数学必修五知识点总结.doc

1、梅花香自苦寒来第 1 页 共 10 页数学必修五知识点总结第一章 解三角形1、正弦定理：在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边， 为 的外接圆的半径，则有CAabcACRCA2sinisinabcR2、正弦定理的变形公式： ， ， ；xuebasin2sinR2sinc ， ， ； ；iibc:ab sinsinisiniacaCCAA（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和 其中一边所对的角，求其余 的量。2 、已知两角和一边，求其余的量。 ）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。 （一解、两解、无解三中情况）如：在三角形 AB C 中，已知 a、b、A（A 为锐角）

2、求 B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把 a 扰着 C 点旋转，看所得轨迹以 AD 有无交点：当无交点则 B 无解；当有一个交点则 B 有一 解；当有两个交点则 B 有两个解。法二：是算出 CD=bsinA,看 a 的情况： 当 ab 时，B 有一解注：当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。3、三角形面积公式： 11sinsisin22CSbcabCcA4、余弦定理：在 中，有 ， ，2oA2cosa22coscab5、余弦定理的推论： ， ， 22bcaA22oscba22osbcCa(余弦定理主要解决的问题：1 、已知两边和夹角，求其余的量。 2、已知三边求角)6、如何判断三角形

3、的形状：设 、 、 是 的角 、 、 的对边，则：若 ，则 ；abcCA22bc90C若 ，则 ； 若 ，则 22abc90C2290附：三角形的五个“心” ；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.7用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型xueba测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题 等2实际问题中的常用角xueba(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1) (2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水

4、平角，如 B 点的方位角为 (如图(2) (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45，西偏东 60等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数一个步骤3.解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等两种情形4.解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)

5、实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组) ，解方程(组)得出所要求的解例 1、一船向正北航行，看见正西方向相距 10 海里的两个 灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60，另一灯塔在船的南偏西 75，则这艘船的速度是每小时( )A5 海里 B5 海里3C 10 海里 D10 海里3DbsinAAb aC梅花香自苦寒来第 2 页 共 10 页解析 如图所示，依题意有BAC60 ， BAD75，所以 CAD CDA15，从而 CD

6、CA10(海里) ，在 RtABC 中，得 AB5( 海里) ，于是这艘船的速度是 10(海里/时)50.5答案 C例 2、如图所示，xueba为了测量河对岸 A，B 两点间的距离，在这岸定一基线 CD，现已测出 CDa 和 ACD60，BCD30， BDC105，ADC 60，试求 AB 的长审题视点 在BCD 中，求出 BC，在ABC 中，求出 AB.解 在ACD 中，已知 CDa，ACD60，ADC60 ，所以 ACa.BCD30，BDC105CBD 45在BCD 中，由正弦定理可得 BC a.xuebaasin 105sin 45 3 12在ABC 中，已经求得 AC 和 BC，又因为

7、ACB30 ，所以利用余弦定理可以求得 A，B 两点之间的距离为 AB a.AC2 BC2 2ACBCcos 3022例 3、如图，A ，B，C，D 都在同一个与水平面垂直的平面内， B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75，30，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60，AC0.1 km.试探究图中 B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离解 在ACD 中， DAC30， ADC60DAC30，所以 CDAC0.1 km.又 BCD180606060 ，故 CB是CAD 底 边 AD 的中垂线，所以 BDBA

8、.又 ABC15在ABC 中， ，ABsinBCAACsinABC所以 AB (km)，ACsin 60sin 15 32 620同理，BD (km)32 620故 B、D 的距离为 km.32 620例 4、如图，在ABC 中，已知B45 ， D 是 BC 边上的一点，AD10，AC 14，DC 6 ，求 AB 的长解 在ADC 中，AD 10，AC14，DC6，由余弦定理得 cosADCAD2 DC2 AC22ADDC ， ADC120，ADB 60.100 36 1962106 12在ABD 中，AD 10 ，B45，ADB60 ，由正弦定理得 ，ABsinADB ADsin BAB 5

9、 .ADsinADBsin B 10sin 60sin 4510 3222 6第二章 数列1、数列：按照一定顺序排列着的一列数2、数列的项：数列中的每一个数3、有穷数列：项数有限的数列4、无穷数列：项数无限的数列5、递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列6、递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列梅花香自苦寒来第 3 页 共 10 页7、常数列：各项相等的数列8、摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列9、数列的通项公式：表示数列 的第 项与序号 之间的关系的公式nan10、数列的递推公式：表示 任一项 与它的前一项 （或前几

10、项）间的关系的公式1a11、如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差12、由三个数 ， ， 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则 称为 与 的等差中项若 ，aAb Aab2acb则称 为 与 的等差中项bc13、若等差数列 的首项是 ，公差是 ，则 n1ad1nad通项公式的变形： ； ； ； ；nmn 1na1nadnmad14、若 是等差数列，且 （ 、 、 、 ） ，则 ；若 是等差数列，且n pqp*qmnpqaan（ 、 、 ） ，则 ；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续 m 项和构成的数2pq*2

11、na列成等差数列。15、等差数列的前 项和的公式： ； n12nnS12nSad16、等差数列的前 项和的性质： 若项数为 ，则 ，且 ，*21nnSnd偶 奇 若项数为 ，则 ，且 ， （其中1nSa奇偶 *21n21nnSana奇 偶 1奇偶， ） n奇 na偶17、如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为2等比数列的公比18、在 与 中间插入一个数 ，使 ， ， 成等比数列，则 称为 与 的等比中项若 ，则称 为abGabGab2Gab与 的等比中项19、若等比数列 的首项是 ，公比是 ，则 n1q1na20、通项公式的变形： ；

12、 ； ； nma11n1naqnmaq21、若 是等比数列，且 （ 、 、 、 ） ，则 ；若 是等比数列，且namnpqnp*qmnpqana（ 、 、 ） ，则 ；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续 m 项和构成的数列2pq*2qa成等比数列。22、等比数列 的前 项和的公式： na11nnnSaqaq时， ，即常数项与 项系数互为相反数。1q1nnaSqn23、等比数列的前 项和的性质： 若项数为 ，则 】*2Sq偶奇 ， ， 成等比数列nnmmSqSn2nS32n24、 与 的关系：na1naS一些方法：一、求通项公式的方法：1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法若相邻两项相减后

13、为同一个常数设为 ，列两个方程求解；bkna若相邻两项相减两次后为同一个常数设为 ，列三个方程求解；c2若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为 ，q 为相除后的常数，列两个方程求解；n2、由递推公式求通项公式：若化简后为 形式，可用等差数列的通项公式代入求解；dan1若化简后为 形式，可用叠加法求解；),(f若化简后为 形式，可用等比数列的通项公式代入求解；qn1若化简后为 形式，则可化为 ，从而新数列 是等比数列，用等比bka )()(1xakxnn xan数列求解 的通项公式，再反过来求原来那个。 （其中 是用待定系数法来求得）xn3、由求和公式求通项公式：梅花香自苦寒来第 4 页 共 1

14、0 页 检验 ，若满足则为 ，不满足用分段函数写。1Sa1nnSana是 否 满 足1 na4、其他（1） 形式， 便于求和，方法：迭加；1nff例如： na有： 1 23111441342nna naa 各 式 相 加 得（2 ） 形式，同除以 ，构造倒数为等差数列；例如 ： ，则1nn 112nnaa，即 为以-2 为公差的等差数列。11nnaana（3 ） 形式， ，方法：构造： 为 等比数列；qmq1nnaxqx例如： ，通过待定系数法求得： ，即 等比，公比为 2。12n 22na（4 ） 形式：构造： 为等比数列；来源:数理化网apr 1nnxyxy（5 ） 形式，同除 ，转化为上

15、面的几种情况进行构造；1nnqp因为 ，则 ，若 转化为（ 1）的方法，若不为 1，转 化为（3）的方法1nna1nnaqqp二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）若 ，则 有最大值，当 n=k 时取到的最大值 k 满足01dnS 01ka若 ，则 有最小值，当 n=k 时取到的最大值 k 满足1an 1k三、数列求和的方法：叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如： ；213nna分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：， 等；11n

16、an1122nann一项内含有多部分的拆 开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：等；2n四、综合性问题中等差数列中 一些在加法和乘法中设一些数为 类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差；da和等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为 类型，这样可以相乘约掉。q和附：数列求和的常用方法1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于 1nac其中 n是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理 数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于 b其中 n是等差数列， nb是各项不为 0 的等比数列。4.倒序相加法: 类似于等差数列前

17、 n 项和公式的推导方法.5.常用结论1） : 1+2+3+.+n = 2)1(n 2） 1+3 +5+.+(2n-1) = 2n 3）233)1(21n4） )1(632 n 5） 1)(n )2()2(6） )()1(1qpqp例 1、已知数列a n的通项为 an= ,求这个数列的前 n 项和 Sn .()解：观察后发现：a n= 1121()()31nsann例 2：已知数列a n的通项公式为 ，求这个数列的前 n 项之和 。2na ns梅花香自苦寒来第 5 页 共 10 页解：由题设得： 123nnsaa= 2n即= ns123n把式两边同乘 2 后得= 2ns23412n用-，即：=

18、 ns123n= 2412得 23111()()2nnnns 1ns例 3. 求和 Sn= 2223n解: 由 得1)1(3kk,令 k=1、2 、3、n 得22 1 =31 31 133 2 32 32124 3 33 33 1（n+1） n =3n +3n+132把以上各式两边分别相加得：（n+1） 1=3(1 +2 +n )+3(1+2+3+n)+n322=3Sn+ n(n+1)+n因此，S n n(n+1)(2n+1)61例 4、已知数列：1， 21， 41， 8142， 1241n ，求它的前 n 项的和 Sn 解： an1 4 1n nn21 an2 1n则原数列可以表示为：(21

19、) ， 21， 2， 31， 12n前 n 项 和 Sn (21) 2 2n 121n2n 21n2n2 n 1n2n2例 5、设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn )()21(*Nna，b na n2n，求数列b n的前 n 项和 Tn解：取 n1 ，则 a1 2)(a11又 Sn 2)(可得： n 2)(an1(nN *) an2n1Tn12 32 252 3 (2n1)2 n 2Tn 12232 352 4 (2n1)2 n1 得：、 Tn2 2 32 42 52 n1 (2n1)2 n12 1)(n(2n1)2 n1 6 (1n)2 n2Tn6 (n1)2 n2梅花香自苦寒

20、来第 6 页 共 10 页例 6、设数列a n的前 n 项和为 Sn2n 2，b n为等比数列，且 a1b 1，b 2(a2a 1)b 1. 求数列a n和 bn 通项公式 设 Cn ba，求数列C n前 n 项和 Tn 解：（1）当 n1 时 a1S 12，当 n2 时，a nS nS n1 4n2，故a n通项公式为 an4n2，即a n是a12，d 4 的等差数列，设b n的公比为 q，则 b1qdb 1，d4， q 41，故 bnb 1qn1 4（2 ） Cn ba 14)2(14nTnC 1C 2 C n134 54 2（2n1）4 n14Tn1434 254 3（ 2n3 ）4 n

21、n （2n1 ）4 n两式相减 3Tn 54)6(1n Tn 54)(9第三章 不等式1、 ； ； 0ab0ab0ab比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。2、不等式的性质： ； ； ；,cabc ， ； ；,0abcabc,0ab,cdd ； ；dd1nn ,1nn3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式24、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式 24bac000二次函数 2yx的图象0a一元二次方程 20axbc的根0有两个相异实数根 1,2bxa有两个相等实数根 12bxa没有实数根20axbc1

22、2x或t 2xR一元二次不等式的解集 20a125、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是 的不等式16、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式 组的 和 的取值构成有序数对 ，所有这样的有序数对xy,xy构成的集合,xy8、在平面直角坐标系中，已知直线 ，坐标平面内的点 0xyCA0,xy若 ， ，则点 在直线 的上方00xy,CA若 ， ，则点 在直 线 的下方0xyxy9、在平面直角坐标系中，已知直线 CA若 ，则 表示直线 上方的 区域； 表示直线0xyxy0xyCA下方的区域xyCA若 ，则 表示直线 下方的

23、区域； 表示直线0xy0xyCAxy上方的区域0xy10 线性约束条件：由 ， 的不等式（或方程）组成的不等式组，是 ， 的线性约束条件目标函数：欲达到最大xy xy值或最小值所涉及的变量 ， 的解析式线性目标函数：目标函数为 ， 的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解 ,xy可行域：所有可行解组成的集合梅花香自苦寒来第 7 页 共 10 页最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解11、设 、 是两个 正数，则 称为正数 、 的算术平均数， 称为正数 、 的几何平均数ab2abababb12、均值不等式定理： 若 ， ，则

24、，即 0213、常用的基本不等式： ； ；2,abaR2,abR ； 20,b 22,ab14、极值定理：设 、 都为正数，则有xy若 （和为定值） ，则当 时，积 取得最大值 sxyx24s若 （积为定值） ，则当 时，和 取得最小值 xypp一元二次不等式的求解：特例 一元一次不等式 axb 解的讨论；一元二次不等式 ax2+bx+c0(a0)解的讨论.0 0 0二次函数 cbxay2（ 0）的图象一元二次方程的 根02acbx有两相异实根 )(,212x有两相等实根 abx21无实根的 解 集)(221或 R的 解 集)0(2acbx21x对于 a0(或 )(f0)的实根的分布常借助二次

25、函数图像来分析：设 ax2+bx+c=0 的两根为 ，f(x)=ax 2+bx+c,那么：、若两根都大于 0，即 ，则有,00若两根都小于 0，即 ，则有,002()baf若两根有一根小于 0 一根大于 0，即 ，则有(0)f对称轴 x= 2bayo x对称轴 x= 2bao xyoyx梅花香自苦寒来第 8 页 共 10 页若两根在两实数 m,n 之间，即 ，mn则有 02()0bmnaf若两个根在三个实数 之间，即 ，mtn则有()0fmtfn35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是 的不等式136、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组37、二元一 次不等式（

26、组）的解集：满足二元一次不等式组的 和 的取值构成有序数对 ，所有这样的有序数xy,xy对 构成的集合,xy38、在平面直角坐标系中，已知直线 ，坐标平面内的点 0xyCA0,xy若 ， ，则点 在直线 的上方00xyCA,xyCA若 ， ，则点 在直线 的下方0xy39、在平面直角坐标系中，已知直线 CA（一）由 B 确定：若 ，则 表示直线 上方的区域； 表示直线00xyCA0xy 0xyCA下方的区域xy若 ，则 表示直线 下方的区域； 表示直线xyxyCAxy上方的区域0xyCA（二）由 A 的符号来确定：先把 x 的系数 A 化为正后，看不等号方向：若是“” 号，则 所表示的区域为直

27、线 l: 的右边部分。0xy0xyCA若是“” 号，则 所表示的区域为直线 l: 的左边部分。0xyCA0xyCA（三）确定不等式组 所表示区域的步骤：画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线定测：由上面（一） （二）来确定求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。40、线性约束条件：由 ， 的不等式（或方程）组成的不等式组，是 ， 的线性约束条件xy xy目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量 ， 的解析式xy线性目标函数：目标函数为 ， 的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解 ,xy可行域：所有可行解组成的集合最优

28、解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解41、设 、 是两个正数，则 称为正数 、 的算术平均数， 称为正数 、 的几何平均数ab2abababb42、均值不等式定理： 若 ， ，则 ，即 0243、常用的基本不等式： ； ； ；2,abaR2,abR20,ab 22,b44、极值定理：设 、 都为正数，则有：xy若 （和为定值） ，则当 时，积 取得最大值 若 （积为定值） ，则当 时，和xysxyx24sxypxy取得最小值 2p例 1、求不等式 的解集。3680x解：将原不等式因式分解为： (2)1(4)0xx由方程： 解得(2)14x23,4x将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如

29、图X= 2ban xmoyX= 2bayo m t n x梅花香自苦寒来第 9 页 共 10 页由图可看出不等式 的解集为： 23680x|21,4xx或例 2、已知 ，求函数 的最大值。541()425fx解： ， 由原式可以化为：x111()52(4)3(54)345532f xxxx当 ，即 时取到“=”号1542()1x3(x， 或 舍 去 ）也就是说当 时有xmaf例 3、求解不等式： |2|3|0x解：零点分类讨论法：分别令 0x和解得： 32和在数轴上，-3 和 2 就把数轴分成了三部分，如右上图当 时， （去绝对值符号）原不等式化为：x()310123x3x当 时， （去绝对值

30、符号）原不等式化为：2x3()102xR2x当 时， （去绝对值符号）原不等式化为：2x()31029xx由得原不等式的解集为： （注：是把的解集并在一起）19|2x函数图像法：令 ()|2|3|fxx则有：1()()522fx在直角坐标系中作出此分段函数及 的图像如图()10fx由图像可知原不等式的解集为： 9|2例 4、若方程 有两个正实数根，求 的取值范围。22(1)30xmxm解：由型得0224()(3)00m1,3或 所以方程有两个正实数根时， 。3例 5、方程 的一根大于 1，另一根小于 1，求 的范围。2210xm解：因为有两个不同的根，所以由 ()0f2()4)0m521m1例

31、 6、( 山东省烟台市 2012 届高三上学期期末文科) 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示） ，如果池四周围墙建造单价为 400 元/ 米，中间两道隔墙建造单价为 248 元/ 米，池底建造单价为 80 元/ 米 2，水池所有墙的厚度忽略不计.（1 ）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总 造价；（2 ）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低.解：（1）设污水处理池的宽 为 米，则长为 米.xx162则总造价 f(x)=400（ ）+2482x+80162 x162=

32、1 296x+ +12 960=1 296（ ）+12 9601 2962 +12 960=38 880（元） ， 12960x0x10+ +-2 1 4 x32 x9225 =10()fxy3o 2 x梅花香自苦寒来第 10 页 共 10 页当且仅当 x= (x0),即 x=10 时取等号. x10当长为 16.2 米，宽为 10 米时总造价最低，最低总造价为 38 880 元. （2 ）由限制条件知 , 1620x8016x设 g(x)= （ ）. g（x）在 上是增函数，,80当 x=10 时(此时 =16), g(x)有最小值，即 f(x)有最小值 . 81x62当长为 16 米，宽为

33、 10 米时，总造价最低. 81例 7、画出不等式组 表示的平面区域.0342yx， ，解：把 ， 代入 中得0xy2yx02 不等式 表示直线 下方的区域（包括边界） ，0yx即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示例 8、求不等式组 所表示的平面区域的面积1xy解：不等式 可化为 或 ；)1(xy)1(2xy不等式 可化为 或 xy00在平面直角坐标系内作出四条射线， )1(AB： )1(2xyAC：，0xyDE： 0DF：则不等式组所表示的平面区域如图 由于 与 、 与 互相垂直，所以平面区域是一个矩形根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的ABCDEF两条边的长度分别为 和 所以其面积为 2323例 9、若 、 满足条件 求 的最大值和最小值xy.014yx， yxz解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示作直线 ，即 ，它表示斜率为 ，纵截距为 的平行直线系，当它在可行域内zyxl2: zx21212z滑动时，由图可知，直线 过点时， 取得最大值，当 过点 时， 取得最小值 l lB182maxz minz