1、天津城市职业学院 高等数学教案12 导 数 与 微 分2-1 导数的概念教学目的: 1.使学生掌握导数定义的两种形式；左、右导数的概念；2.使学生掌握导数几何意义,会求曲线的切线方程;3.使学生理解函数的可导性与连续性之间的关系。教学重点: 导数的定义教学难点：导数的定义课时分配：2 学时一、教学过程:在自然科学的许多领域中，当研究运动的各种形式时，都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度，如物体运动的速度，而当物体沿曲线运动时，还需考虑速度的方向，即曲线的切线问题。所有这些在数量关系上都归结为函数的变化率，即导数。2-1-1 引例微分学最基本的概念导数，来源于实际生活中两个朴素概念：
2、速度和切线。1 变速直线运动的速度设一物体作直线运动，用 s表示该物体从某一时刻开始到时刻 t所经历的路程，则 s是时刻 t的函数 s= （ t） 。现在来确定物体在某一给定时刻 0t的速度。当时刻 0改变到 0时，物体在 t这段时间内所经历的路程为 00()(sst，因此在 t这段时间内，物体的平均速度为 00()(ststv.若物体做匀速运动，平均速度就是物体在任何时刻的速度 v。若物体的运动是变速的，则当 t很小时， v可以近似地表示物体在 0t时刻的速度， t越小，近似程度越好，当 t天津城市职业学院 高等数学教案20 时，如果极限 0limts存在，则此极限为物体在 0t时刻的瞬时速
3、度，即00()(lilittssvt2 电流强度在交流电路中，电流大小是随时间变化的。设电流通过导线的横截面的电量是 ()Qt，它是时间 t的函数。现在来确定某一给定时刻 0t的电流强度。当时间由 0改变到 0t时，通过导线的电量是00()(Qtt因此，在 t这段时间内，导线的平均电流强度为00()(tQtI显然， t越小， I就越接近 0t时刻的电流强度 I，当 t0 时，如果极限 0limtQ存在，则此极限为导数在 0t时刻的电流强度，即000()(limlittQtI.3 切线及其斜率什么样的直线是曲线在某点处的切线呢？设曲线 ()yfx的图像如图 2-1 所示，点 0(,)xyM是曲线
4、上的一个定点，在曲线上另取一动点 00,)y，作割线 ,让点 沿曲线向 0M移动，则割线0M的位置也随之变动，当点 沿曲线趋向 0时，割线 0趋向于极限的位置-T。直线 0就是曲线在 0点处的切线。设割线 的倾角为 ，切线 MT的倾角为 ，则割线 0的斜率为0()(tanfxfxy当 x0 时，割线的斜率 就无限地接近于切线的斜率，所以切线的斜率为天津城市职业学院 高等数学教案30000()(tanlimtalilimxxxfxfy.图 2-2 显示了割线到切线的变化过程。图 2-2上面三个例题虽然具体含义不同，但从抽象的数量关系看，它们的实质是一样的，都归结为计算当自变量的改变量趋于零时，函
5、数改变量与自变量改变量之比的极限，这种特殊的极限就称为函数的导数.2-1-2 导数概念1导数的定义定义 2-1： 设函数 ()fx在 0的某个邻域内有定义，当自变量在点 0x处取得改变量 x时，函数 ()fx取得相应的改变量 0()(yfxfx，如果极限 0limxy存在，则称这个极限值为 在点 0处的导数，并称函数在点 0处可导。记作0()fx或 0xy，或 0xdy即 000()()limlixxfxfyf（2-1）如果上述极限不存在，则称()f在点 0处不可导。如果其极限为无穷大，为方便起见，也称该函数在点 0x处的导数为无穷大。天津城市职业学院 高等数学教案4与函数()fx在 0处的左
6、右极限概念相似，如果 0limxy和 0lix存在，则分别称此两极限为 在点 处的左导数和右导数，记为()f和()f显然，函数 ()yfx在点 0处可导的充要条件是函数 yx在该点处的左导数和右导数均存在且相等。如果函数 ()f在某区间 (,)ab内的每一点都可导，则称()f在区间 (,)ab内可。这时，对于 ,ab内的每一点 x，都有确定的导数值与它对应，这样就构成了一个新的函数，称为函数()fx的导函数，记作 ()f或y，或dx或()f。在不致发生混淆的情况下，导函数也简称导数。有了导数的定义，本节引例中的三个例题就可以叙述为：1 路程 s对时间 t的导数为瞬时速度 v,即()st2 电量
7、 Q对时间 t的导数为电流强度 I,即()Qt3 函数 ()fx在 处的导数为曲线 fx在点 处的切线的斜率,即tan()k所以，若曲线 ()fx在 0处可导,则曲线在点 0,xy处的切线方程为0()yf曲线在 0(,)xy处的法线方程为 0001()yxf需要注意的是，若0()tanfx，则 2，即切线垂直于 x轴，切线方程为0x，法线方程为 y天津城市职业学院 高等数学教案5注： 1、导数的常见形式还有： ；xffxf)(lim)( 000；hfffh)(li)(000；xffxfh)()li)(0002、 反映的是曲线在 上的平均变化率，而 是在点 的变化xy,0 0)(xdyf 0率，
8、它反映了函数 随 而变化的快慢程度。)(xf3、这里 与 中的 与 是一个整体记号，而不能视为分子 或0xdy0xdyxf dy与分母 ，待到后面再讨论。f4、若极限 即 不存在，就称 在 点不可导。xy0lim0)(li0xf)(xfy0特别地，若 ，也可称 在 的导数为 ，因为此时 在x0li )(fy0x)(xfy点的切线存在，它是垂直于 轴的直线 。0 x若 在开区间 内的每一点处均可导，就称 在 内可导，且对)(fyI )(xfyI，均有一导数值 ，这时就构造了一新的函数，称之为 在 内的导函Ix)(xf )(fI数，记为 ，或 ， ， 等。)(fyydxf)(事实上， 或x)lim
9、0 hxffyh)(lim05、上两式中， 为 内的某一点，一旦选定，在极限过程中就为不变，而 与 是I xh变量。但在导函数中， 是变量。6、 在 的导数 就是导函数 在 点的值，不要认)(fy0)(0xf )(xfy0为是 ；0x7、为方便起见，导函数就称为导数，而 是在 点的导数。)(0xf02求导数举例（用导数的定义求函数导数的方法）【例 1】 求函数 （ 为常数）的导数cxf)(解：在 中，不论 取何值，起其函数值总为 ，所以，对应于自变量的增量cxf)( c天津城市职业学院 高等数学教案6，有 ，即 。x0y 0limxyxy)(c注：这里是指 在任一点的导数均为 0，即导函数为
10、0cf)(【例 2】 求 （ 为正整数）在 点的导数nxax解： 11221 )(limli)( nnnnaxax axf 即 ，1nf亦即 ，若将 视为任一点，并用 代换，即得)(axn x1)(nnxxf注：更一般地， （ 为常数）的导数为 ，由此可见， xf)( 1)(f, 。x12)( )0(12x【例 3】 求 在 点的导数xfsin)(a解： ,即afxcoslimaxcos)(in同理：若视 为任意值，并用 代换，使得 ，即 。xf xcos)(in注：同理可证： 。sin)(co【例 4】 求 的导数)1,0(axf解： hahhxff xxh 1limli)lim)( 000
11、 eaa xaxaxaxh lnlog)1(logi)1(logi 001 令所以 。xln注：特别地， 。e)(【例 5】 求 的导数)1,0(logaxfa解： hxhxxhffxfahaahh )1(logiml(logim)(lim)( 000 天津城市职业学院 高等数学教案7axexhaah ln1log)1(logim0 特别： )(ln【例 6】 求 在 处的导数xy解 由导数的定义知 0lim0li)0(lim)0( 00 xxxfff xx注 1、等最后讲到反函数求导时，可将 作为 的反函数来求导；alog2、一般地说，求导有四步：（1）给出 ；x（2）算出 ；y（3）求增量
12、比 ；x（4）求极限。3.左、右导数存在，就称其值为 在 点的右（左）导数，并记为00)(limxfx)(xf0，即）0(f 00000 )(lim(lim)( xfhfff xh 。00000 )(li)(li)( fxfxfxf xh 定理 1： 在 点可导 在 点的左导数和右导数均存在，且相等，f0)(f即。)()(00xff【例 7】讨论 在 处的导数xf)(解： 0,f 0)(f1lim)(lim)0( 0 xxffx0 天津城市职业学院 高等数学教案8因为 的左导数为-1，右导数为 1，所以在 点不可导；)(xf 0x【例 8】求 的导数，f1ln0x解 当 时， ， 0xxf)(
13、当 时， ，x1)(xf当 时， ，0xffxx )0(lim0)(li00 所以 ，lim)(0fx，1eln)1l(i)1n(li00 xxxf因此 ，)(f于是 ,1)(xf .0,小结 求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义求之外，其余点则仍按初等函数的求导公式求得.注： 1、例 7也说明左可导又右可导，也不能保证可导；2、左、右导数统称为单侧导数；3、若 在 内可导，且在 点右可导，在 点左可导，)(xf,baaxbx即 存在，就称 在 上可导。,)(f)(f,b4、导数的几何意义由前面的讨论知：函数 在 的导数 就是该曲线在 点)(xfy0)(0xf 0x处的切线斜率
14、，即 ，或 为切线的倾角。从而，得切线方k(0f ,tan程为 。若 ， 或 切线方程为：)(00xfy)(0f2。过切点 ，且与 点切线垂直的直线称为 在 点的法线。如x,yPP)(xfy0P果 ，法线的斜率为 ，此时，法线的方程为：)(0f)(10xf天津城市职业学院 高等数学教案9。)(1000xfy如果 =0，法线方程为 。)(x0【例 9】 求曲线 在点 处的切线与法线方程3y),(yxP解：由于 ，所以 在 处的切线方程为：2023)(00xx 3x),(0yP)(0y当 时，法线方程为： 0x 310200x当 时，法线方程为： 0x2-1-3 可导与连续的关系定理 2-1：如果
15、函数 在 点可导，那么它在该点必连续.)(xfy0注 1：本定理的逆定理不成立，即连续未必可导。反例： 在 点连续，但不可导。【例 10】 求常数 使得 在 点可导。ba,0)(xbaxef 解：若使 在 点可导，必使之连续，故)(xf0 )0(lim)(li0fxffxx。10bae又若使 在 点可导，必使之左右导数存在，且相等，由函数知，左右导数)(xf0是存在的，且axebafx0)(lim)(01li)(0fx所以若有 ，则 ，此时 在 点可导，所以所求常数为1aff )(f0xb二、课堂练习：天津城市职业学院 高等数学教案10三、作业：2-2 导数的基本公式和运算法则教学目的：使学生
16、掌握函数的和、差、积、商的求 导 法则教学重点：初等函数的求导公式、复合函数的求导法则教学难点：复合函数及初等函数的概念，对已知的复合函数进行拆分课时分配：4 学时教学过程： 2-2-1 基本初等函数的求导公式1、 常数和基本初等函数的求导公式：（1） （2）0)(c 1)(x（3） （4）xossin sinco（5） （6）2ec)(ta xx2c)(t（7） （8）xxtans otscs（9） （10）l)( xe)(（11） （12）axaln1log 1ln（13） （14）2)(rcsi 2)(arcosxx（15） （16）21atnx 21t（17） （18）chsx)( s
17、hxc)(（19） t2（20） 1)(ln)( 22 xxarcshx天津城市职业学院 高等数学教案11（21） 1)(ln)( 22 xxarchx（22） 21lt（23） xcxcx tans)(cs,sin)ta( ,e,o2 2-2-2 导数的四则运算法则法则 1：若函数 和 在点 都可导，则 在 点也可导，且)(xuv0x)()(xvuxf0。)(00f注 ：1、本定理可推广到有限个可导函数上去。2、本定理的结论也常简记为 。vu)(法则 2：若 和 在 点可导，则 在 点可导，且有)(xuv0x)(xf0。)(00 f注 ：1、若取 为常数，则有： ；cxv)( uc2、本定理
18、可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如：wuuw)(等。svsvvs 法则 3：若 都在 点可导，且 ，则 在 点也可导，)(,xu00)(x)(xvuf0且 )()()(02000vuxf 注：1、本定理也可通过 ，及 的求导公式来得；)(1xvxf)(2、本公式简化为 ；2)(uv3、以上定理 13 中的 ，若视为任意，并用 代替，使得函数的和、差、积、商的0xx求导函数公式。天津城市职业学院 高等数学教案12【例 1】 设 ，求xxf2)()(f解： 31)2(1)2()() xxxf 31x【例 2】 设 ，求efxln)()(xf解： )(lnll xexxxee1lln)1(xx【
19、例 3】设 求,13xf)(xf解 ，3161323)( xf 154363()fxx课堂练习：课后作业：2-3 导数运算教学目的：1.使学生掌握函数的和、差、积、商的求 导 法则；2使学生掌握反函数的导数法则、复合函数的求导法则；3使学生熟练掌握初等函数的求导公式。教学重点：初等函数的求导公式、复合函数的求导法则教学难点：复合函数及初等函数的概念，对已知的复合函数进行拆分天津城市职业学院 高等数学教案13课时分配：4 学时教学过程： 2-3-1 复合函数的求导法则复合函数的求导问题是最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就
20、是这个问题。法则 4（复合函数求导法则）：如果 在 点可导，且 在)(xu0)(ufy点也可导，那么，以 为外函数，以 为内函数，所复合)(0xufyx的复合函数 在 点可导，且 ，或fy0x)(00ufdx)()(00uxf注： 1、若视 为任意，并用 代替，便得导函数：x，或)()(fdxf )()(xfxf或 。uy2、 与 不同，前者是对变量 求导，后者是对变量 求导，)(f)(f )(xux注意区别。3、注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。4、复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如：等。)()()( xhgxhfxhgf 【例 1】 求 的导数y1arctn解： 可
21、看成 与 复合而成，xtutax1， ， 21)(arctnu 2)( 221)()1)(arctnxxy 【例 2】 求 （ 为常数）的导数xy解： 是 ， 复合而成的elnuxvln,天津城市职业学院 高等数学教案14所以 11)(ln)( xxexvexyu由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果。【例 3】 ，求21xyy解： 22221 1)1()()( xx【例 4】 ，求xeysin1y解： xexxxx sin1
22、)(2)sin1()( sin1sin1si xxe sin1sin1 ico2ico2【例 5】 ，求)1cs(ari2xyy解： )1cos(2)1cos(o(in2 xx= )sin(2)1(cs4122 x= )1(cos4i)(oin22 x【例 6】 ，求)tanl(xyy解： )2tan(ltl1)2tanl(2tl()2tl(1 xx)2(cos1tan2l)tal()(ttanl)tanl( xxxxxtltl1sin2tl1tl2t1cos21 天津城市职业学院 高等数学教案15【例 7】 )(21)(21)( xxxx eeexhs，)(2xxe即 。同理，chs shc
23、【例 8】 ，求)1ln(2xyy解 )1(1 22 xx)(212x)(1)(1222 arshxx同理： )()(ln2cx【例 9】 设 求 1l(yy解 利用复合函数求导法求导，得 )1()ln(222 xx)(122)1(122 xx.222x小结： 1 、函数的四则运算的求导法则：设 ，则)(,xvu天津城市职业学院 高等数学教案16(i) (ii) vu)( uc)(iii) (iv) 2v)0(2、复合函数的求导法则：设 的导数为： 或)()(),( xfyxufy dxuy或 (xf dufdx)()()(2-3-2 反函数的导数法则定理 1：设 为 的反函数，若 在 的某邻
24、域内连续，严格单调，且)(xfy)(y)(y0，则 在 （即 点有导数） ，且0)(f00f )(100yxf注:1、 ，因为 在 点附近连续，严格单调；00yx)(y02、若视 为任意，并用 代替，使得 或 ，其中 均0x)(1xf )(1dyxdyx,为整体记号，各代表不同的意义；3、 和 的“”均表示求导，但意义不同；)(xfy4、定理 1 即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数；5、注意区别反函数的导数与商的导数公式。【例 1】求 的导数xyarcsin解：由于 ，是 的反函数，由定理 11,2,sinyx得： 221sicos)(sin)(arci xyyx注：1、同理可证：；22
25、2 )tan(,1)(art,1)(arcos xrcxxx 2、 tctnosin【例 2】求 的导数xyalg),0(a天津城市职业学院 高等数学教案17解：利用指数函数的导数，自己做课堂练习：课后作业：2-3-3 隐函数的导数教学目的：教学重点：教学过程：以前，我们所接触的函数，其因变量大多是由其自变量的某个算式来表示的，比如：等等，象这样一类的函数称为显函数。xeyxzexysinl,2sin,52 但在实际问题中，函数并不全是如此，设 是定义在区域 上的二元函数，),(yF2RD若存在一个区域 ，对于 中的每一个 的值，恒有区间 上唯一的一个值 ，使之与IxJy一起满足方程： x 0
26、),(xF（1）就称方程（1）确定了一个定义域为 ，值域含于 中的函数，这个函数就称为由方程IJ（1）所确定的隐函数，若将它记为 ，则有：在 上， 。Ixfy),(I)(,xf1.隐函数求导法自变量 与因变量 之间关系由方程 确定的函数称为隐函数。xy0),(F求隐函数 的导数，一般是将方程两端同时对自变量 求导数，遇到 就把0),(F xy它看成 的函数，并利用复合函数的求导法则求导。最后从所求得的关系式中解出 ，就x 得到所求隐函数的导数。【例 1】 确定了隐函数：01452y4512xy【例 2】 能确定出定义在 上的函数值不小于 0 的隐函数 ，也2x, 21xy能确定出定义在 上的函
27、数值不大于 0 的隐函数1, 21xy上面求 的过程是将一个隐函数转化为显函数，也称为隐函数的显化。)(xf天津城市职业学院 高等数学教案18注： 1、在不产生误解的情况下，其取值范围可不必一一指明；2、并不是任一方程（1）都能确定出隐函数，比如： ，不可能找到012yx，使得 ；)(xfy01)(22xf3、即使方程（1）能确定一个隐函数，但未必能象上二例一样从方程中解出 ，如：y，我们可证明它确实能确定一个隐函数，但无法表示成 的形0siny )(xf式，即不能显化。实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，如果隐函数可显化，则求导没什么问题，同前一样，若隐函数不能显化，我们就直接从（1）算出
28、其隐函数的导数。 （以后我们还将介绍更一般的方法） 。【例 3】 ，求01452yxdxy解：在方程的两边同时对 求导，得xd2541010【例 4】求由方程 所确定的隐函数 的导数 ；exy)(ydxy【例 5】求由方程 所确定的隐函数 y 在 x=0 处的导数 ；753sinx 0|x【例 6】求由方程 确定的曲线在点(0,0)处的切线方程；yxcos)(2【例 7】 已知 求 .2arctnl,解 两端对 求导，得 ，x )(1)(1222 yxyx，2222 yxyxyx 整理得 ，故 ，)( 上式两端再对 求导，得x2)()(1)(1xyxyy天津城市职业学院 高等数学教案19= ，
29、2)(xy将 代入上式，得.2)(xy 32)(yxx32)(xy小结 在对隐函数求二阶导数时，要将 的表达式代入 中，注意，在 的最后表y达式中，切不能出现 .y2.对数求导法对于形如 的幂指函数，可以在方程的两端取对数，然后再按隐函数求导)(xgfy法求导，称为取对数求导法。【例 8】 已知 = ，求x2)(1y解 两边取对数，得： ，)2ln()1l(nl2xx两边对同一自变量 求导，得x，)l()1l(n1 222 xxy.)(1)(l)( 222 xx小结 对数求导法适合两类函数的求导：（1）幂指函数， （2）函数是由几个初等函数经过乘、除、乘方、开方构成的.天津城市职业学院 高等数
30、学教案202-3-4 由参数方程确定的函数的求导法一、 由参数方程确定的函数的导数表示圆)(tyxsincoryx)(/txydtxdt)(1)()()( 22 tttxyd dtxy【例 1】抛射体运动的参数方程 ，求时刻 t 的运动速度 ；221gtvyx v解： ， ，1vxtgtyt2 221)( gtvyxtt 且 的方向： 12anvydxt【例 2】 设 求 .cosinxty， 2xy解 ，d()1sicottx天津城市职业学院 高等数学教案212dcosdcoscos1()()()d1in1ininytttxxxx .22si(i)csi(si)ttttt小结 求由参数方程所
31、确定的函数的导数时，不必死记公式，可以先求出微分 、yd，然后作比值 ，即作微商.求二阶导数时，应按复合函数求导法则进行，必须分清是xdxyd对哪个变量求导.【例 3】求摆线方程 所确定的函数的二阶导数。)cos1(intay课堂练习：复习 P.114-121课后作业：习题 2-3（P.68）1，2（1）（4），3，62-3-5 高阶导数教学目的：使学生掌握高阶导数的运算法则，熟记一些常见函数的高阶导数公式教学重点：高阶导数的求法教学难点：课时分配：教学过程：一、复习一阶导数的定义二、讲解新课：高阶导数的定义：天津城市职业学院 高等数学教案22前面讲过，若质点的运动方程 ，则物体的运动速度为
32、，或)(ts)(tsv，而加速度 是速度 对时间 的变化率，即 是速度 对时间 的导dtsv)()(tav)(ta数： 或 ，由上可见，加速度 是)()(dtstv)(stv的导函数的导数，这样就产生了高阶导数，一般地，先给出下列定义：)(ts定义：若函数 的导函数 在 点可导，就称 在点 的导数为函数)(xfy)(xf0)(xf0在点 处的二阶导数，记为 ，即 ，此时，)(xfy0 0f )(lim000 xfx也称函数 在点 处二阶可导。f0x类似地，还可以继续求导，得到三阶导数 ，四阶导数 ，乃至 阶导数 .二y)4(yn)(ny阶及以上的导数统称高阶导数，而 称为 的一阶导数。)(xf
33、)(xf注：1、若 在区间 上的每一点都二次可导，则称 在区间 上二次可导，并)(xfyI )(fI称 为 在 上的二阶导函数，简称二阶导数；If),(2、仿上定义，由二阶导数 可定义三阶导数 ，由三阶导数 可定义四)(xf )(xf )(xf阶导数 ，一般地，可由 阶导数 定义 阶导数 ；)(4xf 1n)1(fn)(n3、二阶以上的导数称为高阶导数，高阶导数与高阶导函数分别记为： ，)0(xf， 或 与 或 ；)(0xyn0xndy0xnfnnndxyf),(,)( f4、开始所述的加速度就是 对 的二阶导数，依上记法，可记 或 ；st 2dts)(t5、未必任何函数所有高阶都存在；6、由
34、定义不难知道，对 ，其导数（也称为一阶导数）的导数为二阶导数，二)(xfy阶导数的导数为三阶导数，三阶导数的导数为四阶导数，一般地， 阶导数的导数为1n阶导数，否则，因此，求高阶导数是一个逐次向上求导的过程，无须其它新方法，只用n前面的求导方法就可以了。【例 1】 ，求cbxay2 )4(,y天津城市职业学院 高等数学教案23解： 0,22 )4( yaybaxy【例 2】 ，求各阶导数e解： ， ， ， ，显然易见，对任何 ，有 ，xyxxeyx)4( nxney)(即 ne)(【例 3】 ，求各阶导数xysi解： )2sin(co,nxy)si(xy)23sin()si(co xx24n)
35、2sin()4( xy一般地，有 ，即 )i()(n)2sin()(si(x同样可求得 2cos)(nx【例 4】 ，求各阶导数)1ln(xy解： ， ， ， ，l 2)1(xy 3)1(2xy，4)4()132xy一般地，有 nnnxy)1(!)(即 nnnx)(!)1(l(【例 5】 ， 为任意常数，求各阶导数y解： ， ， ，x21)(, xy 3)2(1xy，4)4( 3)天津城市职业学院 高等数学教案24一般地， nn xy )1()2(1)( 即 x)( 当 为正整数时，ka) 时， ；n nknk xkx )1()2(1)(时， ；!)(时， ；k0)(nkx(ii)当 为正整数
36、时，必存在一自然数 ，使得当 ， 在 处不存在。kkn)(nx0如： 然而， 在 处是无意义，即说明,213,23,123 xyxyx 21在 处无导数，或 在 处不存在。21y00【例 6】 ，求xecosy解： ，)sin(co)in(xexy ，)si2(isc xeex c(s2)ci(2xxey 高阶导数的运算法则(1) ，)()()(vuxvunn(2) ，vuvuuvu 3)(,2,， )()2()1()0()( knknnn vCvCvvuxvu+ 。其中 。 Leibinz 公式)(0n)()(,【例 7】上例中，求 。)5(y解： )(cos)(cos)coscos 254
37、15)5()()5( xeCxeCxexey xxx天津城市职业学院 高等数学教案25= )sin(co5sin10)cos(10)sin(5cos xexexexex xx = i = )cs4si(xex= 。on【例 8】验证 满足关系式： （其中 为任意常数） 。xxecy21 02y21,c解： xxecyec 21所以 。)(2212 yyxx课堂练习：1求 （n 为正整数）的 n 阶导数，n+1 阶导数，并求 ， ；xy 0)(|xny1)(|xn2求 的 n 阶导数；si3证明函数 满足关系式 ；2xy013y4设 f 二阶可导，求 或 的一阶、二阶导数；)(xfef22)(s
38、in)(ixff5设 f 二阶可导，求 的二阶导数。3y课后作业：2-4 函数的微分教学目的：1.理解函数微分的定义；2.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性;3.会求函数的微分.教学重点：求函数的微分教学难点：求函数的微分课时分配：2 学时)5()4(4535)(CCxxx天津城市职业学院 高等数学教案26教学过程：2-4-1 两个实例引入：两个例子 1. 面积改变量的近似值2. 路程改变量的近似值2-4-2 微分的概念定义 2-2：如果函数 在点 处具有导数 ，则称 为函数)(xfy)(xf)(xf在点 处的微分，记作 或 ，即 = ，此时称函数 在点)(xfydy)(fdy )(
39、xf处可微。特别地，对于函数 ，有xxxy)(于是得 df)(进一步得 )(xfy定义 2-2：设函数 在 的某个邻域内有定义，当自变量在 处取得增量 时，)(xfy0 0xx如果函数的增量 可以表示为)(0xf)(xAy其中 A 是与 有关而与 无关的常数， 是比 高阶的无穷小量，则函数0xx在点 处可微， 称为微分，即)(fyxAdy定理：函数 在点 处可微的定义的充分必要条件是函数 在点 处可导。)(xfy0 )(xfy02-4-3 微分的几何意义微分的几何意义是曲线 在一点处切线的的纵坐标的改变量。)(xfy2-4-4 微分的运算天津城市职业学院 高等数学教案271 微分的基本公式和运
40、算法则微分公式表 1 给出了基本初等函数的求导公式及微分公式.表 1 求导与微分公式求导公式 微分公式0c)(为 常 数 0dc)(为 常 数1)x为 实 数 1)x)为 实 数axln( aln(e) xde)xal1(log al1(log)n x)ncs(i dcs(ixi)o o)i2sec(tan xsec(tan2x)o d)odtansec( xxtansec(xxots)(cs do)d21)(arsinx xx1)(arcsin22co xd)(rod221)(artnx 1actn2基本初等函数求导公 式 co基本初等函数微分公 式 xxd)or(d运算公式表 2 给出了基
41、本初等函数的求导及微分运算法则表.天津城市职业学院 高等数学教案28表 2 求导与微分法则表求导法则 微分法则)()(xuxu)(d)(dxuxu)()(xucx )为 常 数 v )(d)(xuc)为 常 数函数的四则运算求导法则 )0()(2xxu)0()(12xx函数的四则运算微分法则 )0()(2xx)0()d)(12xx复合函数求导法则设 ， ，则(ufy复合函数 的导数为)xud复合函数微分法则 设函数 ， ,)(ufy)(则函数 的微分为，此式又称为一阶微fyd)(分形式不变性参数方程确定的函数的导数若参数方程 确定了 是 的函数，则 或 =)(tyxyxtxdy)(t反函数求导法则设 的反函数为 ，则 或 )(xfy)(yx)0()1(yxfyxd12 微分形式的不变性：把复合函数 分解为)(xfy天津城市职业学院 高等数学教案29
