1、说明： 有了前几节的基础知识，再加上本节的内容，就能够借助于LINGO建立并求解复杂的优化模型。 函数类型（9种）： 1基本运算符：算术运算符、逻辑运算符、关系运算符 2数学函数：三角函数和常规的数学函数 3金融函数：两种金融函数 4概率函数：大量概率相关的函数 5变量界定函数：定义变量的取值范围 6集操作函数：对集的操作提供帮助 7集循环函数：遍历集的元素，执行一定的操作的函数 8数据输入输出函数：允许模型和外部数据源相联系， 进行数据的输入输出 9 辅助函数：各种杂类函数,4 LINGO 函数,4.1 基本运算符 4.1.1 算术运算符 二元运算符（五类）：乘方、乘、除、加、减 取反函数：
2、（唯一的一元算术运算符） 优先级由高到底： 高 （取反） 低 运算次序：从左到右按优先级高低执行。 运算的序可用圆括号“（）”改变。 例4.1 算术运算符示例。 253，(24)5等等。,说明： 主要用于集循环函数的条件表达式中，控制在函数中哪些集成员被包含，哪些被排斥。在创建稀疏集时用在成员资格过滤器中。 种逻辑运算符： #not# 否定该操作数的逻辑值，一元运算符 #eq# 若两个运算数相等，为true；否则为flase #ne# 若两个运算符不相等，为true；否则为flase #gt# 若左边运算符严格大于右边运算符，为true；否则为flase #ge# 若左边运算符大于或等于右边的
3、运算符，为true；否则为flase #lt# 若左边运算符严格小于右边运算符，为true；否则为flase #le# 若左边运算符小于或等于右边运算符，为true；否则为flase #and# 仅当两个参数都为true时，结果为true；否则为flase #or# 仅当两个参数都为false时，结果为false；否则为true 运算符的优先级由高到低： 高 #not#eq# #ne# #gt# #ge# #lt# #le# 低 #and# #or# 例4.2 逻辑运算符示例 2 #gt# 3 #and# 4 #gt# 2，结果为假（0）。,4.1.2 逻辑运算符,说明：主要用在模型中，指定一
4、个表达式的左边是否等于、小于等于、或大于等于右边，形成模型的一个约束条件。 关系运算符与逻辑运算符#eq#、#le#、#ge#区别：截然不同，前者是模型中该关系运算符所指定关系的为真描述，后者仅仅判断一个该关系是否被满足：满足为真，不满足为假。 关系运算符（三种）：“=”、“=”。 说明：还能用“”表示大于等于关系。 不支持严格小于和严格大于关系运算符。 若需要严格小于和严格大于关系，比如让A严格小于B：A=,4.1.3 关系运算符,标准数学函数： abs(x)： 返回x的绝对值 sin(x)： 返回x的正弦值，x采用弧度制 cos(x)： 返回x的余弦值 tan(x)： 返回x的正切值 ex
5、p(x)： 返回常数e的x次方 log(x)： 返回x的自然对数 lgm(x)： 返回x的gamma函数的自然对数 （即（x-1)!的自然对数） sign(x)： 如果x=0时，返回不超过x的最大整数； x0时，返回不低于x的最大整数。 smax(x1,x2,xn)：返回x1，x2，xn中的最大值 smin(x1,x2,xn)：返回x1，x2，xn中的最小值,4.2 数学函数,求最小的正方形相当于求如下的最优化问题：,例4.3 给定一个直角三角形，求包含该三角形的最小正方形 解：如图所示。,代码： model: sets:object/13/: f; endsets data:a, b = 3
6、, 4; !两个直角边长，修改很方便; enddataf(1) = a * sin(x);f(2) = b * cos(x);f(3) = a * cos(x) + b * sin(x);min = smax(f(1),f(2),f(3);bnd(0,x,1.57); end 函数bnd，详情见4.5节。,目前LINGO提供了两个金融函数。 1fpa(I,n) 返回如下情形的净现值：单位时段利率为I，连续n个时段支付，每个时段支付单位费用。若每个时段支付x单位的费用，则净现值可用x乘以fpa(I,n)算得。计算公式：,即在一定时期内为了获得一定收益在该时期初所支付的实际费用。 例4.4 贷款买
7、房问题 贷款金额50000元，贷款年利率5.31%，采取分期付款方式（每年年末还固定金额，直至还清）。问拟贷款10年，每年需偿还多少元？ 代码： 50000 = x * fpa(.0531,10); 答案：x=6573.069元。,4.3 金融函数,2fpl(I,n) 返回如下情形净现值：单位时段利率为I，第n个时段支付单位费用计算公式：,两个函数间的关系：,1pbn(p,n,x)：二项分布的分布函数。n和（或）x不是整数时，用线性插值法进行计算。 2pcx(n,x)：自由度为n的2分布的分布函数。 3peb(a,x)：当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且允许无穷排队时的Erlang繁忙概率
8、。 4pel(a,x)：当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且不允许排队时的Erlang繁忙概率。 5pfd(n,d,x)：自由度为n和d的F分布的分布函数。 *6pfs(a,x,c)：当负荷上限为a，顾客数为c，平行服务器数量为x时，有限源的Poisson服务系统的等待或返修顾客数的期望值。a是顾客数乘以平均服务时间，再除以平均返修时间。当c和（或）x不是整数时，采用线性插值进行计算。 7phg(pop,g,n,x)：超几何（Hyper geometric）分布的分布函数。pop是产品总数，g是正品数。从所有产品中任意取出n（npop）件。pop，g，n和x都可以是非整数，采用线性插值进行计
9、算。,4.4 概率函数,8ppl(a,x)：Poisson分布的线性损失函数，即返回max(0,z-x)的期望值，其中随机变量z服从均值为a的Poisson分布。 9pps(a,x)：均值为a的Poisson分布的分布函数。x不是整数时，采用线性插值进行计算。 10psl(x)：单位正态线性损失函数，即返回max(0,z-x)的期望值，随机变量z服从标准正态分布。 11psn(x)：标准正态分布的分布函数。 12ptd(n,x)：自由度为n的t分布的分布函数。 13qrand(seed)：产生服从(0,1)区间的拟随机数。 qrand只允许在模型的数据部分使用，它将用拟随机数填满集属性。通常，
10、声明一个mn的二维表，m表示运行实验的次数，n表示每次实验所需的随机数的个数。在行内，随机数是独立分布的；在行间，随机数是非常均匀的。这些随机数是用“分层取样”的方法产生的。,例4.5 model: data:M=4; N=2; seed=1234567; enddata sets:rows/1M/;cols/1N/;table(rows,cols): x; endsets data:X=qrand(seed); enddata end 如果没有为函数指定种子，那么将用系统时间构造种子。,例4.6 利用rand产生15个标准正态分布随机数和自由度为2的t分布的随机数。 model: !产生一列
11、正态分布和t分布的随机数; sets:series/115/: u, znorm, zt; endsets!第一个均匀分布随机数是任意的;u(1)= rand( .1234);!产生其余的均匀分布的随机数;for(series(I)|I #GT# 1:u(I)=rand(u(I-1);!产生正态分布随机数;!和自由度为2的t分布随机数;!ZNORM 和 ZT 可以是负数;for(series( I):psn(znorm(I)=u(I); ptd(2,zt(I)=u(I);free(znorm(I);free(zt(I);); end,14rand(seed)：返回0和1间的伪随机数，依赖于指定
12、的种子。 典型用法：U(I+1)=rand(U(I)。 注意如果seed不变，那么产生的随机数也不变。,实现对变量取值范围的附加限制： bin(x) 限制x为0或1 bnd(L,x,U) 限制LxU free(x) 取消对变量x的默认下界为0的限制， 即x可取任意实数 gin(x) 限制x为整数,4.5 变量界定函数（4种）,帮助处理集。 1in(set_name,primitive_index_1 ,primitive_index_2,) 如果元素在指定集中，返回1；否则返回0。 例4.7 全集为I，B是I的一个子集，C是B的补集。 sets:I/x1x4/;B(I)/x2/;C(I)|#n
13、ot#in(B,4.6 集处理函数,举例说明有时为index指定集的必要性。 例4.9 sets:girls/debble,sue,alice/;boys/bob,joe,sue,fred/; endsets I1=index(sue); I2=index(boys,sue); I1=2，I2=3。建议在使用index函数时最好指定集。 3wrap(index,limit) 返回j=index-k*limit，k是整数，取适当值保证j落在1，limit内，相当于index模limit再加1。 该函数在循环、多阶段计划编制中特别有用。 4size(set_name) 返回集set_name的成员
14、个数。 模型中明确给出集大小时最好使用该函数。优点是使模型更加数据中立，集大小改变时也更易维护。,遍历整个集进行操作。 语法格式： function(setname(set_index_list)|conditional_qualifier: expression_list); function相应于下面罗列的四个集循环函数之一； Setname：遍历的集； set_ index_list：集索引列表； conditional_qualifier：限制集循环函数范围，当集循环函数遍历集的每个成员时，LINGO都要对conditional_qualifier进行评价，若结果为真，则对该成员执行f
15、unction操作，否则跳过，继续执行下一次循环。 expression_list：被应用到每个集成员的表达式列表， 当用的是for函数时，expression_list可包含多个表达式，其间用分号隔开。这些表达式将被作为约束加到模型中。 当使用其余三个集循环函数时，expression_list只能有一个表达式。如果省略set_index_list，那么在expression_list中引用的所有属性的类型都是setname集。,4.7 集循环函数,1for 产生对集成员的约束。 基于建模语言的标量需要显式输入每个约束，但for函数允许只输入一个约束，然后自动产生每个集成员的约束。例4.10
16、 产生序列1,4,9,16,25model: sets:number/15/:x; endsetsfor(number(I): x(I)=I2); end,2sum 返回遍历指定的集成员的一个表达式的和。 例4.11 求向量5，1，3，4，6，10前5个数的和。 model: data:N=6; enddata sets:number/1N/:x; endsets data:x = 5 1 3 4 6 10; enddatas=sum(number(I) | I #le# 5: x); end,3min和max 返回指定的集成员的一个表达式的最小值或最大值。例4.12 求向量5，1，3，4，6
17、，10前5个数的最小值，后3个数的最大值。 model: data:N=6; enddata sets:number/1N/:x; endsets data:x = 5 1 3 4 6 10; enddataminv=min(number(I) | I #le# 5: x);maxv=max(number(I) | I #ge# N-2: x); end,复杂一点儿的例子。 例4.13 职员时序安排模型 一项工作一周7天都需要有人（如护士工作），每天（周一至周日）所需的最少职员数为20、16、13、16、19、14、12，并要求每个职员一周连续工作5天，试求每周所需最少职员数，并给出安排。 注
18、意这里考虑稳定后的情况。 model: sets:days/monsun/: required,start; endsets data: !每天所需的最少职员数;required = 20 16 13 16 19 14 12; enddata !最小化每周所需职员数;min=sum(days: start);for(days(J):sum(days(I) | I #le# 5:start(wrap(J+I+2,7) = required(J); end 解决方案：每周最少需要22个职员，周一安排8人，周二安排2人，周三无需安排人，周四安排6人，周五、周六都安排3人，周日无需安排人。,1file
19、函数从外部文件中输入数据，可放在模型中任何地方。 语法格式：file(filename)。 Filename：文件名，可采用相对路径和绝对路径两种表示方式。 对同一文件的两种表示方式的处理和对两个不同的文件处理一样。 例4.14 以例1.2为例 说明：例1.2的编码中有两处涉及到数据。 1）集部分6个warehouses集成员、8个vendors集成员； 2）数据部分的capacity，demand、cost数据。 为使数据和模型完全分开，把它们移到外部的文本文件中。修改模型代码以便于用file函数把数据从文本文件中拖到模型中来。,4.8 输入和输出函数,将模型和外部数据（如文本文件、数据库、
20、电子表格等）连接起来,修改后（修改处代码黑体加粗）的模型代码如下： model: !6发点8收点运输问题; sets:warehouses/ file(1_2.ldt) /: capacity;vendors/ file(1_2.ldt) /: demand;links(warehouses,vendors): cost, volume; endsets !目标函数;min=sum(links: cost*volume); !需求约束;for(vendors(J):sum(warehouses(I): volume(I,J)=demand(J); !产量约束;for(warehouses(I)
21、:sum(vendors(J): volume(I,J)=capacity(I);!这里是数据; data:capacity = file(1_2.ldt) ;demand = file(1_2.ldt) ;cost = file(1_2.ldt) ; enddata end,记录：记录结束标记（）之间的数据文件部分。 说明：若数据文件中没有记录结束标记，则整个文件被看作单个记录。除了记录结束标记外，模型的文本和数据同它们直接放在模型里一样。 记录结束标记与file函数调用的工作方式： 模型第一次调用file函数时，打开数据文件，读取第一个记录；第二次调用file函数时，读取第二个记录等等。
22、说明： 最后一条记录可以没有记录结束标记，遇到文件结束标记时，LINGO读取最后一条记录，然后关闭文件。若最后一条记录也有记录结束标记，那么直到LINGO求解完当前模型后才关闭该文件。若打开多个文件，可能导致一些问题，因为这会使同时打开的文件总数超过允许同时打开文件的上限16。 使用file函数时，可将记录内容（除一些记录结束标记外）看作是替代模型中file(filename)位置的文本。即，一条记录可以是声明的一部分，整个声明，或一系列声明。 数据文件中注释被忽略。注意不允许嵌套调用file函数。,2text函数 将数据部分解输出到文本文件中，可以输出集成员和集属性值 语法格式：text(f
23、ilename) Filename：文件名，可采用相对路径和绝对路径两种表示方式。 说明：若忽略filename，则数据输出到标准输出设备（一般是屏幕）。 text函数仅能出现在模型数据部分的一条语句左边，右边是集名（输出该集的所有成员名）或集属性名（输出该集属性的值）。 输出操作：用接口函数产生输出的数据声明。 输出操作仅当求解器求解完模型后才执行，执行次序取决于其在模型中出现的先后。,例4.15 借用例4.12，说明text用法。 model: sets:days/monsun/: required,start; endsets data:!每天所需的最少职员数;required = 20
24、 16 13 16 19 14 12;text(d:out.txt)=days 至少需要的职员数： start; enddata !最小化每周所需职员数;min=sum(days: start);for(days(J):sum(days(I) | I #le# 5:start(wrap(J+I+2,7) = required(J); end,3ole函数 从EXCEL中引入或输出数据的接口函数，基于传输的OLE技术。 说明：OLE传输直接在内存中传输数据，并不借助于中间文件。当使用OLE时，LINGO先装载EXCEL，再通知EXCEL装载指定的电子数据表，最后从电子数据表中获得Ranges。为
25、使用OLE函数，必须有EXCEL5及其以上版本。 OLE函数可在数据部分和初始部分引入数据。 OLE可同时读集成员和集属性，集成员最好用文本格式，集属性最好用数值格式。原始集每个集成员需要一个单元(cell)，对于n元的派生集每个集成员需要n个单元，第一行的n个单元对应派生集的第一个集成员，第二行的n个单元对应派生集的第二个集成员，依此类推。 OLE只能读一维或二维Ranges（在单个的EXCEL工作表(sheet)中），但不能读间断的或三维Ranges。Ranges自左而右、自上而下来读,例4.16 sets:PRODUCT; !产品;MACHINE; !机器;WEEK; !周;ALLOWE
26、D(PRODUCT,MACHINE,WEEK):x,y;!允许组合及属性; endsets data:rate=0.01; PRODUCT,MACHINE,WEEK,ALLOWED,x,y=OLE(D:IMPORT.XLS);OLE(D:IMPORT.XLS)=rate; enddata 说明：代替在代码文本的数据部分显式输入形式，把相关数据全部放在如下电子数据表中来输入。,下面是D:IMPORT.XLS的图表。 除输入数据外，也必须定义Ranges名：PRODUCT，MACHINE，WEEK，ALLOWED，x，y。为明确，需要定义如下Ranges名称： Name Range PRODUCT
27、 B3:B4 MACHINE C3:C4 WEEK D3:D5 ALLOWED B8:D10 X F8:F10 Y G8:G10 rate C13 定义Ranges名称步骤： 按鼠标左键拖曳选择Range， 释放鼠标按钮， 选择“插入|名称|定义”， 输入希望的名字， 点击“确定”按钮。,4ranged(variable_or_row_name) 为保持最优基不变，变量费用系数或约束行的右端项允许减少的量 5rangeu(variable_or_row_name) 为保持最优基不变，变量费用系数或约束行的右端项允许增加的量 6status() 返回求解模型结束后的状态： 0 Global Op
28、timum（全局最优） 1 Infeasible（不可行） 2 Unbounded（无界） 3 Undetermined（不确定） 4 Feasible（可行） 5 Infeasible or Unbounded（通常需要关闭“预处理”选项后重新求解模型， 以确定模型究竟是不可行还是无界） 6 Local Optimum（局部最优） 7 Locally Infeasible（局部不可行，尽管可行解可能存在，但是LINGO并 没有找到一个） 8 Cutoff（目标函数的截断值被达到） 9 Numeric Error（求解器因在某约束中遇到无定义的算术运算而停止）通常，如果返回值不是0、4或6时，
29、那么解将不可信，几乎不能用。该函数仅被用在模型的数据部分来输出数据。,例4.17 model: min=sin(x); data:text()=status(); enddata end 结果中的6就是status()返回的结果，表明最终解是局部最优的。 7dual(variable_or_row_name)： 返回变量的判别数（检验数）或约束行的对偶（影子）价格（dual prices）。,4.9 辅助函数,代码： model:min=fx+fy;fx=if(x #gt# 0, 100,0)+2*x;fy=if(y #gt# 0,60,0)+3*y;x+y=30; end,1if(logical_condition,true_result,false_result) 评价一个逻辑表达式logical_condition， 若为真，返回true_ result，否则返回false_result。,例4.18 求解最优化问题,2warn(text,logical_condition) 若条件logical_condition为真，则产生内容为text的信息框。 例4.19 示例。 model:x=1;warn(x是正数,x #gt# 0); end,
