1、 离散数学教程教案与习题解析 理工学院 段景辉第 0 章 准备知识0.1 集合、命题、谓词和运算0.1.1 集合集合是由确定的、互相区别的、并作整体识别的一些对象组成的总体。通常用表示一个集合，其中 是集合中的对象，对象间用逗号分开。 人们还把所有成员均为集合的集合称作集合族(collections of sets)。 0.1.2 命题与谓词逻辑学把“对事物作出确定判断的陈述句”称作命题，当判断正确或符合客观实际时，称该命题真(true)，否则称该命题假(false)。 “真、假”常被称为命题的真值。个断言常常涉及若干对象以及它们的性质或关系，前者是断言的“主语” ，后者是断言的“谓语” 。因
2、此，逻辑学把断言中关于对象基本性质或相互关系的语言成分称为谓词。谓词通常用带有空位的大写拉丁字母（或字母串）来表示，例如，用 P( )表示“小于等于零” ，QR( , ) 表示“与 的平方和等于 1”，ADD( , , ) 表示“与的和等于” 。为了增加可读性，可用变元去填满空位，例如，P(x)，QR(x,y)，ADD (x,y,z),读作 “x满足性质 P”， “x,y 满足关系 QR”， “x,y,z 满足关系 ADD”。含有 n 个空位（或变元）的谓词，称为 n 元谓词。当谓词的空位或变元处填以确定的对象后，便可判别其真假，即可得到一个命题。一般地，n 元谓词 P(x1,xn)填满对象后
3、的表达式 P(t1,tn)，常称为谓词填式，表示:对象序列 t1,tn满足 n 元谓词 P(x1,xn)，或对象序列 t1,tn具有性质 P、或关系 P。上文介绍的谓词，如 P(x)，QR(x,y)，ADD(x,y,z)都是所谓前置表示形式。一些大家熟知的对象间的关系，把关系符号放在空位的中部，例如，xy，uv。它们也是谓词，只是使用关系符号中置的形式来表示。0.1.3 集合的表示集合的表示方式主要有以下三种：列举法、描述法和归纳法。一、列举法：表示一个集合 A 时，可将 A 中元素一一列举在一个大括号中，或列出足够多的元素以反映 A 中成员的特征，其表示形如Aa 1,a2,an或 A=a 1
4、,a2,a3,二、描述法；表示一个集合 A 时，将 A 中元素的特征性用一个谓词来描述，其表示形离散数学教程教案与习题解析 理工学院 段景辉式如A =x P(x)或 A =x：P(x)B = Q(x1,x2,xn)或 B =：Q(x 1,x2,xn)其中表示 n 个对象的序列 x1,xn。集合理论约定，每一个谓词确定一个集合。它被称为概括原理(abstract principle)。有些常用的集合习惯用特定字母符号来表示。如：N 表示所有自然数组成的集合，I 表示所有整数组成的集合，N n表示前 n 个自然数的集合等。常见的还有，Q 表示所有有理数组成的集合，R 表示所有实数组成的集合，C 表
5、示所有复数组成的集合，Q +表示所有正有理数组成的集合，R 表示所有负实数组成的集合等等。关于集合的下列概念无疑是十分基础的。定义 0.1 没有任何元素的特定集合称为空集，记为 ，即 =x P(x)恒假；由研究对象全体组成的集合称为全集，记为 U=x P(x)恒真。定义 0.2 空集和只含有有限多个元素的集合称为有限集(finite sets)，否则称为无限集(infinite sets)。有限集合中成员的个数称为集合的基数(cardinatity)（无限集合的成员个数，即无限集合的基数概念将在以后严格定义） 。集合 A 的基数表示为 A 。三、归纳法：集合的归纳法表示（也称归纳定义 indu
6、ction definition）就是用以下三个条款来确定集合：（1）基础条款：规定待定义集合以某些对象为其成员，集合的其它元素可以从它们出发逐步确定。（2）归纳条款：规定由已确定的集合成员去进一步确定其它成员的规则。于是，可以从基础条款确认的成员出发，反复运用这些规则来确认待定义集合的所有成员。（3）终极条款：规定待定义集合只含有（l） ， （2）条款所确定的成员。条款（l） ， （2）又称归纳表示或归纳定义的完备性条款，它们必须保证毫无遗漏地产生出待定义集合的全部成员；条款（3）又称归纳定义的纯粹性条款，它保证整个定义过程所规定的集合只包括满足要求的那些对象。0.1.4 外延性原理与子集合
7、除了正规原理、概括原理，集合理论的另一个重要约定是外延性原理，用于规定集合相等的意义，是描述集合本质的核心原理。离散数学教程教案与习题解析 理工学院 段景辉外延性原理(extensionality principle)：集合 A 和集合 B 相等，当且仅当它们具有相同的元素。也就是说，对任意集合 A,B，A=B 当且仅当属于 A 的元素也属于 B；反之,属于 B 的元素也属于 A。定义 1.3 集合 A 称为集合 B 的子集合（或子集，subsets） ，如果 A 的每一个元素都是B 的元素，即，若元素 x 属于 A，那么 x 也属于 B。关于子集关系我们有以下定理和定义。定理 0.1 对任意
8、集合 A，B，AB 当且仅当 A B 且 B A 。特别地，对任意集合A，A A 。定理 0.2 对任意集合 A，AU。定理 0.3 设 A，B，C 为任意集合，若 A B , B C，则 A C。定理 0.4 对任何集合 A， A。定理 0.5 空集是唯一的。定义 0.4 如果 AB 且 A B，那么，集合 A 称为集合 B 的真子集。 “A 是 B 的真子集”记为 AB。0.1.5 运算定义 0.5 分别称 ，为集合 A 上的一元、二元运算(operating)，如果 ，分别是对单元素和序偶的操作，并且对任意 x,yA，其操作结果，记为(x)，xy，是集合 A 中唯一确定的成员。定义 0.
9、6 设，为集合 A 上的二元运算， （1）如果对 A 中的任意元素 x,y.z 有 x(yz)=(xy)z，那么称 运算满足结合律；（2）如果对 A 中的任意元素 x,y.z 有 xy=yx，那么称 运算满足交换律；（3）如果对 A 中的任意元素 x,y.z 有 x(yz)=(xy)( xz)，那么称 运算对 运算满足分配律，定义 0.7 设 为集合 A 上的二元运算，如果 eA，且对任意元素 xA 有 xe = ex = x，那么，称元素 e 为集合 A 的关于运算 的幺元(identity elements) 。定义 0.8 设 为集合 A 上的二元运算，如果 oA，且对任意 xA 有 x
10、ooxo，那么，称元素 o 为集合 A 的关于运算 的零元(zero)。定理 0.6 设 为集合 A 上的二元运算，那么集合 A 的关于运算 的幺元是唯一的。定理 0.7 设 为集合 A 上的二元运算，那么集合 A 的关于运算 的零元是唯一的。离散数学教程教案与习题解析 理工学院 段景辉定义 0.9 设 为集合 A 上的二元运算，e 为幺元，x,y 为 A 中元素，若xyyxe，那么称 x(y)为 y(x)的逆元(inverse elements)。x 的逆元通常记为 x1 。定理 0.8 设 为集合 A 上的二元运算，e 为幺元，且运算 满足结合律，那么当 A中元素 x 有逆元时，它的逆元是
11、唯一的。练习 0.11、选择题(1) 可称为集合的是（ ）A. 水浒传中第 70 页上汉字的全体。 B. 很大的数的全体。C. 比复数 1+i 大的数的全体。 D. 接近于 0 的数的全体。【答案】：A(2) 不能称为集合的是（ ）A. 大于 1、小于 60 的整数的全体。 B. 比较小的正整数的全体。C. 正三角形的全体。 D. 平面上到点(0,0)距离等于 1 的点的全体。【答案】：B(3) 不空的集合是（ ）A. xx 21=0，且 xR B. xx 29=0，且 xRC. xx=x1，且 xR D. xx 2=1，且 xR【答案】：A(4) 下述论断中, 对任意集合 A、B 和 C 均
12、正确的是（ ）A. 若 AB，BC，则 AC B. 若 AB，BC，则 ACC. 若 AB，BC，则 AC D. 若 AB，BC，则 AC【答案】：A(5) 设 P=x(x+1) 24，Q=xx 2+165x，则下式中成立的是（ ）A. QP B. QP C. PQ D. PQ【答案】：D(6) 下列各式中错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】：B离散数学教程教案与习题解析 理工学院 段景辉(7) 设 S=1,3,9,10,K=1,3,T=1,3,1,下列各式中为真的是( )A. 1 K B. 1 S C. 1 S D. 1 T【答案】：C(8) 在自然数集上，下列哪种运算*满足结合律
13、？( )Aa*b=ab B. a*b=maxa,b C. a*b=a+2b D. a*b=a-b【答案】：B(9) 对自然数集，下列哪种运算*不满足结合律？( )A. a*b=a+b+3 B. a*b=mina,b C. a*b=a+2b D. a*b= maxa,b【答案】：C(10) Q为有理数集，Q上定义运算*为：a*b=a+b-ab，则Q 中*运算的幺元是（ ）A a; B b; C 1; D 0.【答案】：D2. 填空题(1) 用列举法表示下列各集合:A=x|x2 0（4）请进！ （5）2010 年 7 月我们去意大利的米兰旅游。 （6）我今天去泰山的说法是谣传。【答案】：（1）不是
14、；（2）是；（3）不是；（4）不是；（5）是；（6）是。5. 给定对象 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，判断有哪些对象或对象序列满足下列谓词：（1）P(x)；x 是偶质数。（2）Q(x,y)；x 是 y 的 3 倍。（3）S(x,y)；点到原点的距离等于 5。（4）D(x,y,z)；x+y=z【答案】：解.（1）2；（2）,；（3）,；（4）,离散数学教程教案与习题解析 理工学院 段景辉,。6. 用描述法表示下列集合：（1） A1，3，5（2） B = 2，3，5，7，11，13，17，89，97（3） C0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 9 （4） 全集 U【答案】：解.（1）A |1
15、35xx或 或（2）B =x | x 为小于 100 的质数（3）C |0N并 且（4）U |x7.（1）对任意对象 a, b, c, d 证明：a,a,bc,c,d 当且仅当 a = c 且 b = d （2）指出下列集合序列的排列规律，并依此规律再写出两个后续集合： ， ，,，, ，【答案】：（1）证.设 a = c 且 b = d，则显然a,a,bc,c，d；设a,a,bc,c,d，则有aa,b=cc,d，aa,b=cc,d。由前者得a=c，从而 a=c；由后者得a,b=c,d,又已知 a=c，所以 b=d。命题得证。（2）解.上述集合序列的排列规律是 An+1A nA n 。两个后续集
16、合分别为： , ， , ， ， ， ， ；离散数学教程教案与习题解析 理工学院 段景辉 ， ， , ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。9归纳定义下列集合：（1）可被 5 整除的负整数。 （2）全体十进制整数（非零数不得以 0 为字头） 。（3）全体十进制有理数(分数)。（4）二进制形式的非负偶数（非零数不得以 0 为字头） 。【答案】：解. （1）设 I5表示全体可被 5 整除的负整数集合，其归纳定义如下：）基础条款：5 I 5）归纳条款：如果 x I5，则 x5 I5 。）终极条款：除有限次使用（1） 、 （2）条款确定的元素外，I 5中没有别的元素。（2）设 I 表示全体十
17、进制整数集合，N 表示全体非负整数集合，令 I= N I。归纳定义 N 如下：）基础条款：0，1，2，3 ，4，5，6，7，8，9 N）归纳条款：如果 x N 且 x 0，y N，则 xy N。）终极条款：除有限次使用（1） 、 （2）条款确定的元素外，N 中没有别的元素。定义 I = xxN。（3）设 Q 表示全体十进制有理数集合，其归纳定义如下：）基础条款：I Q (I 为整数集)）归纳条款：如果 x Q 且 x 0，y Q，则 y/x Q）终极条款：除有限次使用（1） 、 （2）条款确定的元素外，Q 中没有别的元素。（4）设 P 表示全体二进制形式的非负偶数的集合，其归纳定义如下：）基础
18、条款：0 P ）归纳条款：如果 x P，则 1x P；如果 x P 且 x 0，y P，则 xy P）终极条款：除有限次使用（1） 、 （2）条款确定的元素外，P 中没有别的元素。11. 确定下列各命题的真、假；(1) (2) (3) (4) (5)a,ba,b,c,a,b,c (6)a,ba,b,c,a,b,c (7)a,ba,b ， a,b (8)a,ba,b ， a,b 离散数学教程教案与习题解析 理工学院 段景辉【答案】：解.（1）真， （2）假， （3）真， （4）真， （5）真， （6）假， （7）假， （8）真。12. 指出下列各组集合中的集合的不同之处，列出每一集合的元素和全部
19、子集：（1）， （2）a,b,c,a,b,c,a,b,c【答案】：解.（1）不同之处：前者是以空集为元素的集合，而后者是以前者为元素的集合。 的元素为 ，全部子集为： ， 的元素为 ，全部子集为： ， （2）不同之处：第一个集合由 3 个元素组成；第二个集合由 2 个元素组成，其中一个元素为集合；第三个集合由 1 个元素组成，该元素为一个集合。a,b,c的元素为：a,b,c；全部子集为：,a ， b ， c ， a,b ， b,c ，a,c ， a,b,c 。a,b,c 的元素为：a,b,c ；全部子集为：,a ， b,c ， a,b,c 。a,b,c 的元素为：a,b,c ；全部子集为：,
20、a,b,c 。13. 设 A，B 为任意集合，证明：如果对任意的集合 C，C A 当且仅当 C B，那么AB。【答案】：证. 设对任意的集合 C，C A 当且仅当 C B，那么，当令 CA 时有 A B，当令CB 时有 B A，因此有 AB。0.2 鸽笼原理鸽笼原理又名抽屉原理、狄里克雷原理(Dirichlet principle)0。0.2.1 鸽笼原理基本形式鸽笼原理基本形式一：如果把 n+1（n 是正整数）个对象放入 n 个盒子里，那么至少有一个盒子里放有两个或两个以上的对象。对鸽笼原理基本形式一略做加强，可以有更为广泛的应用。鸽笼原理基本形式二：m 个对象放入 n 个盒子里（m,n 是
21、正整数） ，那么有一个盒子至少放进了 个对象。 （ 表示“m 1 除以 n 的商的整数部分” ）1nm离散数学教程教案与习题解析 理工学院 段景辉0.2.2 鸽笼原理加强形式鸽笼原理的加强形式一：如果把 （ ，n 是正整数， ）个1q21qni对象放入 n 个盒子里，那么或者第一个盒子里至少有 个对象，或者第二个盒子里至少有 个对象， ，或者第 n 个盒子里至少有 个对象。2q n鸽笼原理的加强形式二：如果把 个对象放入 n 个盒子里，那么至少有1)(q一个盒子里放入了 q 个或多于 q 个的对象。鸽笼原理的加强形式三：如果 n 个自然数 的算术平均值nq,21)(21大于（q-1）,那么 中
22、至少有一个大于或等于 q 。nq,练习 0.21. 一个口袋里装有 12 个黑球和 12 个白球。问：一次至少取出多少个球时才能保证取出的球中有一个黑球和一个白球？一次至少取出多少个球时才能保证取出的球中有一对黑球？【答案】：解. 取 13 个球才能保证取出的球中有一个黑球和一个白球，取 14 个球时才能保证取出的球中有一对黑球。2.（1）在边长为 2 的正方形中任取 5 个点，证明存在两个点，之间距离不超过 。2（2）在边长为 1 的正三角形中任取 10 个点，证明存在两个点，之间距离不超过 。31（3）在边长为 1 的正方体内任取 9 个点，证明存在两个点，之间距离不超过 。2【答案】：解
23、.（1）将正方形分成四个相同的边长为 1 的小正方形，根据鸽笼原理必有 2 个点落在同一个小正方形里，它们之间的距离不超过对角线长度，即不超过 。（2）如图 0.1 将三角形分成 9 个相同的边长为 的小正方形，根据鸽笼原理必有32 个点落在同一个小三角形里，它们之间的距离不超过边的长度，即不超过 。13离散数学教程教案与习题解析 理工学院 段景辉图 0.1（3）将正方体分成 8 个相同的边长为 1/2 的小正方体，根据鸽笼原理必有 2 个点落在同一个小正方体里，小正方体的面的对角线长度为 = ，小正方体21的对角线长度为 = 。根据鸽笼原理必有 2 个点落在同一个小正方体213里，它们之间的
24、距离不超过对角线长度，即不超过 。33. 从一副扑克牌中，（1）至少摸多少张，就可保证有3张同花色？（2）至少摸多少张，就可保证有3张不同花色？（3）至少摸多少张就可保证有2张牌是黑桃？（4）至少摸多少张就可保证有一张A？【答案】：解.（1）至少摸11张，就可保证有3张同花色。 （大小王算不同花色，每种只有一张） ；（2）至少摸27张，就可保证有3张不同花色；（3）至少摸43张，就可保证有2张牌是黑桃；（4）至少摸51张，就可保证有一张A。4. 设 m 是一个取定的正整数，求证：任取 m+1 个整数，其中至少有两个整数，它们的差是 m 的整数倍。【答案】：证.我们知道，任何整数都可以写成 km
25、+a 的形式，其中 k 是整数，a = 0,1,2,m1。对于任意一个整数，a 只能是 0,1,2,m1 这 m 个数中的一个。于是根据鸽笼原理基本形式一，在选取的 m+1 个数中，有两个数的上述表示形式中的 a 是相同的。即分别是 km+a，jm+a，那么它们的差 km jm 自然是 m 的整数倍。5. 某个制造铁盘的工厂，由于设备和技术的原因只能将生产的盘子的重量控制在 a 克到（a+0.1）克之间。现在需要制成一对铁盘用于天平，它们的重量差不能超过 0.005克。问该工厂至少要生产多少铁盘，才能保证得到一对符合要求的铁盘。【答案】：解. 将区间0，0.1按 0.005 的间隔分成 20
26、个小区间0，0.005，离散数学教程教案与习题解析 理工学院 段景辉0.005，0.01，0.095，0.1，由鸽笼原理可知，任意 21 个0，0.1区间的数必有2 个落在同一个小区间，其差不超过 0.005，所以该工厂至少生产 21 个铁盘才能保证得到一对符合要求的铁盘，使它们之间的重量差不超过 0.005g。6. 在 m 维空间中任意给定 个格点（各坐标均为整数的点， ）,求证:其中1mn 2n必定有两个格点 P ,Q ,使得点 M 也是一),(1x ),(my ),(1yxyxm个格点。【答案】：证. 我们知道任意整数 x 被 n 除的可能余数共有 n 种，那么 m 维空间中格点的各坐标
27、被 n 除的余数共有 种情况。因此根据鸽笼原理， 个格点中必有两个格点的mn1m各坐标除以 n 的余数相同，即两格点各坐标差为 n 的整数倍，使得 M 符合要求，命题得证。7. 一个学生用 37 天时间来准备考试。根据自己的经验她知道复习所需时间不会超过60 小时，而她又希望每天至少复习一个小时。证明：不管如何安排每天的复习时数，总有连续的若干日，其间她恰好复习了 13 个小时。【答案】：证. 用 ai (1i37)表示到第 i 天时已复习的总时数，则有 1a 1 a 2 a 37 60，因此 13a 1 +13a 2+13 a 37+13 73，考虑 a1 ，a 2 ，a 37 ，a 1 +
28、13，a 2+13 ，a 37+13 这 74 个数，其取值范围为 1 到 73，根据鸽笼原理基本形式一，它们中至少有两个数是相等的。又由于 ij 时，a iaj，a i+13aj+13。因此，这两个数可设为 ai=aj+13，所以从第 j+1 天到第 i 天共复习 13 小时。8. 证明在任意的六个人中，一定有三个人他们之间互相认识或互相不认识。【答案】：证. 考虑六个人中的一个 以及集合a|,Axa认 识|B不 认 识A 和 B 中人数总和是 5，因此在一个集合中至少有 3 人（鸽笼原理） 。若 A 中至少有 3 人，则或者其中人互不认识，或有两人互相认识。对前一种情况，命题已满足；对后一种情况，互相认识的两人加上 便是 3 人互相认识，命题也满足。若 B 中至少有 3 人，a仿前可证原命题成立。
