1、第 1 页（共 20 页）2017 届 浙江省绍兴市诸暨中学高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1设集合 A=x|x2x20，B=0，1，2，则 A B=（ ）A0 B1 C0，1，2 D0，12ABC 中， “ ”是“ ”的（ ）条件A充要条件 B必要不充分C充分不必要 D既不充分也不必要3已知 ， ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ）A B C D4设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 S20150，S 20160，若对任意正整数 n，都有|a n|a k|，则 k 的值为（ ）A1006 B1007 C1008 D10095f
2、（x ）=Acos（x+ ） （ A，0）的图象如图所示，为得到 g（x）=Asin（ x+ ）的图象，可以将 f（x ）的图象（ ）A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度6偶函数 f（x）在 x0 时，函数 f（x ）=x 2+ax+b，则 f（x ）的图象大致是（ ）A B C D第 2 页（共 20 页）7点 P 是ABC 内一点，且 ，则ABP 与ABC 的面积之比是（ ）A1 ：5 B1：2 C2：5 D1：38已知函数 f（x）= （a0，且 a1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f（ x）|=2x 恰好有两个不相等的实
3、数解，则 a 的取值范围是（ ）A （0 ， B ， C ， D ， ） 二、填空题：本大题共 7 小题，9-12 题：每小题 6 分，13-15 题：每小题 6 分，共 36 分.9 （6 分）已知角 的终边过点（4， 3） ，则 tan= ，= 10 （6 分）已知 loga2=m，log a3=n，其中 a0 且 a1，则 am+2n= ，用m，n 表示 log43 为 11 （6 分）在数列a n中， a1=2，a 2=10，且 ，则 a4= ，数列a n的前 2016 项和为 12 （6 分）若 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，且 x0 时，f （x）=x 2，则 x0时，f（
4、x）= ，若对任意的 xt，t+2，f（x +t）2f （x）恒成立，则实数t 的取值范围是 13 （4 分） = 14 （4 分）已知平面向量 且 与 的夹角为 150，则（t R）的取值范围是 第 3 页（共 20 页）15 （4 分）已知函数 ，任意的 tR，记函数 f（x ）在区间t，t+1上的最大值为 M（t ） ，最小值为 m（t ） ，则函数 h（t ）=M（t）m（ t）的值域为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16 （14 分）ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且cos2A=3cos（B+C ）
5、+1（）求角 A 的大小；（）若 cosBcosC= ，且ABC 的面积为 2 ，求 a17 （15 分）已知a n为公差不为零的等差数列，首项 a1=a，a n的部分项 、 恰为等比数列，且 k1=1，k 2=5，k 3=17（1）求数列a n的通项公式 an（用 a 表示） ；（2）设数列k n的前 n 项和为 Sn，求 Sn18 （15 分）已知二次函数 f（x ）=ax 2+bx+c，其中常数 a，b，cR（1）若 f（3）=f（1）= 5，且 f（x ）的最大值是 3，求函数 f（x）的解析式；（2）a=1，若对任意的 x1，x 21，1，有|f（x 1）f（x 2）|4，求 b 的
6、取值范围19 （15 分）已知函数 f（ x）=lnx ax2+x，a R（1）当 a=1 时，求函数 y=f（x）在点（1，f （1） ）处的切线方程；（2）求函数 f（x）的单调区间；（3）是否存在实数 a，使得函数 f（x ）的极值大于 0？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由20 （15 分）数列a n满足 a1=2， 第 4 页（共 20 页）（1）设 ，求数列b n的通项公式；（2）设 ，数列c n的前 n 项和为 Sn，求出 Sn 并由此证明：第 5 页（共 20 页）2017 届浙江省绍兴市诸暨中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小
7、题，每小题 5 分，共 40 分.1设集合 A=x|x2x20，B=0，1，2，则 A B=（ ）A0 B1 C0，1，2 D0，1【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A，找出 A 与 B 的交集即可【解答】解：由 A 中不等式变形得：（x 2） （x+1）0 ，解得：1x2，即 A=（ 1，2 ） ，B=0，1，2，AB=0，1，故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2ABC 中， “ ”是“ ”的（ ）条件A充要条件 B必要不充分C充分不必要 D既不充分也不必要【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：在三角形中若 ，则 A，则， “
8、 ”是“ ”的充要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的公式是解决本题的关键3已知 ， ，则向量 在向量 方向上的投影第 6 页（共 20 页）为（ ）A B C D【分析】先根据向量的垂直得到 = ，再根据投影的定义即可求出【解答】解： ， ，（2 + ） （ 2 ）=2 3 2 =0， = ，向量 在向量 方向上的投影为 = ，故选：A【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的投影的定义，属于基础题/4设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 S20150，S 20160，若对任意正整数 n，都有|a n|a k|，则 k 的值为（ ）A1006
9、 B1007 C1008 D1009【分析】等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 S20150，S 20160，利用求和公式可得：=2015a10080， =1008（a 1008+a1009）0，可得 a10080， a10090，即可得出【解答】解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 S20150，S 20160， =2015a10080， =1008（a 1008+a1009）0，a 10080， a10090，对任意正整数 n，都有|a n|a k|，则 k=1008故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力
10、，属于中档题第 7 页（共 20 页）5 （2016平果县模拟）f（x）=Acos （x +） （A ， 0）的图象如图所示，为得到 g（x ）=Asin（x+ ）的图象，可以将 f（x）的图象（ ）A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度【分析】由函数的最值求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数 f（x ）的解析式再根据函数 y=Asin（x +）的图象变换规律，得出结论【解答】解：由题意可得 A=1， T= = ，解得 =2，f（ x）=Acos（x+）=cos （2x+） 再由五点法作图可得 2 += ，= ，f（ x
11、）=cos（2x ）=cos2 （x ） ，g（ x）= sin（2x+ ）=cos（2x+ + ）=cos2 （x+ ） ，而 （ ）= ，故将 f（ x）的图象向左平移 个单位长度，即可得到函数 g（x ）的图象，故选：D【点评】本题主要考查由函数 y=Asin（x+ ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于中档题6偶函数 f（x）在 x0 时，函数 f（x ）=x 2+ax+b，则 f（x ）的图象大致是（ ）A B C D第 8 页（共 20 页）【分析】函数 f（x）是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 A，C ；在 x0 时，函数 f（x）=x 2+ax+
12、b，原函数为三次函数，最多两个极值点，排除 D，即可得出结论【解答】解：函数 f（x）是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 A，C ；在 x0 时，函数 f（x ）=x 2+ax+b，原函数为三次函数，最多两个极值点，排除D，故选 B【点评】本题考查函数的图象与性质，考查导数知识的运用，属于中档题7点 P 是ABC 内一点，且 ，则ABP 与ABC 的面积之比是（ ）A1 ：5 B1：2 C2：5 D1：3【分析】可延长 PB 到 B，延长 PC 到 C，并分别使 PB=2PB，PC=3PC ，从而根据条件便得到 = ，这便说明 P 为ABC 的重心这便得到三角形 PAB，三角形 PBC，及三
13、角形 PCA 的面积都相等，设为 S，从而会得到 SABC=S，这样便可求出ABP 与ABC 的面积之比【解答】解：如图，延长 PB 至 PB，使 PB=2PB，延长 PC 至 PC，使 PC=3PC，并连接 AB，BC，CA，则： =P 是 ABC 的重心；PAB，PBC ，PCA 三个三角形的面积相等，记为 S；S APB = ， SAPC = ，S BPC = ，S ABC =S，S ABP ：S ABC =1：2故选 B第 9 页（共 20 页）【点评】考查向量数乘的几何意义，三角形重心和三顶点构成向量的和为零向量，以及三角形的面积公式8 （2016天津）已知函数 f（x）= （a 0
14、，且 a1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f（x）|=2 x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A （0 ， B ， C ， D ， ） 【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出 a 的大致范围，再根据 f（ x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出 a 的范围【解答】解：y=loga（x+1）+1 在0，+）递减，则 0a 1，函数 f（ x）在 R 上单调递减，则：；解得， ；由图象可知，在0，+）上，|f（x ）|=2x 有且仅有一个解，故在（，0）上，|f（x）|=2 x 同样有且仅有一个解，当 3a2 即 a 时，联立|x
15、 2+（4a3）x+3a|=2 x，第 10 页（共 20 页）则= （ 4a2） 24（3a 2）=0，解得 a= 或 1（舍去） ，当 13a 2 时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为 ， ，故选：C【点评】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题二、填空题：本大题共 7 小题，9-12 题：每小题 6 分，13-15 题：每小题 6 分，共 36 分.9 （6 分）已知角 的终边过点（4， 3） ，则 tan= ，= 8 【分析】直接利用任意角的三角函数的定义即可求解 tan，利用诱导公式，同角三角函
16、数基本关系式化简所求即可 计算得解【解答】解：角 终边上一点 P（4，3） ，由三角函数的定义可得 tan= ， = = =8，故答案为： ，8【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基本知识的考查第 11 页（共 20 页）10 （6 分） （2015 秋 宁波期末）已知 loga2=m，log a3=n，其中 a0 且 a1，则 am+2n= 18 ，用 m，n 表示 log43 为 【分析】直接利用对数式与指数式的互化，化简求解即可【解答】解：log a2=m，log a3=n，其中 a0 且 a 1，可得：a m=2，a
17、n=3，则am+2n=232=18log43= = 故答案为： 【点评】本题考查对数的运算法则的应用，函数的简单性质的应用11 （6 分）在数列a n中， a1=2，a 2=10，且 ，则 a4= 2 ，数列a n的前 2016 项和为 0 【分析】a 1=2，a 2=10，且 ，可得 a3=a2a1=102=8，同理可得：a 4=2，a 5=10，a 6=8，a 7=2，a n+6=an即可得出【解答】解：a 1=2，a 2=10，且 ，a 3=a2a1=102=8，同理可得：a 4=810=2，a 5=10，a 6=8，a 7=2，a 8=10，a n+6=an则 a4=2，数列a n的前
18、 2016 项和=（a 1+a2+a6）336=（2+10+82 108）=0故答案为：2，0【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12 （6 分）若 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，且 x0 时，f （x）=x 2，则 x0第 12 页（共 20 页）时，f（ x）= x 2 ，若对任意的 xt，t +2，f（x+t ）2f（x）恒成立，则实数 t 的取值范围是 ， +） 【分析】由当 x0 时，f（x）=x 2，函数是奇函数，可得当 x0 时，f （x）=x2，从而 f（x）在 R 上是单调递增函数，且满足 2f（x）=f（ x） ，再根据不
19、等式 f（ x+t）2f（x）=f（ x）在t ，t+2恒成立，可得 x+t x 在t ，t+2恒成立，即可得出答案【解答】解：f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f （x）=x 2当 x0，有x0，f（x ）=（ x） 2，f （x ）=x 2，即 f（x）=x 2，f（ x）= ，f（ x）在 R 上是单调递增函数，且满足 2f（x）=f（ x） ，f（x+t） 2f（x）=f（ x） ，又函数在定义域 R 上是增函数故问题等价于当 x 属于t，t+2时 x+t x 恒成立（ 1）x t0 恒成立，令 g（ x）= （ 1）xt ，g（ x） max=g（ t+2）0解得 t
20、 t 的取值范围 t ，故答案为：x 2； ，+ ） 【点评】本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性13 （4 分） （2012华龙区校级模拟） = 4 第 13 页（共 20 页）【分析】切化弦后通分，利用二倍角的正弦与两角差的正弦即可化简求值【解答】解：原式= = =4 故答案为：4 【点评】本题考查三角函数的化简求值，着重考查用二倍角的正弦与两角差的正弦的应用，属于中档题14 （4 分）已知平面向量 且 与 的夹角为 150，则（t R）的取值范围是 ，+） 【分析】设 = ， = ，则 = ，OAB 为等腰三角形，且AOB=120，OAB=OB
21、A=30 ，求得 = cos120= ，再根据 = ，利用二次函数的性质求得它的范围【解答】解：平面向量 且 与 的夹角为 150，如图，设 = ， = ，则 = ，OAB 为等腰三角形，且AOB=120，OAB=OBA=30 ， = cos120= ， = = = = ，故答案为： ，+） 第 14 页（共 20 页）【点评】本题考查了向量的夹角、直角三角形的边角关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15 （4 分）已知函数 ，任意的 tR，记函数 f（x ）在区间t，t+1上的最大值为 M（t ） ，最小值为 m（t ） ，则函数 h（t ）=M（t）m（ t）的值域为
22、【分析】利用正弦函数的周期公式可得其周期 T=4，区间t，t +1的长度为T，利用正弦函数的图象与性质，可求得函数 h（t）=M（t）m（t ）的值域【解答】解： =sin x，其周期 T=4，区间t ，t+1的长度为 T，又 f（x）在区间t，t +1上的最大值为 Mt，最小值为 mt，由正弦函数的图象与性质可知，当 x4k+ ，4k+ 时，h （t）=M（t ） m（t ） ，取得最小值 1 ；当 x4k+ ，4k+ 时，h（t）=M （t ） m（t）取得最大值 （ ）= ；函数 h（t）的值域为 第 15 页（共 20 页）故答案为 【点评】本题考查正弦函数的周期性、单调性与最值，考查
23、分析问题，解决问题的能力，属于中档题三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16 （14 分） （2015宁波模拟）ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为a， b，c ，且 cos2A=3cos（ B+C）+1（）求角 A 的大小；（）若 cosBcosC= ，且ABC 的面积为 2 ，求 a【分析】 （）根据余弦函数的倍角公式，进行化简即可求角 A 的大小；（）根据余弦定理以及三角形的面积公式进行化简求解即可【解答】解：（）由 cos2A=3cos（B +C）+1 得， 2cos2A+3cosA2=0，即（2cosA 1） （cosA +2
24、）=0，所以，cosA= 或 cosA=2（舍去） ，因为 A 为三角形内角，所以 A= （）由（）知 cosA=cos（B+C）= ，则 cosBcosCsinBsinC= ；由 cosBcosC= ，得 sinBsinC= ，由正弦定理，有 ，即 b= ，c= ，由三角形的面积公式，得 S= = = ，即 =2 ，第 16 页（共 20 页）解得 a=4【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理和余弦定理是解决本题的关键17 （15 分）已知a n为公差不为零的等差数列，首项 a1=a，a n的部分项 、 恰为等比数列，且 k1=1，k 2=5，k 3=17（1）求数列a n的通项公
25、式 an（用 a 表示） ；（2）设数列k n的前 n 项和为 Sn，求 Sn【分析】 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出（2）利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：（1）设等差数列的公差为 d，据题有： ，即（a +4d） 2=a（a+16d） ，16d 2=8ad， d0， ，从而 （2）设等比数列的公比为 q，则 ，故 ，另一方面， ，所以 ，a0， ， 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （15 分）已知二次函数 f（x ）=ax 2+bx+c，其中常数 a，b，cR（1）若 f（3
26、）=f（1）= 5，且 f（x ）的最大值是 3，求函数 f（x）的解析式；（2）a=1，若对任意的 x1，x 21，1，有|f（x 1）f（x 2）|4，求 b 的取值范围【分析】 （1）结合题意得到关于 a，b，c 的方程组，解出即可；第 17 页（共 20 页）（2）若对任意的 x1，x 21，1，有|f（x 1） f（x 2）|4，f（x） maxf（x）min4 ，结合二次函数的图象和性质分类讨论，可得实数 b 的取值范围【解答】解：（1）由题意得： ，解得：a=2，b=4，c=1，f（ x）= 2x2+4x+1；（2）函数 f（x）=x 2+bx+c 对任意的 x1，x 21，1，
27、有|f（x 1）f（x 2）|4 恒成立，即 f（x） maxf（x） min4，记 f（x） maxf（x） min=M，则 M4当| |1，即|b|2 时，M=|f（1） f（ 1）|=|2b|4，与 M4 矛盾；当| |1，即|b|2 时，M=maxf （1） ，f（ 1）f（ ）=f（ ）= （1+ ） 24，解得：|b|2，即2 b2 ，综上，b 的取值范围为2b2【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键19 （15 分）已知函数 f（ x）=lnx ax2+x，a R（1）当 a=1 时，求函数 y=f（x）在点（1，f （1） ）处
28、的切线方程；（2）求函数 f（x）的单调区间；（3）是否存在实数 a，使得函数 f（x ）的极值大于 0？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由第 18 页（共 20 页）【分析】 （1）求出函数的导数，计算 f（1） ，f （1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，然后对 a 分 a=0，a0，与 a0 分类讨论，利用f（x ）0，与 f（x） 0 可得其递增区间与递减区间；（3）由（2）可知，当 a0，函数取到极大值，此时 f（x）=0 有两个不等的根，即 lnx= ax2x 有两个不等的根构造函数 y=lnx 与 y= ax2x，则两个图象有两个不同的交点，从而可求
29、a 的取值范围【解答】解：（1）a=1 时，f （x）=lnx x2+x，f（x）= x+1，f（1）= ，f（1）=1，故切线方程是：y =x1，整理得：y=x ；（2）f（x ）=lnx ax2+x，a R，f（x ）= ax+1= （x 0） ，当 a=0 时，f（x ）0，故 f（x ）在（0，+）上单调递增；当 a0 时，由于 x0，故 ax20，于是ax 2+x+10，f（x）0，故 f（x）在（0，+）上单调递增；当 a0 时，f（x）0 得，0x ，即 f（x）在（0， ）上单调递增；由 f（x）0 得，x ，即 f（x ）在（ ，+）上单调递减；（3）由（2）可知，当 a0，
30、x= 时函数取到极大值，x0 ，f（x）0，x + ，f（x ）0，f（ x）=0 有两个不等的根，即 f（x）=lnx ax2+x=0 有两个不等的根，即 lnx= ax2x 有两个不等的根，构造函数 y=lnx 与 y= ax2x，则两个图象有两个不同的交点；第 19 页（共 20 页）y=lnx 过（1，0） ，y= ax2x 的对称轴为直线 x= ，顶点坐标为（ ， ） ，解得 a2，0a2 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用，属于难题，第三问把有正的极大值的问题转化为图象开口向下与 X 轴有两个交点，思路巧妙，学习
31、中值得借鉴20 （15 分） （2013南开区模拟）数列a n满足 a1=2，（1）设 ，求数列b n的通项公式；（2）设 ，数列c n的前 n 项和为 Sn，求出 Sn 并由此证明：【分析】 （1）利用数列递推式，结合条件，可得 bn+1bn= ，利用叠加法，可求数列b n的通项公式；（2）确定数列的通项，利用叠加法求和，利用数列的单调性，即可得到结论【解答】解：（1） ， =b n+1bn=第 20 页（共 20 页）b n=b1+（b 2b1）+ +（b nbn1）= ，a 1=2，b 1=1b n= ；（2）由（1）知，a n= ， ， = S n= = = 得到递减， = ，即 【点评】本题考查数列的通项与求和，考查叠加法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
