1、2017 届江苏省泰州中学高三（上）第二次月考数学试卷一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1已知 R 为实数集，集合 A=1，2，3，4 ，5， B=x|x（4x）0，则A（ RB）= 2 “x 1”是“ ”的一个 条件 （在 “充分不必要” 、 “必要不充分”、“充要”、 “既不充分也不必要”选择一个填写）3等差数列a n的前 n 项和 Sn，若 a1=2，S 3=12，则 a6= 4设曲线 y= 在点（ 3，2）处的切线与直线 ax+y+3=0 垂直，则 a= 5设实数 xy 满足约束条件 ，则 z=2x+3y 的最大值为 6已知奇函数 f（x）的图象关于直线
2、 x=2 对称，当 x0，2时，f（x）=2x，则 f（9）= 7直线 y=kx+3 与圆（x2 ） 2+（y3） 2=4 相交于 M，N 两点，若|MN |2 ，则 k 的取值范围是 8已知 3sin+4cos=5，则 tan= 9设平面向量 ， （其中 x0，y0）若，则 的最小值为 10已知函数 （其中 （0，1） ） ，若 f（x ）的图象经过点 ，则 f（x ）在区间0， 上的单调递增区间为 11已知ABC 中，BC=2，G 为ABC 的重心，且满足 AGBG，则ABC 的面积的最大值为 12已知 x，y，z 均为非负数且 x+y+z=2，则 x3+y2+z 的最小值为 13已知函数
3、 f（x ）=xe x1，g（x）=lnx+kx ，且 f（x）g（x）对任意的x（0，+）恒成立，则实数 k 的最大值为 14设集合 S=0，1，2，3，n ，则集合 S 中任意两个元素的差的绝对值的和为 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15 （14 分）已知命题 p：函数 f（x）=x 3+ax2+x 在 R 上是增函数；命题 q：若函数 g（ x）=e xx+a 在区间0，+）没有零点（1）如果命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围；（2）命题“p q” 为真命题， “pq”为假命题，求实数 a 的取值范围16 （14 分）设向
4、量 （其中x0，）（1）若 ，求实数 x 的值；（2）若 ，求函数 的值17 （14 分）无锡市政府决定规划地铁三号线：该线起於惠山区惠山城铁站，止於无锡新区硕放空港产业园内的无锡机场站，全长 28 公里，目前惠山城铁站和无锡机场站两个站点已经建好，余下的工程是在已经建好的站点之间铺设轨道和等距离修建停靠站经有关部门预算，修建一个停靠站的费用为 6400 万元，铺设距离为 x 公里的相邻两个停靠站之间的轨道费用为 400x3+20x 万元设余下工程的总费用为 f（x）万元 （停靠站位于轨道两侧，不影响轨道总长度）（1）试将 f（x）表示成 x 的函数；（2）需要建多少个停靠站才能使工程费用最小
5、，并求最小值18 （16 分）已知平面直角坐标系 xoy 内两个定点 A（1，0） 、B（4，0） ，满足PB=2PA 的点 P（x，y）形成的曲线记为 （1）求曲线 的方程；（2）过点 B 的直线 l 与曲线 相交于 C、D 两点，当COD 的面积最大时，求直线 l 的方程（O 为坐标原点） ；（3）设曲线 分别交 x、y 轴的正半轴于 M、N 两点，点 Q 是曲线 位于第三象限内一段上的任意一点，连结 QN 交 x 轴于点 E、连结 QM 交 y 轴于 F求证四边形 MNEF 的面积为定值19 （16 分）若函数 f（x）在定义域内存在实数 x，满足 f（x）= f（x） ，则称f（x）为
6、“局部奇函数 ”（1）当定义域为1，1 ，试判断 f（x）=x 4+x3+x2+x1 是否为“局部奇函数” ；（2）若 g（x）=4 xm2x+1+m23 为定义域 R 上的“局部奇函数”，求实数 m 的范围；（3）已知 a1，对于任意的 ，函数 h（x）=ln（x+1+a ）+x 2+xb 都是定义域为1，1上的“ 局部奇函数”，求实数 a 的取值范围20 （16 分）已知数列a n的前 n 项积为 Tn，即 Tn=a1a2an（1）若数列a n为首项为 2016，公比为 的等比数列，求 Tn 的表达式； 当 n 为何值时，T n 取得最大值；（2）当 nN*时，数列a n都有 an0 且
7、成立，求证：a n为等比数列2017 届江苏省泰州中学高三（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1已知 R 为实数集，集合 A=1，2，3，4 ，5， B=x|x（4x）0，则A（ RB）= 1，2，3，4 【分析】化简集合 B，根据补集与交集的定义写出 A（ RB）即可【解答】解：集合 A=1，2，3，4，5，B=x|x（4x） 0=x|x（x4）0=x |x0 或 x4， RB=x|0x4A（ RB）=1，2，3，4故答案为：1，2，3，4【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目2 “x 1”是“ ”的一个 充
8、分不必要 条件 （在“充分不必要” 、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”选择一个填写）【分析】解根据对数函数的不等式，求出 x 的范围，结合集合的包含关系判断即可【解答】解：由“ ”，解得：x 1，故 x1 是 x1 的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题3 （2016商丘二模）等差数列a n的前 n 项和 Sn，若 a1=2，S 3=12，则 a6= 12 【分析】根据等差数列的通项公式以及前 n 项和公式进行求解即可【解答】解：S 3=12，S 3=3a1+ d=3a1+3d=12解得 d=2，则 a6=a1
9、+5d=2+25=12，故答案为：12【点评】本题主要考查等差数列的通项公式的求解和应用，根据条件求出公差是解决本题的关键4 （2015淄博校级模拟）设曲线 y= 在点（3 ，2）处的切线与直线ax+y+3=0 垂直，则 a= 2 【分析】求函数的导数，得到切线斜率，根据直线垂直关系即可得到解得结论【解答】解：函数的导数 f（x ）= ，则曲线 y= 在点（3， 2）处的切线斜率 k=f（3）= = ，直线 ax+y+3=0 的斜截式方程为 y=ax3，斜率为 a，若切线与直线 ax+y+3=0 垂直，则a ，则 a=2，故答案为：2【点评】本题主要考查直线垂直的关系的应用以及利用导数求切线斜
10、率，利用导数的几何意义是解决本题的关键5 （2015上饶三模）设实数 xy 满足约束条件 ，则 z=2x+3y 的最大值为 26 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分） ，由 z=2x+3y，得 y= ，平移直线 y= ，由图象可知当直线 y= 经过点 A 时，直线 y=的截距最大，此时 z 最大由 ，解得 ，即 A（4，6 ） 此时 z 的最大值为 z=24+36=26，故答案为：26【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键6 （2011镇江一模）已知奇函数
11、 f（x）的图象关于直线 x=2 对称，当 x0，2时，f（x）=2x，则 f（9）= 2 【分析】先由图象关于直线 x=2 对称得 f（4x）=f（x ） ，再与奇函数条件结合起来，有 f（x+8）=f（x） ，得 f（x）是以 8 为周期的周期函数，从而 f（9）=f（1 ） ，从而求出所求【解答】解；图象关于直线 x=2 对称f（ 4x）=f（x）f（ x）是奇函数f（ x）= f（x）f（ 4x）=f（x） ，即f （4+x）=f（x） ，故 f（x8 ）=f （x4）4= f（x 4）=f（x） ，进而 f（ x+8）=f（x）f（ x）是以 8 为周期的周期函数f（9）=f（1）=
12、 2故答案为：2【点评】本题主要考查函数的奇偶性和对称性以及性质间的结合与转化，如本题周期性就是由奇偶性和对称性结合转化而来的，属于基础题7 （2014萧山区模拟）直线 y=kx+3 与圆（x2） 2+（y3） 2=4 相交于 M，N 两点，若|MN|2 ，则 k 的取值范围是 ， 【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径 r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离 d，利用垂径定理及勾股定理表示出弦长|MN|，列出关于 k 的不等式，求出不等式的解集即可得到 k 的范围【解答】解：由圆的方程得：圆心（2，3） ，半径 r=2，圆心到直线 y=kx+3 的距离 d= ，|MN|2 ，2 =2
13、 2 ，变形得：4 3，即 4k2+44k23k 2+3，解得： k ，则 k 的取值范围是 ， 故答案为： ， 【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键8已知 3sin+4cos=5，则 tan= 【分析】由 3sin+4cos=5，可得 5sin（ +）=5（tan= ） ，进而可得tan=tan（2k+ ）= 【解答】解：3sin+4cos=5 ，5sin（ +） =5（tan= ）sin （ +） =1=2k+ ，tan=tan（2k+ ）= = 故答案为： 【点评】本题考查同角三角函数基
14、本关系的运用，考查学生的计算能力，比较基础9设平面向量 ， （其中 x0，y0）若，则 的最小值为 【分析】由已知求出 的坐标，结合数量积为 0 可得 xy2（x+y）5=0，再由基本不等式转化为关于（x+y ）的不等式，求出 x+y 的最小值，即可求得 的最小值【解答】解： ， ，由 ，得（x2） （y2）9=0，即 xy2（x +y） 5=0又 x0，y0，2（x+y）+5=xy ，解得 x+y 2（舍） ，或 x+y10= =故答案为： 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直的坐标运算，体现了数学转化思想方法，是中档题10已知函数 （其中 （0，1） ） ，若 f（x ）的图
15、象经过点 ，则 f（x ）在区间0， 上的单调递增区间为 【分析】推导出 f（x）=2sin（x ） ，从而求出 f（x）的增区间为 +2k，+2k，kZ，由此能示出 f（x）在区间0，上的单调递增区间【解答】解：函数=2sin（2x ） ，f（ x）的图象经过点 ，2sin（ ）=0， =k，kZ，解得 =3k ，（0，1 ） ，= ，f（ x）=2sin（x ） ，f（ x）的增区间为： +2k ，k z，整理，得 +2kx +2k，kZ，f（ x）在区间0， 上的单调递增区间为 故答案为： 【点评】本题考查三角函数的增区间的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数图象及性质的合理运
16、用11已知ABC 中，BC=2，G 为ABC 的重心，且满足 AGBG，则ABC 的面积的最大值为 【分析】以 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点为原点建立直角坐标系，设 AB=r，点C 的坐标为（x，y） ，可得 G（ ， ） 根据 AGBG 建立 x、y 的关系式，化简整理得 x2+y2=9r2，得到点 C 在以原点为圆心，半径为 3r 的圆上运动（x 轴上两点除外） 可得当 C 点在 y 轴时 y 的值达到最大值，此时三角形面积最大，由此结合三角形面积公式即可得解【解答】解：设 AB 中点为 O，连接 AO，可得重心 G 在 CO 上且 = ，以 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点为
17、原点建立如图所示直角坐标系，设 AB=2r（r 0 ） ，则 A（ r，0） ，B （r ，0） ，设 C（ x，y） ，可得 G（ ， ）AGBG，点 G 在以 AB 为直径的圆上运动（A、B 两点除外）由此可得（ ） 2+（ ） 2=r2，整理得 x2+y2=9r2，因此，点 C 在以原点为圆心，半径为 3r 的圆上运动（x 轴上两点除外） ，可得，当 x=0 时，y 取得最大值 3r，此时，tan = ，AC=BC=2，r 2+（3r ） 2=2，解得：r= ，此时，S ABC = = 故答案为： 【点评】本题给出三角形的重心 G 对 A、B 的张角为直角，求三角形面积的最大值，着重考查
18、了三角形重心的性质、圆的标准方程和三角恒等变换等知识，属于中档题12已知 x，y，z 均为非负数且 x+y+z=2，则 x3+y2+z 的最小值为 【分析】利用导函数研究单调性，求其最小值即可【解答】解：x，y，z0，且 x+y+z=2，Z=2 xy，即 x+y2那么：令函数 h= x3+y2+z= x3+y2+2xy令 f（x）= x3x，则 f（x）=x 21，当 x 在（0，1）时，f（x）0，f（x ）在（0，1）上是单调递减；当 x 在（1，2）时，f（x）0，f（x ）在（1，2）上是单调递增；f（ x） min=f（1）同理：令 g（ y）=y 2y则 g（y）=2y1，当 y
19、在（0， ）时，g（y ）0，g （y ）在（0，1）上是单调递减；当 y 在（1，2）时，g（y）0，g（y）在（ ，2）上是单调递增；g （y） min=g（ ）故当 x=1，y= 时，函数 h 取得最小值，即 h= = ，故答案为： 【点评】本题考查了利用导函数研究单调性，求其最小值属于中档题13已知函数 f（x ）=xe x1，g（x）=lnx+kx ，且 f（x）g（x）对任意的x（0，+）恒成立，则实数 k 的最大值为 1 【分析】运用够造函数的方法求解 ke x ，h （x）=ex ，k h（x ） 小 即可运用求解导数得出 h（x）在（0，x 0）单调递减， （x 0，+）单调
20、递增估算出 ，1h（x 0）2，得出 k1【解答】解：f（x）=xe x1，g（x）=lnx+kx ，且 f（x）g（x） ，xe x1lnx+kx，ke x ，h（x）=e x ，kh （x） 小 即可h（x）= ，h（1）0，h（x）在（1，+）单调递增，令 h（x ）=0，x=x 0，x 02e +lnx0=0，则 h（x）在（0，x 0）单调递减，（x 0，+）单调递增h（x） 小 =e ，h（ ）= ln16 0，h （ ）= ln 0，h（ ）= +2ln22=1.035，h（ ）=e （ln +1）=1.1681h （x 0）2，k1故答案为：1【点评】本题综合考察了导数的运用，
21、难度较大，需要有很强的估算能力，观察能力，敢于往下钻研的能力14设集合 S=0，1，2，3，n ，则集合 S 中任意两个元素的差的绝对值的和为 n3+ n2+ n 【分析】设集合 S 中第 k 个元素，则其值为 k1然后根据数列求和进行解答【解答】解：设集合中第 k 个元素，则其值为 k1|（k1）k |+|（k1）（k+ 1）|+|（k1） n|=1+2+（n+1 k）=Tn= n2n+ nn+n（1+2+ +n）n （1+2+ +n）+ （1 2+22+n2）=故答案是： n3+ n2+ n【点评】本题考查了等差数列，数列求和，难度较大二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写
22、出必要的文字说明或推理、验算过程.15 （14 分）已知命题 p：函数 f（x）=x 3+ax2+x 在 R 上是增函数；命题 q：若函数 g（ x）=e xx+a 在区间0，+）没有零点（1）如果命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围；（2）命题“p q” 为真命题， “pq”为假命题，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）如果命题 p 为真命题，则 f（x）=3x 2+2ax+10 对x（，+ ）恒成立，进而得到实数 a 的取值范围；（2）如果命题“p q” 为真命题， “pq”为假命题，则 p，q 一真一假，进而得到实数 a 的取值范围【解答】解：（1）如果命题 p 为真命题，函数
23、f（x ）=x 3+ax2+x 在 R 上是增函数，f（x）=3x 2+2ax+10 对 x（，+）恒成立（3 分） （6 分）（2）g（x） =ex10 对任意的 x0，+）恒成立，g （x）在区间0，+）递增命题 q 为真命题 g（0）=a +10 a1（9 分）由命题“pq”为真命题， “pq”为假命题知 p，q 一真一假，若 p 真 q 假，则 （11 分）若 p 假 q 真，则 （13 分）综上所述， （14 分）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了导数法研究函数的单调性，复合命题，函数的零点，难度中档16 （14 分）设向量 （其中x0，）（1）若 ，求实数 x 的值；
24、（2）若 ，求函数 的值【分析】 （1）利用 ，列出方程即可求实数 x 的值；（2）由已知条件 和辅助角公式得到 然后由同角三角函数关系来求 的值【解答】解：（1） ， ，又 ， （2） ， ， 又 x0，且 ， 即 【点评】本题考查向量的共线与数量积的运算，三角函数的恒等变换应用，基本知识的考查17 （14 分）无锡市政府决定规划地铁三号线：该线起於惠山区惠山城铁站，止於无锡新区硕放空港产业园内的无锡机场站，全长 28 公里，目前惠山城铁站和无锡机场站两个站点已经建好，余下的工程是在已经建好的站点之间铺设轨道和等距离修建停靠站经有关部门预算，修建一个停靠站的费用为 6400 万元，铺设距离为
25、 x 公里的相邻两个停靠站之间的轨道费用为 400x3+20x 万元设余下工程的总费用为 f（x）万元 （停靠站位于轨道两侧，不影响轨道总长度）（1）试将 f（x）表示成 x 的函数；（2）需要建多少个停靠站才能使工程费用最小，并求最小值【分析】 （1）先设需要修建 k 个停靠站，列出余下工程的总费用的函数表达式，再结合自变量 x 的实际意义： x 表示相邻两停靠站之间的距离，确定出函数的定义域即可（2）依据（1）中得出的函数表达式，结合基本不等式即可求得函数 y 的最大值，最后回到原实际问题进行解答即可【解答】解：（1）设需要修建 k 个停靠站，则 k 个停靠站将 28 公里的轨道分成相等的
26、 k+1 段 （3 分）化简得 （7 分）（2）（万元）（11 分）当且仅当 即 x=2， 取“=”（13 分）答：需要建 13 个停靠站才能使工程费用最小，最小值费用为 128028 万元（14 分）【点评】本题考查解函数在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想18 （16 分）已知平面直角坐标系 xoy 内两个定点 A（1，0） 、B（4，0） ，满足PB=2PA 的点 P（x，y）形成的曲线记为 （1）求曲线 的方程；（2）过点 B 的直线 l 与曲线 相交于 C、D 两点，当COD 的面积最大时，求直线 l 的方程（O 为坐标原点） ；（3
27、）设曲线 分别交 x、y 轴的正半轴于 M、N 两点，点 Q 是曲线 位于第三象限内一段上的任意一点，连结 QN 交 x 轴于点 E、连结 QM 交 y 轴于 F求证四边形 MNEF 的面积为定值【分析】 （1）由两个定点 A（1，0） 、B （4，0） ，满足 PB=2PA 的点 P（x ，y ） ，得到关系式化简即可得出曲线 的方程；（2）表示出面积，利用基本不等式得出结论；（3）设 ，即可证明结论【解答】解：（1）由题设知 ，两边化简得x2+y2=4点 P 的轨迹 的方程为 x2+y2=4（3 分）（2）由题意知 的斜率一定存在，设 l：y=k（x4）即kxy4k=0，原点到直线 l 的
28、距离 ， ，（7 分）当且仅当 d2=2 时，取得“=”d 2=2r 2=4当 d2=2 时，此时， 直线 l 的方程为 （9 分）（3）设 （11 分）设 Q（ x0，y 0） ，E （e，0） ，F （0，f） （其中 ）则 ，令 x=0 得 （12 分） ，令 y=0 得 （13 分） =（定值）（16 分）【点评】本题考查轨迹方程，考查面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题19 （16 分）若函数 f（x）在定义域内存在实数 x，满足 f（x）= f（x） ，则称f（x）为“局部奇函数 ”（1）当定义域为1，1 ，试判断 f（x）=x 4+x3+x2+x1 是否为“局部奇函数”
29、；（2）若 g（x）=4 xm2x+1+m23 为定义域 R 上的“局部奇函数”，求实数 m 的范围；（3）已知 a1，对于任意的 ，函数 h（x）=ln（x+1+a ）+x 2+xb 都是定义域为1，1上的“ 局部奇函数”，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）若 f（x）为 “局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；（2）根据 f（x）为定义域 R 上的“局部奇函数，得到 f（ x）=f（x） ，恒成立，建立条件关系即可求实数 m 的取值范围；（3）根据 f（x）为定义域 1，1上的“局部奇函数，得到 f（x）=f（x ） ，恒成立，建立条件关系即可求实数 a 的取值范围；【解答】解
30、：（1）因为 f（x ）=x 4+x3+x2+x1，所以 f（ x）=x 4x3+x2x1，由 f（x ）= f（x）得 x4+x21=0，令 x2=t0，1，而 t2+t1=0 存在一根 ，即存在 x1，1，使得 f（ x）= f（x ） ，所以 f（ x）为“ 局部奇函数”（2）由题意知，g（x）=g （x ）在 R 上有解，即4x2m2x+m23=4x+2m2xm2+3 在 R 上有解，所以 4x+4x2m（2 x+2x）+2（m 23）=0 在 R 上有解，令 2x+2x=u2，+） ，所以 u22mu+2m28=0 在 u2，+）上有解，令 F（u）=u 22mu+2m28，当 F（
31、2）0 时，即 2m24m40，解得 ，此时 F（u）在2，+）上必有零点，所以 ；当 F（2）0 时，F（u）在2，+）上有零点必须满足综上： （3）由题意知， ，h （x ）=h（ x）在 x1，1上都有解，即 ，ln（x+ 1+a）+x 2xb=ln（x +1+a） x2x+b 在 x1，1上都有解，即 ，ln（a +1） 2x2+2x2=2b 在 x1，1上都有解，令 x2=s0，1，令 （s ）=ln （a+1） 2s+2s，由题意知 （s）在 s0，1上的值域包含2，3 ，因为 ，又因为 s0，1， a（1，+） ，所以（a +1）2s3 ，所以 （s） 0，所以 （s）在 s0，
32、1 上单调递增，所以综上：1ae1【点评】本题主要考查与函数奇偶性有关的新定义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于难题20 （16 分）已知数列a n的前 n 项积为 Tn，即 Tn=a1a2an（1）若数列a n为首项为 2016，公比为 的等比数列，求 Tn 的表达式； 当 n 为何值时，T n 取得最大值；（2）当 nN*时，数列a n都有 an0 且 成立，求证：a n为等比数列【分析】 （1）由题意知 ，由此能求出 Tn 的表达式记 bn=|an|，R n=|Tn|，从而当 n10 ，n N*时，R n+1R n；当 n11，nN *时，Rn+1R n，所
33、以 Rn 的最大值为 R11，进而（T n） max=maxT9，T 12由此能求出结果（2）推导出 ，从而 ，令 ，能证明a n为等比数列【解答】解：（1）由题意知 ，所以 （3 分）记 bn=|an|，R n=|Tn|，即 ， ，当 n10，n N*时， ；当 n11，n N*时， ，又因为nN *，R n0 ，所以，当 n10，n N*时， Rn+1R n；当 n11，n N*时，R n+1R n，所以 Rn 的最大值为 R11（6 分）此时 ，而 T90，T 100，T 120，所以（T n） max=maxT9，T 12而 ，所以，当 n=12 时，T n 取得最大值（9 分）（2）当 n=2 时， ，所以 ，即 ，（10 分）已知 当 n2 时， 两式相除得 ，化简得 ，又因为 ，两式相除得 ，（12 分）式可化为： ，n2令 ，所以 c1=1，c n+1cn=1，所以 ，即 ，n2，n N*都成立，所以a n为等比数列 （16 分）【点评】本题考查数列的前 n 项和公式的求法，考查数列的前 n 项取最大值时项数 n 的求法，考查等比数列的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意数列性质的合理运用
