1、2017 届河南省六市高三下学期第二次联考数学（理）试题一、选择题1已知集合 ， ，则 （ 2|30Ax|ln2BxyxAB）A. B. C. D. ,31,1,2【答案】C【解析】解：由题意可知： ，则 .|3,|2AxBxAB1,2本题选择 C 选项.2设复数 （ 为虚数单位） ，则 的虚部是（ ）21izzA. B. C. D. ii【答案】A【解析】解：由题意可知： ，则 的虚部是 .211iizz1本题选择 A 选项.3函数 的图象大致为（ ）2lnxy【答案】B【解析】试题分析：采用排除法，函数定义域为 ，排除 A，当,0,时， ，排除 D，当 时， 1x 2ln,lxxy1x，排
2、除 C，故选 B.2ln0,0lxy【考点】函数的图象.4如图， ， ， ， 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GHMN， 是异面直线的图形的序号为（ ）NA. B. C. D. 【答案】D【解析】解：由题意可得图中 GH 与 MN 平行，不合题意；图中的 GH 与 MN 异面，符合题意；图中 GH 与 MN 相交，不合题意；图中 GH 与 MN 异面，符合题意。则表示 ， 是异面直线的图形的序号为：.GHMN本题选择 D 选项.5已知圆 .设条件 ： ，条件 ：圆 上至多22:1(0)Cxyrp03rqC有 2 个点到直线 的距离为 1，则 是 的（ ）3qA. 充分不必要条件 B.
3、 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：圆 C:(x1)2+y2=r2(r0).圆心(1,0)到直线的距离 .1032d由条件 q:圆 C 上至多有 2 个点到直线 x y+3=0 的距离为 1，则 00,则不等式等价为 ,直线 的斜率 ,此时区域2ya2yxa10ka都在直线 的上方，不满足条件。1y若 a0),得 y=2ax，由 y=ex,得 y=ex，曲线 C1:y=ax2(a0)与曲线 C2:y=ex 存在公共切线，设公切线与曲线 C1 切于点( x1,ax12),与曲线 C2 切于点 ，2,xe则 ，2112xe可得 2x2=x1+2， ，21
4、xa记 ，则 ，efx24xef当 x(0,2)时,f(x )0,f(x)递增。当 x=2 时, .2min4ea 的范围是 .2,三、解答题17 已知在 中，角 的对边分别为 ，且 （）求角 的大小；（）若 ， ，求 的面积 【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）根据正弦定理， ， ，代入原式，整理为 ，再公共辅助角公式化简，根据 ，计算角 ；（2 ）因为知道 代入余弦定理， ，得到 ，最后代入面积公式 ，计算面积试题解析：（1）在 中，由正弦定理得 ，即 ，又角 为三角形内角，所以 ，即 ，又因为 ，所以 （2 ）在 中，由余弦定理得：，则即 ，解得 或 ，又 ，所以 【考点
5、】1正弦定理；2余弦定理；3面积公式18某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在 内,发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表,规501定： 、 、 三级为合格等级, 为不合格等级.ABCD百分制 分及以上8分到 分784分到 分609分以下60等级 BCD为了解该校高一年级学生身体素质情况,从中抽取了 名学生的原始成绩作为样本进行n统计, 按照 的分组作出频率分布直方图如50,6,70,8,90,1图 所示,样本中分数在 分及以上的所有数据的茎叶图如图 所示.1 2（1 ）求 和频率分布直方图中的 的值；n,xy（2 ）根据样本估计总体的思
6、想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生任选 人,求至少有 人成绩是合格等级的概率；31（3 ）在选取的样本中,从 、 两个等级的学生中随机抽取了 名学生进行调研, 记AC3表示所抽取的 名学生中为 等级的学生人数,求随机变量 的分布列及数学期望. 【答案】 （I） ；（II） ；（III ）分布列见解析， n50,.40.18xy0.9.94E【解析】试题分析：(I)借助题设条件运用频率分布直方图求解；(II)依据题设对立事件的概率公式求解；（III）依据题设运用随机变量的数学期望公式探求.试题解析：（）由题意可知，样本容量（）成绩是合格等级人数为： 人，抽取的 50 人
7、中成绩是合格等级的频率为 ，故从该校学生中任选 1 人，成绩是合格等级的概率为 ，设在该校高一学生中任选 3 人，至少有 1 人成绩是合格等级的事件为 ，则 ；（）由题意知等级的学生人数为 人， 等级的人数为人，故 的取值为 0，1，2，3，3129312 7,00CCPP393 912 128784,55所以 的分布列为：12721903054E【考点】频率分布直方图及对立事件的概率公式、数学期望计算公式等有关知识的综合运用19如图， 是半圆 的直径， 是半圆 上除 、 外的一个动点， 垂ABOCOABDC直于半圆 所在的平面， ， ， ， .DEBA41tan4EA（1）证明：平面 平面
8、；AEC（2）当三棱锥 体积最大时，求二面角 的余弦值.DDAEB【答案】 （1）见解析（2） 26【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得 平面 ，然后利用面面垂直的判断定理即可证得平面EAC平面 .ADEC(2)由题意可得，当且仅当 时，三棱锥 体积最大,建立空间直B2CADE角坐标系可得二面角 的余弦值为 .E6试题解析：解：（1）因为 是直径，所以 ，ABCA因为 平面 ，所以 ，CDDB因为 ，所以 平面 ，因为 ， ，E所以四边形 是平行四边形，所以 ，所以 平面 ，A因为 平面 ，所以平面 平面 .AECD（2）因为 平面 ， ，DCB所以 平面 ， ，BE在 中， ，RtA1t
9、an4由（1）知 221 11143326 3CADECACDVSEACDEACBABCA ，当且仅当 时，等号成立.2B如图所示，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， 0,1D0,21E2,0A.0,2B则 ， ， ， 2,0AB 0,1BE0,2DE.1D设平面 的一个法向量为 ，E11,nxyz则 ，即 ，10nA120z ，取 ，则1y1x，,02n设平面 的一个法向量为 ，ABE22,nxyz则 ，即 ，20n220z ，取 ，则 ，2z21x,n ，112cos, 69二面角 的余弦值为 .DAEB220在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率为 ，右xOyC21(0)xyab12焦
10、点 .(1,0)F（1）求椭圆 的方程；C（2）点 在椭圆 上，且在第一象限内，直线 与圆 ： 相切于点PPQO22xyb，且 ，求点 的纵坐标 的值MOQt【答案】 （1） ；（2） .2143xy3t【解析】试题分析：（1）由 求出 的值；（2）先22,1ceabc,ab考虑特殊情况:直线 的斜率不存在,求出 ；一般情况,直线 :PM3t PQ,利用直线与圆相切,向量垂直的条件:数量积为零,求出点 的纵坐00()ykx标 的值t试题解析：（1） ， ， ，椭圆方程为 1,2ca2a3b2143xy（2）当 轴时， ， ，PMx3(,)2(,)Qt由 ，解得 0OQt当 不垂直于 轴时，设
11、， 方程为 ，即x0(,)Pxy00()ykx，0kxy 与圆 相切， ，PQO02|31kxy ，20()3kxy ，203k又 ，所以由 ，得 ，Q(,)tykxt0OPQ00()xykt2200()txky2200()kxy202200(3)3xkyxyk，202 20(3)1(1)34xk t综上： 23t【考点】1.椭圆的简单几何性质；2.向量垂直条件.【思路点晴】本题主要考查直线,圆椭圆之间的位置关系,属于中档题. 在（1）中,利用椭圆的离心率和焦点坐标,求出椭圆的标准方程；在（2）中,分两种情况讨论,直线的斜率是否存在,分别求出点 的纵坐标 的值,要用到直线和圆相切的条件:PQQ
12、t,直线垂直得到向量垂直,向量数量积为零,再化简整理,求出 的值.dr t21已知函数 ， ， （其中 是自然对数的sincoxfecos2xgxe底数）.（1） ， 使得不等式 成立，试求实数10,2x20,x12fgxm的取值范围.m（2）若 ，求证： .fg【答案】 （1） （2）见解析,【解析】试题分析：(1)问题等价于 ，分别讨论函数 的性质可得：实12minmaxfxg,fxg数 m 的取值范围为 .,(2) 问题等价于 ，令 ，可得 的最小值为 1.xecos1in2xeh(1)hx令 ，其可看作点 与点 连线的斜率，可得 取coskinx2Asi,coB2,0k得最大值为 1.
13、据此即可得 .fxg0试题解析：解：（1）因为不等式 等价于 ，12fm12fxgx所以 ， 使得不等式 成立，等价于10,2x20,x12fm，即 ，1minminfg12minmaxfg当 时， ，故在区间 上单调递增，0,2xscos0xxfe0,2所以 时， 取得最小值 .yf1又 ，由于 ， ， ，cosin2xgxe0cosxsin0xxe所以 ，故 在区间 上单调递减，因此 时， 取得最大0gxgx0,20xgx值 .2所以 ，所以 .1m1所以实数的取值范围为 .,2（2）当 时，要证 ，只要证 ，x0fxgfxg只要证 ，sincos2xee只要证 ，21cox由于 ， ，只
14、要证 .sin0xcos1in2xe下面证明 时，不等式 成立，1xcsixe令 ，则 ，()eh221 1xxxeh当 时， ， 单调递减；1,0x0x当 时， ， 单调递增.hx所以当且仅当 时， 取得极小值也就是最小值为 1.x令 ，其可看作点 与点 连线的斜率，cosin2ksin,coAx2,0B所以直线 的方程为 ，AB2yk由于点 在圆 ，所以直线 与圆 相交或相切.21x21xy当直线 与圆 相切且切点在第二象限时，直线 的斜率 取得最大值y ABk为 1.故 时， ； 时， .0x210khx1hx综上所述：时 时， 成立.fg22在极坐标系中，曲线 的方程为 ，点 .C22
15、31sin2,4R（1 ）以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 的极坐标x C方程化为直角坐标方程， 点的极坐标化为直角坐标；R（2 ）设 为曲线 上一动点，以 为对角线的矩形 的一边垂直于极轴，求PCPPQRS矩形 周长的最小值，及此时 点的直角坐标.QRS【答案】 （1） ， ；（2 ）矩形的最小周长为 ，点 .213xy,R431,2P【解析】试题分析：（1）由 ， 可化极坐标方程xycos,inxy为直角坐标方程；（2）要求矩形 周长的最小值，必须把周长用一个参数表示PQS出来，为此设 ，则有 ，且3cos,Pin2,sin， ，由正弦函数2,2iQR42sin
16、3R的性质可得最小值及 值试题解析：（1）由于 则曲线 的方程为 ，转cos,inxyC221sin化成213xy点 的极坐标转化成直角坐标为： ；R2,R（2 ）设 根据题意，得到 。则：cos,inP,sinQ，所以3,2siQ42si3P当 ， ，矩形的最小周长为 4，点 .6minPR 1,P【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，椭圆的参数方程，正弦函数的性质23设函数 ， .fxa（1）当 时，解不等式 ；2a625fx（2）若关于 的不等式 的解集为 ，且两正数 和 满足 ，x41,7st2sta求证： .86st【答案】 （1） （2）613,【解析】试题分析：(1)将不等式写成分段函数的形式求解不等式的解集为 ；13,(2)利用题意可得 ，利用均值不等式的性质结合题意整理计算182stst3t即可证得结论.试题解析：解：（1）不等式即 ，256x 或 或 ，56x2x256x由，得 ；由得， ；由，得 .1313所以原不等式的解集为 13,（2）不等式 即 ， ， 且4fx4xa4xa1， .47a3a 18161620023tstsststt 点睛：绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
