1、学案 53 推理与证明一知识梳理：(一)合情推理与演绎推理1.推理：根据一个或几个已知事实(或假设)得出的一个判断，这种思维方式就是推理.推理一般由两部分组成：前提与结论推理一般分为两类：合情推理与演绎推理.2.合情推理：前提为真，结论可能为真的推理叫做合情推理. 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出该类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理，归纳推理是由特殊到一般的推理归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同性质从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(
2、猜想)类比推理：根据两类不同事物之间具有的某些类似(或一致)性推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质，这样的推理叫类比推理类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)3.演绎推理：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程叫做演绎推理.演绎推理是由一般到特殊的推理它的特征是：当前提为真时，结论必然为真三段论推理：“若 b c， a b，则 a c”，这种推理规则叫三段论推理它包括：(1)大前提已知的一般性原理 M 是 P(2)小前提所研究的特殊情况 S 是
3、M(3)结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断 S 是 P三段论推理是演绎推理的一般模式传递性关系推理：推理规则是：“如果 aRb， bRc，则 aRc”(其中 R 表示具有传递性的关系)，这种推理叫传递性关系推理，如：由 a b， b c，推出 a c，若 a b， b c，则a c，都是传递性关系推理完全归纳推理：把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理(二)直接证明与间接证明1.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明.直接证明的两种基本方法分析法和综合法 综合法 执因导果；分析法 执果索因. 注意：.分析法的特点是：从“未知”看需知，逐步靠拢“已知
4、” ，其每步推理都是寻求使每一步结论成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的 条件为止分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用 “要证” 、 “只需证” 这样的连接词综合法的特点是：从“已知”看“可知” ，逐步推向“未知” ，其每步推理都是寻找使每一步结论成立的必要条件综合法往往是分析法的逆过程，表述简单，条理清楚，所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即：分析找思路，综合写过程2. 间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法.反证法:一般地，由证明 p q，转向证明 q r t，而 t 与已知矛盾或与某个真命题矛盾，从而判定 q 为假，推出 q
5、 为真的证明方法叫做反证法反证法证明数学命题的一般步骤：(1)分清命题的条件与结论(2)做出与命题结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用演绎推理方法、推出矛盾的结果(4)断定产生矛盾结果的原因在于开始所做假设不真，从而肯定原命题为真等价证明：证明原命题的逆否命题成立.(三)数学归纳法用数学归纳法证明命题的基本步骤是：(1)证明当 n 取第一个初始值 n0时，命题正确.(2)假设当 n=k(k 且 kn 0)时,结论正确，证明 n=k+1 结论也正确. N在完成这两个步骤后，就可断定命题对从 n=n0 开始的所有的自然数 n 都正确.注意：用数学归纳法证明命题时，关键在第二步，即在“假设 n=
6、k 时，命题成立”的前提下，推出 “n=k+1 时，命题成立 ”，在推证过程中，必须用到 “归纳假设”的结论，否则这个证明则不是数学归纳法。在从 n=k 到 n=k+1 的推证过程中，要注意项的增减变化，以及对式子进行灵活变形，凑出 “归纳假设”的结论。数学归纳法的应用：证明恒等式；证明数列问题；证明整除问题；证明几何问题；证明不等式。二、基础训练：类型一推理例 1. 已知： 23150sin9i30sin222 ； 2315sin6i5sin222 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： .335变式训练 1：设 )(,cos)(010 xffxf， 21(),ffx 1()nnf
7、fx，nN，则)(208xf.例 2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有： .22bac设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 OLMN，如果用 321,s表示三个侧面面积， 4s表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .变式训练 2：在ABC 中，若C=90，AC=b,BC= a，则ABC 的外接圆的半径 2bar，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论 .例 3. 请你把不等式“若 21,a是正实数，则有 2121a”推广到一般情形，并证明你的结论.变式训练 3：观察式子：
8、471321,5321, 2 ，则可归纳出式子为（ ）A、 12312n B、 122nC、 D、 31例 4. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b平面 ，直线 a平面 ，直线 b平面 ，则直线 b直线 a”的结论显然是错误的，这是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误变式训练 4：“ AC,BD 是菱形 ABCD 的对角线， AC,BD 互相垂直且平分。 ”补充以上推理的大前提是 .类型二证明例 1. ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，求证： cbaba31.例 2.：若 a0，则 2112aa.例 3
9、若 cba,均为实数，且 62,32,2xzczybxa .求证： ,中至少有一个大于 0.变式训练 1：用反证法证明命题“ abN,可以被 5 整除，那么 ba,中至少有一个能被 5 整除。”那么假设的内容是 .类型三数学归纳法例 3已知数列 na， 0， 1， )(1221 Nnn记 nS21 )1()()( 21211 nn aaaaT 求证：当 N时， （1） n；（2） nS；（3） nT。336 337三、巩固提高1如下命题，其中不正确命题的序号是_.四个非零实数 a、 b、 c、 d 依次成等比数列的充要条件是 ad bc；设 a， bR，且 ab0，若 1；若 f(x)log
10、2x，则 f(|x|)是偶函数ab2观察式子：11 2, 2343 2, 345675 2, 456789107 2，则可得出一般结论：_ _.3.在平面几何里，有勾股定理：“设 ABC 的两边 AB， AC 互相垂直，则 AB2 AC2 BC2.”拓展到空间，类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 A BCD 的三个侧面 ABC、 ACD、 ADB 两两相互垂直，则 4已知命题：平面直角坐标系 xOy 中，ABC 顶点 A(p,0)和 C(p,0)，顶点 B 在椭圆(mn0,p= )上，椭圆的离心率是 e，则 试将12nymx2nm e1si
11、n该命题类比到双曲线中，给出一个真命题：_. 5.已知实数 x，y，z 满足 x+y+z=1.求证 x2+y2+z2 .316.设数列a n的前 n 项和为 Sn，且方程 x2-anx-an=0 有一根 Sn-1,n=1,2,3,.(1)求 a1,a2；(2)猜想数列S n的通项公式，并给出证明.四、走向高考：1 山 东 15. 设 函 数 ()(0)2xf,观察: 1(),2xfxf1()(),34xff32()(),78xfxf43()(),156xff 根据以上事实，由归纳推理可得：当 nN且 21()()nnffx .陕西理 13观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=25
12、4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律，第 个等式为 .n（2010 浙江理数） （14）设 12,()(3)2nnNx201naxax,将 (0)kan的最小值记为 nT，则 4550,3nTT其中 nT=_ .（2010 湖南理数）15若数列 na满足：对任意的 nN，只有有限个正整数 m使得ma成立，记这样的 m的个数为 ()，则得到一个新数列 ()na例如，若数列 na是1,23,n，则数列 ()n是 0,12,， 已知对任意的 ， 2，则5()， a 浙江理 19已知数列 满足： 且 （ ）.(1)求证：数列n21nan11N为等比数列，并求数列 的通项公式；(2)证明：1nana（ ）.2.321 nN338339340
