1、2017 届新疆库尔勒四中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分1设全集 U=R，已知集合 A=x|x1，B=x |（x+2） （x 1）0，则（ ）AA B=U BAB= C UBA D UAB2已知向量 =（3，1） ， =（1，3） ， =（k，7） ，若（ ） ，则 k=（ ）A1 B3 C5 D73已知命题 p：对任意 xR，总有 2x0；q ：“x 1”是“x2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）Ap q Bpq Cp q Dp q4设 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+4y 的最大值为（ ）A5 B3 C6 D45
2、若 x（e 1，1） ，a=lnx，b=（ ） lnx，c=e lnx，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Acba Bbca Cab c Db ac6已知等差数列a n中， a7+a9=16，S 11= ，则 a12 的值是（ ）A15 B30 C31 D647若 cos（ +）= ，且 （ ，0） ，则 tan（ +）的值为（ ）A B C D8函数 f（x）= 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A B2 C3 D49已知函数 f（x）=sin（x +） ，0，| | 的部分图象如图所示，则f（ ）为（ ）A1 B1 C D10已知函数 f（x ）= x3 x2+cx+d 有极值
3、，则 c 的取值范围为（ ）Ac Bc Cc Dc11一个几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积是（ ）A cm3 B cm3 C cm3 D7cm 312已知 a，bR 且 ab，若 aea=beb（e 为自然对数的底数） ，则下列正确的是（ ）Alnalnb=ba Blnalnb=abC ln（a ）ln（b）=ba Dln（a） ln（ b）=ab二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13设函数 f（x ）是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当 x0，1时，f（x）=x+1，则 = 14已知a n为等比数列， Sn 是它的前 n 项和若 ，且 a
4、4 与 a7 的等差中项为 ，则 S5 为 15已知向量 ， 满足条件： ， ，且 与 互相垂直，则与 的夹角为 16已知 x0，y0 且 + =1，求 x+y 的最小值为 三、解答题：本题共 6 题，17 题 10 分，18-22 题 12 分，共 70 分17 （10 分）设向量 =（sinx，cosx） ， =（cosx， cosx） ，x R，函数 f（x）= （ + ） （）求函数 f（x）的最大值与最小正周期；（）求使不等式 f（x） 成立的 x 的取值集18 （12 分）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 x0 时，f （x）=log （x+1） （1）求 f（x）的解析
5、式；（2）若 f（a1）1，求实数 a 的取值范围19 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，已知2cos（B C）=1+4sinBsinC （1）求角 A 的大小；（2）若 a=2 ，ABC 的面积 2 ，求 b+c 的值20 （12 分） （1）设 a、b 均为正实数，求证：（2）已知 a0，b0， c0，a 2+b2+c2=4 求 ab+bc+ac 的最大值21 （12 分）已知公差不为 0 的等差数列a n中，a 1=2，且 a2+1，a 4+1，a 8+1 成等比数列（1）求数列a n通项公式；（2）设数列b n满足 bn= ，求适合方程 b1b
6、2+b2b3+bnbn+1= 的正整数 n 的值22 （12 分）已知函数 f（ x）=x 3+x2+b，g（x）=alnx（1）若 f（x）的极大值为 ，求实数 b 的值；（2）若对任意 x1，e ，都有 g（x）x 2+（a+2）x 恒成立，求实数 a 的取值范围2017 届新疆库尔勒四中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分1 （2013 秋唐山期末）设全集 U=R，已知集合 A=x|x1，B=x|（x +2）（x1）0，则（ ）AA B=U BAB= C UBA D UAB【分析】求出 B 中不等式的解集确定出 B，
7、求出 A 与 B 的并集，交集，以及 A与 B 的补集，即可做出判断【解答】解：由 B 中的不等式解得： 2x 1，即 B=x|2x1，A=x|x1 ，全集 U=R，AB=x |x 2；AB=； UB=x|x2 或 x 1； UA=x|x1，故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知向量 =（3，1） ， =（1，3） ， =（k，7） ，若（ ） ，则 k=（ ）A1 B3 C5 D7【分析】根据题意，求出 ，再由（ ） ，求出 k 的值【解答】解：向量 =（ 3，1） ， =（1，3） ， =（k，7） ， =（3 k，17）=（3k，6） ；又（ ）
8、，3（3k ）（ 6）1=0，解得 k=5故选：C【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，解题时应根据平面向量的坐标运算法则，按照题目中的要求，进行解答即可3 已知命题 p：对任意 xR，总有 2x0；q ：“x 1”是“x 2” 的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）Ap q Bpq Cp q Dp q【分析】由命题 p，找到 x 的范围是 xR，判断 p 为真命题而 q：“x1”是“x2” 的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答【解答】解：因为命题 p 对任意 xR，总有 2x0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题 q：“x 1” 不能推出“x2”；但是“x2
9、”能推出“x 1” 所以：“x 1”是“x2”的必要不充分条件，故 q 是假命题；所以 pq 为真命题；故选 D；【点评】判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断4设 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+4y 的最大值为（ ）A5 B3 C6 D4【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件 ，作出可行域如图，由 ，解得 C（1， 1） 化目标函数 z=x+4y 为直线方程的斜截式，得 y= x+ 由图可知，当直线 y= x+ 过 C 点时，直线在 y 轴上的截距最大，z 最大
10、此时 zmax=1+41=5故选：A【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题5 （2016大庆二模）若 x（e 1，1） ，a=lnx ，b= （ ） lnx，c=e lnx，则 a，b ，c的大小关系为（ ）Acba Bbca Cab c Db ac【分析】依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a 0，b 1， c1，从而可得答案【解答】解：x （e 1，1） ，a=lnxa （1，0） ，即 a0；又 y= 为减函数，b= = =1，即 b1；又 c=elnx=x（ e1，1） ，bca 故选 B【点评】本题考查有理数指数幂的化简求值，考查对数值大小的比较，
11、掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于中档题6 （2012临漳县校级模拟）已知等差数列a n中，a 7+a9=16，S 11= ，则 a12 的值是（ ）A15 B30 C31 D64【分析】根据 a7+a9=16 求得 a8=8，再由 求得 a6= ，设公差等于 d，则有 8= +2d，求得 d 的值，再由 a12=a8+4d 求得结果【解答】解：等差数列a n中，a 7+a9=16=2a8， a8=8 = =11a6，a 6= 设公差等于 d，则有 8= +2d，故 d= a 12=a8+4d=15，故选 A【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于基础题7若 c
12、os（ +）= ，且 （ ，0） ，则 tan（ +）的值为（ ）A B C D【分析】由已知及诱导公式可解得：cos= ，由 （ ，0） ，从而可求sin 的值，诱导公式化简所求后代入即可求值【解答】解：cos（ +）= ，可解得：cos= ，（ ，0 ） ，sin= = ，tan（ +）= cot= = 故选：A【点评】本题主要考察了诱导公式，同角三角函数的关系式的应用，属于基础题8 （2012孝感模拟）函数 f（x）= 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A B2 C3 D4【分析】所求面积由三角形面积加上一曲边梯形面积，利用定积分可求得结论【解答】解：由题意，函数 f（x ）
13、= 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为三角形面积加上一曲边梯形面积 + =2+2sinx =2+2=4故选 D【点评】本题考查定积分知识的运用，确定图形的形状是关键9已知函数 f（x）=sin（x +） ，0，| | 的部分图象如图所示，则f（ ）为（ ）A1 B1 C D【分析】由周期求出 ，由特殊点的坐标求出 的值，可得函数的 f（x）的解析式，从而求得 f（ ）的值【解答】解：根据函数 f（x ）=sin（x +） ，0 ，| | 的部分图象，可得 ，=3，将（ ，1）代入，可得 sin（ +）=1，| ，= ，f（ x）=sin（3x ） ，f（ ）=sin = ，故选 D【点评
14、】本题主要考查由函数 y=Asin（x+ ）的部分图象求解析式，由周期求出 ，由特殊点的坐标求出 的值，属于基础题10 （2014内江三模）已知函数 f（x）= x3 x2+cx+d 有极值，则 c 的取值范围为（ ）Ac Bc Cc Dc【分析】由已知中函数解析式 f（x ）= x3 x2+cx+d，我们易求出导函数 f（x）的解析式，然后根据函数 f（x ）有极值，方程 f（ x）=x 2x+c=0 有两个实数解，构造关于 c 的不等式，解不等式即可得到 c 的取值范围；【解答】解：f（x）= x3 x2+cx+d，f（x）=x 2x+c，要使 f（ x）有极值，则方程 f（ x）=x 2
15、x+c=0 有两个实数解，从而=14c 0，c 故选：A【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键11 （2016肇庆三模）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积是（ ）A cm3 B cm3 C cm3 D7cm 3【分析】由三视图知该几何体是棱长为 2 的正方体截取三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积【解答】解：根据三视图可知几何体是棱长为 2 的正方体截取三棱锥 ABCD 其中 B、D 分别中点，则 BC=CD=1，且
16、 AC平面 BCD，几何体的体积 V= （ cm3） ，故选：A【点评】本题考查三视图求几何体的体积以，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力12 （2014浙江一模）已知 a，b R 且 ab，若 aea=beb（e 为自然对数的底数），则下列正确的是（ ）Alnalnb=ba Blnalnb=abC ln（a ）ln（b）=ba Dln（a） ln（ b）=ab【分析】构造函数 f（x） =xex，利用导数研究函数的单调性，即可得到结论【解答】设 f（x）=xe x，则 f（x）= （x+1）e x，由 f（x）0 得 x1由 f（x）0 得 x 1，f（ x）在（，1）为减
17、函数， （ 1，+）增函数，即当 x=1 时，函数取得极小值 f（1）= 0，f（ 0）=0，且当 x0 时，f（x ）0由 f（ a）=f （b ）知 a 0，b0由（a）e a=（b）e b 得 ln（ a）ln（b ）=b a故选：C【点评】本题主要考查对数的基本运算，利用条件构造函数，研究函数的单调性是解决本题的关键二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （2012浙江）设函数 f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当x0，1时，f（x）=x+1，则 = 【分析】利用函数的周期性先把 转化成 f（ ） ，再利用函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数转化
18、成 f（ ） ，代入已知求解即可【解答】解：函数 f（x ）是定义在 R 上的周期为 2 的函数， =f（ +2）=f（ ） ，又函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，f（ ）=f （ ） ，又当 x0，1时，f（x）=x+1，f（ ）= +1= ，则 = 故答案为： 【点评】本题主要考查函数的性质中的周期性和奇偶性，属于基础题，应熟练掌握14已知a n为等比数列， Sn 是它的前 n 项和若 ，且 a4 与 a7 的等差中项为 ，则 S5 为 31 【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，a 4 与 a7 的等差中项为 ，a 4+a7=2
19、， = ， ， = ，联立解得：q= ，a 1=16S 5= =31故答案为：31【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15已知向量 ， 满足条件： ， ，且 与 互相垂直，则与 的夹角为 【分析】根据两向量垂直，数量积为 0，利用数量积的定义列出方程求出 、夹角的大小【解答】解：向量 ， 满足条件： ， ，且 与 互相垂直， （ 2 ）=2 =0，设 、 的夹角为 ，则 2| | |cos =22 cos22=0，解得 cos= ，又 0， ，= 故答案为： 【点评】本题主要考查了两个向量垂直的性质以及夹角公式的应用问题，属于综合性题目16 （2
20、015 秋 西安校级期末）已知 x0，y 0 且 + =1，求 x+y 的最小值为 16 【分析】利用“ 乘 1 法” 与基本不等式的性质即可得出【解答】解：x0，y0，且 + =1，x+y=（x+y ） =10+ 10+2 =16，当且仅当 y=3x=12 时取等号故答案为：16【点评】本题考查了“ 乘 1 法”与基本不等式的性质，属于基础题三、解答题：本题共 6 题，17 题 10 分，18-22 题 12 分，共 70 分17 （10 分） （2006湖北）设向量 =（sinx，cosx） ， =（cosx，cosx） ，xR ，函数 f（x）= （ + ） （）求函数 f（x）的最大值
21、与最小正周期；（）求使不等式 f（x） 成立的 x 的取值集【分析】 （）由题意和向量的数量积坐标运算，求出解析式并利用倍角公式以及平方关系进行化简，由正弦函数的性质和 ，求出最大值、最小正周期；（）代入解析式进行化简成关于正弦函数的不等式，再由正弦函数的性质求出不等式的解集【解答】解：（）由题意知，f（x ）= （ + ）= + =sin2x+cos2x+sinxcosx+cos2x=f（ x）的最大值为 ，最小正周期是 （）由（）知， ， ，即 ，解得 ，即 成立的 x 的取值集合是 【点评】本题主要考查了利用正弦函数的性质来求解，需要利用向量的数量积坐标运算、倍角公式以及平方关系对解析式
22、进行化简，利用整体思想求解有关正弦函数的不等式18 （12 分） （2015 秋 峨山县校级期末）已知 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且 x0 时，f（x）=log （x+1） （1）求 f（x）的解析式；（2）若 f（a1）1，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）根据函数奇偶性的性质即可求函数 f（x ）的解析式；（2）若 f（a1）1，将不等式进行转化即可求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）令 x 0，则 x0，f （ x）=log （x+1）=f（x）x0 时，f（x）=log （x+1 ） ，则 f（x）= （2） （）f（x）=log （ x+1）在（ ，0上为增函数，f
23、（ x）在（0，+）上为减函数f（ a1）1=f（1）|a 1|1，a 2 或 a0【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键19 （12 分） （2016宜春校级模拟）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为a， b，c ，已知 2cos（BC）=1 +4sinBsinC（1）求角 A 的大小；（2）若 a=2 ，ABC 的面积 2 ，求 b+c 的值【分析】 （1）由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 ，结合范围 0B+C ，利用三角形内角和定理即可得解 A 的值（2）由（1）及三角形面积公式可求 bc=8，又利用余
24、弦定理可得（b +c）2bc=28从而可求 b+c 的值【解答】 （本题满分 12 分）解：（1）由 2cos（BC ）=1 +4sinBsinC，得 2（cosBcosC +sinBsinC） 4sinBsinC=1，即 2（cosBcosC sinBsinC）=1 ，亦即 2cos（B+C ）=1 ， 0B+C， ，A+B +C=， （6 分）（2）由（1）得 由 ，得 ，bc=8由余弦定理 a2=b2+c22bccosA，得 ，即b2+c2+bc=28（b+c） 2bc=28，将代入，得（b+c） 28=28，b+c=6（12 分）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形内角
25、和定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题20 （12 分） （1）设 a、b 均为正实数，求证：（2）已知 a0，b0， c0，a 2+b2+c2=4 求 ab+bc+ac 的最大值【分析】 （1）利用基本不等式，即可证明；（2）利用 ab+ac+bca 2+b2+c2 即可得出【解答】 （1）证明：a、b 均为正实数， + ， +ab ， （当且仅当 a=b 时取等号）（2）（a b） 20， （a c） 20， （b c） 20，ab +ac+bca 2+b2+c2=4，当且仅当 a=b=c 时取等号ab +bc+ca 的最大值是 4【点
26、评】本题考查了基本不等式的性质，考查不等式的证明，属于中档题21 （12 分） （2016 秋 沈河区校级期中）已知公差不为 0 的等差数列a n中，a1=2，且 a2+1，a 4+1，a 8+1 成等比数列（1）求数列a n通项公式；（2）设数列b n满足 bn= ，求适合方程 b1b2+b2b3+bnbn+1= 的正整数 n 的值【分析】 （1）由 a2+1，a 4+1，a 8+1 成等比数列，建立关于 d 的方程，解出 d，即可求数列a n的通项公式；（2）表示出 bn，利用裂项相消法求出 b1b2+b2b3+bnbn+1，建立关于 n 的方程，求解即可【解答】解：（1）设公差为为 d，
27、a 1=2，且 a2+1，a 4+1，a 8+1 成等比数列，（a 4+1） 2=（a 2+1） （a 8+1） ，（3d+3） 2=（3+d） （3+7d） ，解得 d=3，a n=a1+（n 1）d=2 +3（n 1）=3n1；（2）数列b n满足 bn= ，b n= ，b nbn+1= =3（ ）b 1b2+b2b3+bnbn+1=3（ + + ）=3（ ）= ，即 = ，解得 n=10，故正整数 n 的值为 10【点评】本题考查等比数列和等差数列的概念与性质，以及裂项相消法求和，属于中档题22 （12 分）已知函数 f（ x）=x 3+x2+b，g（x）=alnx（1）若 f（x）的极
28、大值为 ，求实数 b 的值；（2）若对任意 x1，e ，都有 g（x）x 2+（a+2）x 恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）利用导数求得函数 f（x ）的最大值，令其为 即可解得 b 的值即可；（2）由 g（x）x 2+（a+ 2）x 分离出参数 a 后，转化为求函数最值，利用导数可求最值【解答】解：（1）由 f（x ）= x3+x2+b，得 f（x ）= x（3x2） ，令 f（x）0，解得：0x ，令 f（x）0，解得： x 或 x0，故 f（x）在（，0）递减，在（0， ）递增，在（ ，+）递减，f（ x） 极大值 =f（ ）= +b= ，故 b=0；（2）由 g（x）x 2+（a+ 2）x，得（x lnx）ax 22xx1，e， lnx 1x ，且等号不能同时取，lnxx，即 xlnx0，a 恒成立，即 a（ ） min 令 t（x）= ，x1，e ，求导得，t（x）= ，当 x1，e时， x10， lnx1，x +2lnx0，从而 t（x）0，t（x）在1 ，e 上为增函数， tmin（x）=t （1）=1，a 1【点评】该题考查利用导数研究函数的最值、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力
