1、11 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰伯努利（Johann Bernoulli，16671748）1696 年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem） 。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线） ，来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Franco
2、is Antonie de lHospital 1661-1704） 、雅可比伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705） 、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton16421727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（Euler Lonhard，17071783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支变分学。有趣的是，在 1690 年约翰伯努利的哥哥雅可比伯努
3、利曾提出著名的悬链线问题(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary） 。 伽利略（Galileo, 15641643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 1629 1695）在 1646 年（当时 17 岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到 1691
4、年，也就是雅可比伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以 62 岁）与约翰伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程解此方程并适当选取参数，得 （1）)(21axaxey即为悬链线。悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能” ，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名
5、的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可0)(122ydxadx2以用变分法来证明！ 现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，我们称之为变分问题。求解方法通常有两种：古典变分法和最优控制论。我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴。1.1 变分法的基本概念1.1.1泛函的概念设 为一函数集合，若对于每一个函数 有一个实数 与之对应，则称 是定S Stx)(JJ义在 上的泛函，记作 。 称为 的容许函数集。)(txJSJ例如，在 上光滑曲线 y(x)的长度可定义为,10（2）102xdxyJ考虑几个具体曲线，取 ，,10x
6、若 ，则xy)( 102)(dxxJy若 y(x)为悬链线，则 10 10124)2( eedeeJxx对应 中不同的函数 y(x)，有不同曲线长度值 J，即 J 依赖于 y(x)，是定义在,1C函数集合 上的一个泛函，此时我们可以写成0x)(xyJ我们称如下形式的泛函为最简泛函（3）ft dttFtJ0,)(被积函数 包含自变量 ，未知函数 (t)及导数 (t)。如，上述曲线长度泛函即为一最简Fx泛函。1.1.2泛函极值问题考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题：在所有连接定点 的平面曲线中，试求长度最小的曲线。),(),(10yxBxA和即，求 ，使100)(,()( yxCyy 10
7、2)(xdJ取最小值。此即为泛函极值问题的一个例子。以极小值为例，一般的泛函极值问题可表述为，称泛函 在 取得极小值，如果对于任意一个与 接近的 ，)(txJSt0 )(0txStx)(都有 。所谓接近，可以用距离 来度量，而距离可以 )(,0txd定义为 |)(|,)(|max)(,( 0000 txttttxdft 3泛函的极大值可以类似地定义。其中 称为泛函的极值函数或极值曲线。)(0tx1.1.3泛函的变分如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数 在 的增量记为)(tx0t )()(0txtx也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作 0
8、0tJtJ如果 可以表为J )(,(),(00txrtxL其中 为 的线性项，而 是 的高阶项，则称 为泛函在 的变分，记作LxrL。用变动的 代替 ，就有 。)(0tJ)(t)(0tx)(txJ泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数 的导数：（4）0)()( tttJ这是因为当变分存在时，增量),(),()()( xtrxtLtxtx 根据 和 的性质有Lr),(),(tt0limli00 xrx所以 )(li)(0JJxJ )(,(,li0 xJLxrxL1.2 泛函极值的相关结论1.2.1泛函极值的变分表示利用变分的表达式（4） ，可以得到有关泛函极值的重要结论。泛函极值的变分表示：若
9、 在 达到极值（极大或极小） ，则)(txJ0t（5）证明：对任意给定的 ， 是变量 的函数，该函数在 处达到极值。根x)(0xJ0据函数极值的必要条件知40)(0xJ再由（4）式，便可得到（5）式。变分法的基本引理： ， ， ，有,)(21C,)(21xC0)(21x，210xdx则 。, ,0)( 2证明略。1.2.2泛函极值的必要条件考虑最简泛函（3） ，其中 F 具有二阶连续偏导数，容许函数类 S 取为满足端点条件为固定端点（6）的二阶可微函数。， （6）0)(xtffxt)(泛函极值的必要条件：设泛函（3）在 x(t)S 取得极值，则 x(t)满足欧拉方程（7）xxFdt欧拉方程推导
10、：首先计算（3）式的变分：0)(ttxJ ft dttxtxF0 0)(, ft xx0 )()(对上式右端第二项做分部积分，并利用 ，有(0ftt，ff txtx dFdF00 ),),( 所以 ftxxttJ0利用泛函极值的变分表示，得00 ftxxdtFt因为 的任意性，及 ，由基本引理，即得（7） 。x)(0f（7）式也可写成（8）0xFFxtx 通常这是关于 x(t)的二阶微分方程，通解中的任意常数由端点条件（6）确定。1.2.3几种特殊形式最简泛函的欧拉方程(i) 不依赖于 ，即Fx),(xt5这时 ，欧拉方程为 ，这个方程以隐函数形式给出 ，但它一般0xF 0),(xtF)(tx
11、不满足边界条件，因此，变分问题无解。 (ii) 不依赖 ，即 ),(t欧拉方程为0),(xtFd将上式积分一次，便得首次积分 ，由此可求出 ，积分后得到可能1,cx ),(1ctx的极值曲线族 dt1,(iii) 只依赖于 ，即Fx)(xF这时 ，欧拉方程为0,0xxtx由此可设 或 ，如果 ，则得到含有两个参数的直线族 。另外xxFx 21ctx若 有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数 的直线族0x，它包含于上面含有两个参数的直线族 中，于是，在 情ckt 21ctx)(xF况下，极值曲线必然是直线族。（iv） 只依赖于 和 ，即Fx),(F这时有 ，故欧拉方程为0x
12、t 0xx此方程具有首次积分为 1cFx事实上，注意到 不依赖于 ，于是有t。0)()( xxxxxx Fdtdtdt 1. 3 几个经典的例子1.3.1 最速降线问题 最速降线问题 设 和 是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 和AB A的平面曲线中，求一曲线，使质点仅受重力作用，初速度为零时，沿此曲线从 滑行至B的时间最短。解 将 A 点取为坐标原点， B 点取为 B(x1,y1)，如图 1。根据能量守恒定律，质点在曲6线 上任一点处的速度 满足（ 为弧长） A(0, 0) x)(xydtsmgyt21将 代入上式得 B(x1,y1)dxyds)(2y 图 1 最速降线问题xgy
13、t12于是质点滑行时间应表为 的泛函)(dxgyxyJ2021端点条件为1)(,)(最速降线满足欧拉方程，因为yyF21),(不含自变量 ，所以方程（8）可写作x0yFy等价于 )(ydx作一次积分得12)(c令 则方程化为,2ctgy)cos1(2sin112 cy又因 dcctgdydx )os1(2osi1积分之，得 2)sin(2x7由边界条件 ，可知 ，故得0)(y02c).cos1(2inyx这是摆线（园滚线）的参数方程，其中常数 可利用另一边界条件 来确定。1c1(yx）1.3.2 最小旋转面问题最小旋转面问题 对于 平面上过定点 和 的每一条光滑曲线xy),(1yxA),(2B
14、，绕 轴旋转得一旋转体。旋转体的侧面积是曲线 的泛函 ，易得)(xy xyJdxyxxyJ )()(2)(12容许函数集可表示为 2121)()()( y, ,C|S 解 因 不包含 ，故有首次积分 “1yFx122 cyy 化简得 21c令 ，代入上式， shty chttscy121由于 dttcdx1积分之，得 21消去 ，就得到 。t1cxhy这是悬链线方程，适当选择条件（令该悬链线过（0，1/a）点，且该点处的切线是水平的）就可得到（1） 。本例说明，对于平面上过两个定点的所有光滑曲线，其中绕 轴旋转所得x旋转体的侧面积最小的是悬链线！1.3.3 悬链线势能最小1691 年，雅可比伯
15、努利证明：悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能。下面我们用变分法证明之。考虑通过 A、B 两点的各种等长曲线。令曲线 yf(x)的长度为 L，重心坐标为 ，),(yx8则 babadxydsL2)(1由重心公式有， Lxdyxba2)(1Lxdyyba2)(由于只需探讨曲线重心的高低，所以只对纵坐标的公式进行分析，注意到问题的表述，说明 L 是常数，不难看出重心的纵坐标是 y(x)的最简泛函，记作badxyxyJ2)(1)(此时对应的欧拉方程（8）可化为 0)(2令 解得 ，进而得dxyp0),1(22kp。)(1cxkhy此即为悬链线，它使重
16、心最低，势能最小！大自然中的许多结构是符合最小势能的，人们称之为最小势能原理。1.4 泛函极值问题的补充1.4.1 泛函极值的几个简单推广（）含多个函数的泛函使泛函 21),()(,xdxzyFzxyJ取极值且满足固定边界条件 .)(,)(,)(,)( 2121 的极值曲线 必满足欧拉方程组xzy0zzyyFdx（ii）含高阶导数的泛函使泛函21)“,()(xdxyyJ取极值且满足固定边界条件9, 1)(yx212 )(,)( yxyxyx，）（的极值曲线 必满足微分方程0“2 yyyFdxF（iii ） 含多元函数的泛函设 ，使泛函Dcxz),(),(2yxdzFyJ),(取极值且在区域 的
17、边界线 上取已知值的极值函数 必满足方程l ),(yxz0yxzzz上式称为奥式方程。1.4.2 端点变动的情况（横截条件）设容许曲线 在 固定，在另一端点 时不固定，是沿着给定的曲线)(tx0ft上变动。于是端点条件表示为)(tx)(0tx这里 是变动的，不妨用参数形式表示为tffdtt寻找端点变动情况的泛函极值必要条件，可仿照前面端点固定情况进行推导，即有0),(00 dtxxtFJffdtt （9）fttxtxx fff 0)(再对（9）式做如下分析：（i）对每一个固定的 ， 都满足欧拉方程，即（9）式右端的第一项积分为零；ft)(（ii）为考察（9）式的第二、第三项，建立 与 之间的关
18、系，因为fdtftx)()()( ffffff txdtx 对 求导并令 得0ftf dttf)()(10即（10）ffft dtxtxf )(把（10）代入（9）并利用 的任意性，得fd（11）0)(ftxF（11）式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件，称为横截条件。横截条件有两种常见的特殊情况：（i）当 是垂直横轴的直线时， 固定， 自由，并称 为自由端点。)(txft)(ftx)(ftx此时（9）式中 及 的任意性，便得自由端点的横截条件0fdftx（12）0ftxF（ii）当 是平行横轴的直线时， 自由， 固定，并称 为平动端点。)(txf)(ftx)(ftx此时 ， （11）式
19、的横截条件变为0* 0ftxF（13）注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。1.4.3 有约束条件的泛函极值在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统* （14）)(,)(tuxtf寻求最优性能指标（目标函数）* （15）ftff dttxFttuJ0)(,)(,)(其中 是控制策略， 是轨线， 固定， 及 自由，)(tux0ftf， （不受限，充满 空间） ， 连续可微。nRxmt mR,下面推导取得目标函数极值的最优控制策略 和最优轨线 的必要条件。)(*tu)(*tx采用拉格朗日乘子法，化条件极值为无条件极值，即考虑ft Tff dt
20、utfxFxtuxJ0 ),(),()(,),(1 （16）的无条件极值，首先定义（14）式和（15）式的哈密顿（Hamilton）函数为（19）),(),(),( xtfuxtxtHT11（17）将其代入（16）式，得到泛函（20）(18)ft Tff dtxuHxtuxJ0 ),()(,),(1 下面先对其求变分)()(,(1 ffff ttdt 0)()(,0 dtxuxHTdtff ffff tTftTftTftxTf uxtHdt ,)()()()xTutf )(0 （注：第一项利用公式（14）化简)(),()( fff txTfttTf txFd后） fff tTtfTt TTuT
21、xT dtxxdtHH00 )()()()()()( （注意最后两项是根据等号前最后一个积分项利用分部积分法得到。 ）同时注意到 ， ，因而)(fttf ffft txtxf )(fff txTfttTf udJ ,)(1 ft uTx dHH0 )()(再令 ，由 的任意性，便得1J,),tff（i） 必满足正则方程：*,x 状态方程 ),(uxtfH 协态方程 。x（ii）哈密顿函数 作为 的函数，也必满足),(*t0uH并由此方程求得 。*（iii ）求 时，必利用边界条件,x ， （用于确定 ）0)(t*x ， （用于确定 ）)(ftxf12 ， （确定 ）ff ttuxtH),(ft
22、1.4.4 最大（小）值原理如果受控系统，),(xtf0(xt其控制策略 的全体构成有界集 ，求 ，使性能指标)(tuUtu)ftff dxFxtJ0,()(,达到最大（小）值。最大（小）值原理：如果 ， 和 都是连续可微的，那么),(utf)(,fft),(uxt最优控制策略 和相应的最优轨线 由下列的必要条件决定：)(*tu*tx（i）最优轨线 ，协态向量 由下列的必要条件决定：x)(， ，),(tfdUtuxHt（ii）哈密顿函数),(),(),( * uxtfuxtFut T作为 的函数，最优策略 必须使)(tu),(ma),( *xtHxtHUu或使(最小值原理),(in),( *ttu（iii ）满足相应的边界条件 若两端点固定，则正则方程的边界条件为， 。0)(xffxt)( 若始端固定，终端 也固定，而 自由，则正则方程的边界条件为f )(ft， 。0)(x,)()(fftxftf 若始端固定，终端 都自由，则正则方程的边界条件为,ff， ，0)(x)(,)()(fftxf ttf。0, fftffffutH13
