1、学校： 临清一中 学科：数学 编写人：杜学云 2.2.2 反证法课前预习学案一、预习目标： 使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典型问题.二、预习内容：来源:高考(试#题库提出问题：问题 1：桌面上有 3 枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转 2 枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？学生尝试用直接证明的方法解释。采用反证法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次但由于每次用双手同时翻转 2
2、 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上问题 2：A、B、C 三个人，A 说 B 撒谎，B 说 C 撒谎，C 说 A、B 都撒谎。则 C 必定是在撒谎，为什么？分析:假设 C 没有撒谎, 则 C 真.那么 A 假且 B 假;由 A 假 , 知 B 真. 这与 B 假矛盾.那么假设 C 没有撒谎不成立;则 C 必定是在撒谎.推进新课在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反
3、的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点 疑惑内容课内探究学案一、 学习目标（1）使学生了解反证法的基本原理；（2）掌握运用反证法的一般步骤；（3）学会用反证法证明一些典型问题.来源:_st.Com二、学习过程：例 1、已知直线 和平面 ，如果 ，且 ，求证 。,ab,ab|ab|解析：让学生理解反证法的严密性和合理性；证明：因为 , |所以经过直线 a , b 确定一个平面 。因为 ，而 ，所以 与 是两个不同的平面因为 ，且 ，b所以 . 下面用反证法证明直线 a 与平面 没有公共点假设直线 a 与平面 有公共
4、点 ，则P，即点 是直线 a 与 b 的公共点，这与 矛盾所以 .PP|b|点评：用反证法的基本步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利变式训练 1.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.例 2、求证： 不是有理数例 3、设二次函数 ， 求证： 中至少有一个不qpxf2)( )3(,2)1(ff小于 .来源:st 21解析：直接证明 中至少有一个不小于 .比较困难，我们应采用反证)3(,2)1(ff 2法证明：
5、假设 都小于 ，则)(,)(ff 1（1）.2321另一方面，由绝对值不等式的性质，有（2）)39()24()1(1qpqpqpfffff（1） 、 （2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。点评：结论为“至少”、“至多”等时，我们应考虑用反证法解决。变式训练 3、设 0 a, b, c 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于 41反思总结：1.反证法的基本步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确2.归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与
6、已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。3.应用反证法的情形：(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论；（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题； （4 结论为 “唯一”类命题；当堂检测：1. 证明 357，不可能成等差数列2设 ，求证23ba.2ba证明：假设 ，则有 ，从而.2)1(6816,8233因为 ，所以 ，这与题设条件 矛盾，所)(b3ba23ba以，原不等式 成立。a课后练习与提高一、选择题1用反证法证明命题：若整系数一元二次方程 20()axbca有有理根，那么abc，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）假设 ，都是偶数假设 c都不是偶数假设
7、 ab，至多有一个是偶数假设 c至多有两个是偶数2 （1）已知 32pq，求证 2pq ，用反证法证明时，可假设 2pq ， （2）已知 abR， 1b，求证方程 0xab的两根的绝对值都小于 1用反证法证明时可假设方程有一根 1x的绝对值大于或等于 1，即假设 1x ，以下结论正确的是（ ） (1)与 2的假设都错误 与 的假设都正确 (1)的假设正确； (2)的假设错误 的假设错误； 的假设正确3命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ）有两个内角是钝角 有三个内角是钝角至少有两个内角是钝角 没有一个内角是钝角二、填空题4.三角形 ABC 中，A，B，C 至少有 1 个大于或等于 60 的反面为_5. 已知 A 为平面 BCD 外的一点，则 AB、CD 是异面直线的反面为_三、解答题6已知实数 abcd，满足 1abcd， 1acbd，求证 abcd，中至少有一个是负数来源:高考学习网 XK高考;试;题库
