(边角互化) 解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。例如： 2222sin3sisin3ABCabc题型 3 三角形解的个数的讨论方法一：画图看方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。2、三角形面积公式： 11sinsisin22CSbcabCcA3、余弦定理：在 中，有 ， ，CA2_a2
3、_b2_c4、余弦定理的推论：， ， oscos_cos_C使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型题型 1 利用余弦定理公式的原型解三角形题型 2 利用余弦定理公式的变形(边角互换) 解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。题型 3 判断三角形的形状结论：根据余弦定理，当 a2+b2c 2、b 2+c2a 2、c 2+a2b 2 中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当 a2+b2c 2、b 2+c2a 2，c 2+a2 b2 中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论。判断三角形形状的方法：(1)将已
4、知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。(2)将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用 A+B+C= 这个结论。在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解。正、余弦定理在实际中的应用两点间不可通又不可视两点间可视但不可达两点都不可达求距离底部可达 底部不可达求高度题型 1 计算高度 题型 2 计算距离 题型 3 计算角度 题型 4 测量方案的设计实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型，再通过正
5、弦定理和余弦定理进行求解。5.其他常见结论2(1) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j三角形内切圆的半径： ，2Srabc特别地， 斜直(2) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j三角形中的射影定理：在ABC 中， ，AcCabos(3) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两内角与其正弦值：在ABC 中， ，BBAini(4)、射影定理： cos,sc,oscbaaBbA(5)、设 、 、 是 的角 、 、 的对边，则：若 ，则 ；abC2290C若 ，则 ；若 ，则 22c9022abc90C附：1. 三角形的五个“心” ；重心：三角形三条中线交点.外
6、心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.2. 到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心，其余 3 个是旁心3. 平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和. )(22baba第二章 数列1、数列：按照_排列着的一列数2、数列的项：数列中的_3 项数 n. 如 3,6,9,12,15,18 a4=_ n=_4、有穷数列：项数_的数列5、无穷数列：项数_的数列6、递增数列：从第 2 项起，每一项都_它的前一项的数列即： 10na*n7、递减数列：从第 2
7、 项起，每一项都_它的前一项的数列即： 1n*n8、常数列：各项_的数列9 正项数列：各项_的数列10、摆动数列：从第 2 项起，有些项_它的前一项，有些项_它的前一项的数列11、数列的通项公式：表示数列 的_之间的关系的公式na12、数列的递推公式：表示任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系的公式1na13、 31 若_,则 qpnmaa若 是等差数列，且 _（n、 、 ） ，则p*q2npq2 na= mn若_，则 qpnma。若 是等比数列，且n（ 、 、 ） ，则2pq*_ mnna22 若 nk成是等差数列（其中 Nkn）,则 nka也是等差数列。若 k成等比数列 （其中 Nkn
8、） ，则 nk成等比数列。3 nnss232, 成等差数列。 nss232,成等比数列。4 )(1mnanad1aqn， mnaq )(性质5 若公差 ，则为递增等差数0列，若公差 ，则为递减等差数列，若公差 ，则为常数列。若 ，则 为递增0,n数列；若 , 则 为递1减数列；若 ，则1q为递减数列；若na, 则 为递增数10,na列；若 ，则 为摆动数列；q若 ，则 为常数列.n6 若等差数列 、 的前 和nabn分别为 、 ，且 ，则nAB()f. 21()nnab如果数列 既成等差数列又成等比na数列，那么数列 是非零常数数列，故常数数列 仅是此数列既成等差n数列又成等比数列的必要非充分
9、条件。等差数列 等比数列定义 如果一个数列从第 2 项起，_，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的_如果一个数列从第 项起，_，2则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的_通项公式na= 1+_= ka+_= d+ d1nqa（ 0,）, mnqa中项 2knaA（）,0N、任意两数 a、 b 一定有等差中项 A= 2（(0)nknkGa）,N、任意两数 a、 b 不一定有等比中项，除非有ab0，则等比中项一定有两个 .Gab前 n项和 ndadsn)(2)1(121)2(1)(1qaqanSn判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法 :对于 n2 的任意自然
10、数,验证 )(1nna为同一常数。(2)通项公式法。 (3)中项公式法: 验证 212nnaN2都成立。47 “首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；n“首负”的递增等差数列中，前 项n和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组 确0011nna或定出前多少项为非负（或非正） ；法二：因等差数列前 项是关于 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 。*N正数列 na成等比的充要条件是数列 xlog（ ）成等差0,1x数列.如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公
11、共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究 .nmab数列 na的前 项和 nS与通项 na的关系： )2(11sann5.常用结论(1) 1+2+3+.+n = _ (2) 1+3+5+.+(2n-1) =_(3) 23311+2()n(4) 216n(5) 1)(1nn ； )2()2(n6.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。如已知数列试写出其一个通项公式：_,.321967,8543已知 （即 ）求 ，用作差法：nS2()naafna。如 已知 的前 项和满足 ，求 = 1,()na2log(1)nSna；数列 满足 ，求 = .n1215naana已知 1
12、()fL求 ，用作商法： 。如数列 中， 对所有的na(1),2)nfanna,1都有 ，则 _； = . 22321.53a若 求 用累加法：()nfn 1221()()()nnna。 如已知数列 满足 ， ，则1a()1(=_.n已知 求 ，用累乘法： 。如已知数1()nfna1212naa()n列 中， ，前 项和 ，若 ，求 = .na2Sn2已知递推关系求 ，用构造法（构造等差、等比数列） 。特别地， （1）形如n、 （ 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比1nkb1kab,k为 的等比数列后，再求 。如已知 ，求 = ；已知11,3nana，求 = ；（2）形如 的递推数
13、列都可以用倒11,32nna 1kb数法求通项。如已知 ，求 = ； 已知数列满足 =1，11,3nan 1a，求 = .1nnn注意：（1）用 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（1S，当 时， ） ；（2）一般地当已知条件中含有 与 的混合关系时，常2a naS需运用关系式 ，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解。1nn如数列 满足 ，求 = .1154,3nSan7.数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与 1 的关系，必要时需分类讨论.； 如（1）等比数列 的前na项和 S 2 ，
14、则 _；(2）已知数列 的前 n 项和n 2232.naa，求数列 的前 项和 （答： |nT2*(6,)7nN（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在5一起，再运用公式法求和. 如求： = 1357.(1)2nnS（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 和公n式的推导方法）. 如 已知 ，则2()1xf_11(1)2(3)4()()234ffff（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相
15、减法（这也是等比数列前 和公式的推导方法）. 如（1）设 为nna等比数列， ，已知 ， ，求数列 的首121().n nTaa1T24项和公比；求数列 的通项公式.； n（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ； ；(1)n()()knk ， ；2 1(kk2111()k .2() nnn如（1）求和： ；（2）在数列 中，11.47(32)()na，且 S ，则 n_；nan（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如求数列 14，25，36， ，前 项和 = ；求和：()n
16、nS.1.23nL第三章 不等式1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义： .0;0;0 bababa（2） 不等式的分类：绝对不等式： ；（3） 条件不等式： ；（4） 矛盾不等式： .（5） 同向不等式： ；（6） 与异向不等式： .（7） 同向正值不等式： ；（8） 同解不等式与不等式的同解变形： .（9） 绝对值不等式： .2.不等式的基本性质（1） ab（反对称性）（2） c,（传递性）（3） （加法单调性）（4） dd,（同向不等式相加）（5） bcacba0.（ 6） ,（乘法单调性）（ 7） dd（同向正值不等式相乘）（8） )1,(0nZban且 （平方法则）（ 9）
17、 且 （开方法则）1(1),ab（倒数关系）移项法则3.几个重要不等式（1） 0,|,2aR则若（2） )2|(2abbb或则、若 或 （当仅当 a=b2,baR时取等号）（3）如果 a,b 都是正数 ，则 称为正数 、 的算术平均数， 称为正数 、 的2a ab几何平均数均值不等式定理： 若 ， ，则 ，即 0b2bab（当仅当 a=b 时取等号）（4）极值定理：若 ,xyRSxyP则：若 （和为定值） ，则当 时，积 取得最大值 xys24s若 （积为定值） ，则当 时，和 取得最小值 pxyxyp利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 63,abccR(4)若 、 、 则
18、（当仅当 a=b=c 时取等号）02b5若 则（当仅当 a=b 时取等号） 2(6)| ;|axxaxax时 ， 或（7） |, bba则、若（8） 若 ，则 （糖水的浓度问题）0bm4.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果 a,b 都是正数，那么 22.1ab（当仅当 a=b时取等号）即：平方平均算术平均几何平均调和平均（a 、 b 为正数）：特别地，2()ab（当 a = b 时，2()a）,(322 时 取 等cRcc常用不等式的放缩法： 21111;(2)()()nnnn 1()11n5、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式 24bac000二次函数
19、 2yax的图象0一元二次方程 2axb的根0c有两个相异实数根 1,2a12x有两个相等实数根 12bxa没有实数根20axbc12xx或 2bxaR一元二次不等式的解集 2xc0a12x若二次项系数为负，先变为正6. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式） ；（3）分析法；综合法（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8) 图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 7、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差
20、（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小，然后作出结论。).8 .不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结） ，定解.特例 一元一次不等式 axb 解的讨论；一元二次不等式 ax2+bx+c0(a0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()0()()0()0;fxgfxfxfgg （3）无理不等式：转化为有理不等式求解()()ffxxg定 义 域 10)()(0)(2xfxfgf 或 2)(0)(xgfxgf 2 3（4）.指数不等式：转化为代数不等式 ()() ()()1;1()0,()lgfxg f
21、xgafaafbb（5）对数不等式：转化为代数不等式7()0()0log()l()1;log()l()01aa aafx fxfxgfxg （6）含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想； 1 2应用化归思想等价转化 3 )()(0)(,0)(|)(| xgfxfgxgfxgxf 或或不 同 时 为9、线性约束条件：由 ， 的不等式（或方程）组成的不等式组，是 ， 的线性约束y y条件目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量 ， 的解析式xy线性目标函数：目标函数为 ， 的一次解析式x线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解 ,y可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解
