1、河南省八市重点高中 2017 届高三上学期第三次测评（ 12 月）理数试题一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集 UR，集合 |12Ax和 2y|lg10Bx，则 UACB（ ） A |13x或 B |x C |3 D|或【答案】B考点： 1.不等式的解法；2.集合的运算.2. 已知命题 21:,30xpR，命题 :q“02x”是“ 2log1x”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A B q C p D pq【答案】C【解析】试题分析：根据指数函数的性质可知，命题 p为真命题；由 2log102x，所以“
2、 02x”是“ 2log1x”的么要条件，所以是假命题，所以 q是真命题.考点：逻辑联结词与命题.13. 下列函数既是奇函数又在 1,上是减函数的是（ ） A tanyx B yx C 2lnxy D 13xy【答案】A【解析】试题分析：函数 tanyx在区间 (1,)单调递减，不符合题意；函数 1yx是奇函数，但在 0x处无意义，不符合题意；对于 C，函数的定义域为 (2,),且为奇函数，函数24()1xhx在区间 上单调递减，所以函数 2lnxy在区间 (1,)上单调递减，符合题意；函数 3xy是奇函数，在定义域内单调递增，不符合题意.故选 C.考点：函数的单调性与奇偶性.4. 在 ABC
3、中，角 ,所对的边分别为 ,abc，若 ,是方程 2530x的两根，且 3A，则a（ ） A4 B 7 C16 D7【答案】A考点：1.一元二次方程根与系数关系；2.余弦定理.5. 已知函数 52xffaef，若 016fe，则 a（ ） A2 B1 C-1 D-2【答案】B【解析】试题分析：由题意可知 (2016)()(54031)(ffffae，所以 1，故选 B.考点：分段函数及其表示.6. 在等比数列 na中， 1328,nnaA，且数列 n的前项和 2nS，则此数列的项数等于（ ） A4 B7 C6 D5【答案】D【解析】试题分析：在等比数列 na中， 3218nna，又 182na
4、，所以 18na或 1n，当1,8na时， 182nqS，解得 3q，再由 1naq得 183n，解得 5；同理可得当 1,n时 5，故选 D.考点：等比数列的性质与求和.7. 由直线 ,2y，曲线 1yx及 轴所围成的封闭图形的面积是（ ） A ln2 B ln C ln2 D 54【答案】A考点：定积分的几何意义.11118. 为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行食品检查，如图所示是某品食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为 11.5，则 41ab的最小值为（ ） A9 B 92 C8 D4【答案】B【解析】试题分析：因为该组数据的平均数为 11.5，所以 1
5、3201.54ab，即 2ab，所以4151459()()22abbaba，当且仅当 即 3时等号成立，所以 的最小值为 9,故选 B.考点：1.茎叶图；2.基本不等式.9. 在 ABC中， 02,6,2ABCDC且 ，则 AB（ ） A-1 B1 C 7 D 72【答案】A考点：1.向量加减法的几何意义；2.向量的数量积.10. 函数 43tanfxx在 ,2上的图象大致为（ ） A B C D 111.Com【答案】D【解析】试题分析：因为函数 43tanfxx是奇函数，排除 B、C，通过特殊值 ()304f，且49()30f，故选 D.考点：函数的奇偶性与函数的图象.【名师点睛】本题考查
6、函数的奇偶性与函数的图象，属中档题；函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项.本题主要是通过函数解析式判断其定义域，并在图形中判断出来.11. 已知点 ABCD、 、 、 在同一球的球面上， 2,ABC，若四面体 ABCD外接球的球心O恰好在侧棱 DA上， 23C，则这个球的表面积为（ ） A 254 B C 8 D 16【答案】D考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.【名师点睛】本题考查球的切接问题与球的表面积与体积，属中档题；球与旋转体的组合，通常通过作出它的轴截面解题；球与多面
7、体的组合，通常通过多面体的一条侧棱和球心或“切点” 、 “接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.12. 函数 221sincoscoslg4fxxx的零点个数为（ ） A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】试题分析：由已知得 221cos1()s2lgcoslgxfx x，令 ()0fx，即2coslgx，在同一坐标系内作出函数 y与 2ly的图象 两个函数有两个不同的交点，所以函数 ()f的零点的个数为，故选 B.考点：1.三角恒等变换；2.函数与方程.【名师点睛】本题考查三角恒等变换、函数与方程，属难题；函数的性质问题以及函数的零点与方程根的问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶
8、段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数 ()yfxg有零点 函数()yfxg在轴有交点 方程 ()0fxg有根 函数 ()f与 ()ygx有交点.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13. 已知 2017,minR，其中为虚数单位，则 nm_111.Com【答案】考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算.14. 已知变量 ,xy满足条件2301xyk，且 2zxy的最大值为 6，则的值为_【答案】 3【解析】试题分析：在直角坐标系内作出不等式组2301xyk所表示的可行域，由图可知，点(29,3)Bk为目标函数 2zxy取
9、得最大值时的最优解，即 2(9)(3)6k，解得.考点：线性规划.115. 已知数列 na中， *122,nnanN是 奇 数， 是 偶 数 ，则数列 na的前 20 项和为_【答案】 123考点：等差数列、等比数列的性质及求和.【名师点睛】本题考查等差数列、等比数列的性质及求和，属中档题；数列求和是高考的高频考点之一，本题中的数列奇数项构成的数列与偶数项构成的数列是两种类型的数列，在求和时可分别求奇数项的和与偶数项的和分别求之，再求总和.16. 如图是某几何体的三视图，当 xy最大时，该几何体的体积为_111【答案】 152考点：1.三视图；2.基本不等式.【名师点睛】本题考查三视图与基本不
10、等式，属中档题；三视图是高考中的热门考点，解题的关键是熟悉三视图的排放规律：长对正，高平齐，宽相等.同时熟悉常见几何体的三视图，这对于解答这类问题非常有帮助，本题还应注意常见几何体的体积和表面积公式.三、解答题 ：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分 12 分）已知命题 :M函数 21lg6fxax的值域为 R，命题 :N指数函数 2xya为增函数，分别求出符合下列条件的实数的取值范围.（1） N、 至少有一个是真命题；（2） 、 中有且只有一个是真命题.【答案】(1) 1,0,2；(2) 12a或 0a或 2.【解析】试题分析：根据题意先分别求出命题 M真与命题与命
11、题 N真时的取值范围；（1） MN、 至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集即可；（2） 、 中有且只有一个是真命题，有两种情况： 真N假与 M假 真，分别求其范围，再求并集即可.试题解析： 命题 为真时， 0a合题意， 0a时，210204aa时，为真命题3 分命题 N为真时， 21，即 或 2.考点：1.指数函数、对数函数的性质；2.逻辑联结词与命题.18. （本小题满分 12 分）已知数列 na的前项和为 nS，且满足 *2naN.（1）求证数列 1是等比数列，并求数列 n的通项公式；1111（2）若 2lognnba，求数列 21nb的前项和 nT.【答案】(1)证明见解析； n；
12、(2) 3241.【解析】试题分析：(1)令 1先求出 1a，当 2时，由 1nnaS可得 12na，两边同减去可得12nna，从而可证数列 n是等比数列；先求出数列 的通项公式，即可求数列n的通项公式；（2）由 2log1nnba，所以 22nbn，即用裂项相消法求和即可.试题解析： （1）当 1时， 1S，解得 1a，当 时， 1nnaS，即12na，即 2nna，因为 120，故 0n，所以 是首项为-2，公比为 2 的等比数列，所以 ,na6 分（2）由（1）知 nb，所以 22nb，所以 123113241n nTn 12 分考点：1.等比数列的定义与性质；2. na与 S的关系；3
13、.裂项相消法求和.【名师点睛】本题考查等比数列的定义与性质、 n与 的关系以及裂项相消法求和，属中档题；在求数列通项的问题中，如条件中有 na与 S关系的，要利用 1,2nnSa求解；裂项相消法是每年高考的热点，主要命题角度是直接考查裂项相消法求和或与不等式结合考查裂项相消法求和.119. （本小题满分 12 分）在锐角三角形 ABC中，角 ,的对边分别为 ,abc，且 22sincosaAaAC.（1）求角 ；（2）若 2a，求 面积的最大值.【答案】(1) 4；(2) 1.111（2）由余弦定理可得 22cos2abA，再利用基本不等式得 22bcbc，即 bc，从而可求三角形面积的最大值
14、.22sincosaAaC，c cosBBa， （*）1111又因为 s0，所以化简（*）式得： 2in1A，所以 sin21A，因为,2A，所以 4A6 分考点：1.余弦定理；2.三角恒等变换；3.基本不等式.【名师点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换以及基本不等式，属中档题；解三角形是高考的必考内容，正、余弦定理是解三角形的必备武器，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到已知两角和一边或两边及夹角，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不
15、唯一性，需讨论.20. （本小题满分 12 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD为矩形，直线 AF平面 BCD，/,2,21EFABDFE，点 P在棱 上.（1）求证： ADBF；（2）若 P是 的中点，求异面直线 BE与 CP所成角的余弦值；（3）若 13，求二面角 A的余弦值.【答案】(1)见解析；（2） 451；（3） 6.【解析】试题分析：(1)欲证 ADBF ，只要证 AD平面 BEF 即可，由已知 AF平面 BCD可得AF，又已知 ，即可证 平面 ；(2) ）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，进而写出向量 ,CP的坐标，由空间向量运算公式即可求异面直线所成
16、的角；(3) 求出平面 ADF与所以平面 APC的法向量，直接代入公式计算即可.试题解析： （1）因为 平面 BD， 平面 ABCD，所以 FA，又四边形 BCD为矩形，所以 B， 平面 EF， 平面 E， ，所以 平面 AEF，平面 E，所以 （4 分）（3）因为 AB平面 DF，所以平面 AF的一个法向量 1,0n，由 13FPD为知 为 F的三等分点且此时 20,3P.在平面 PC中， 2,23AC，所以平面 AC的一个法向量 2,1n.所以 12126cos,nA，又因为二面角 P的大小为锐角，所以该二面角的余弦值为 6312 分考点：1.空间直线与平面垂直的判定与性质；2.空间向量的
17、应用.21. （本小题满分 12 分）设公比为正数的等比数列 na的前项和为 nS，已知 328,6aS，数列 nb满足 2lognna.（1）求数列 n和 b的通项公式；（2）若数列 nc满足 sinna， nS为数列 nc的前项和，求证：对任意 *,2nNS.【答案】(1) 2,nnab；（2）见解析.试题解析： （1）设 na的公比为，则有2186aq，解得 12aq，则 2,lognab.111即数列 n和 的通项公式为 2,lognnab5 分（2）证明： sisi2nnnc， 1234341isinsi8162n n nSc ，易知当 0,x时，有 six成立， 2n nS ，令
18、348162nnT 则 12L -得31 16213386281nn n nT ，从而 nn，即 nS12 分考点：1.等差数列、等比数列的性质；2.错位相减法求和；3.函数、数列与不等式.22. （本小题满分 10 分）已知函数 lnfxax.（1）设函数 1hf，讨论 hx的单调性；（2）当 1,0ax时， ln1kfx恒成立，求整数的最大值.【答案】(1) 综上，当 a时 h在 0,a上单调递减，在 1,a上单调递增，当 1a时，hx在 0,上单调递增；（2） max3k.试题解析： （1） 1lnahxx，定义域为 0,，2 211xaahx ，当 0，即 时，令 0,hx， ，令 ,hx， 1a；当 1a，即 时， x恒成立，111.Com综上，当 时 h在 0,上单调递减，在 1,a上单调递增，当 时， x在 上单调递增5 分考点：1.导数与函数的单调性、极值、最值；2.函数与不等式.1
