1、2016-2017 学年河北省张家口市万全中学高三（上）第一次月考数学试卷 （文科）一、选择题1已知全集 U=y|y=x3，x= 1，0，1，2，集合 A=1，1，B=1，8，则 A（ UB）= （ ）A1， 1 B 1 C1 D2函数 的定义域为（ ）A（，1 B 1，1 C1，2）（2，+） D3若 z=sin +i（cos ）是纯虚数，则 tan（ ）的值为（ ）A B C D4设 p：实数 x，y 满足 x1 且 y1，q：实数 x，y 满足 x+y2，则 p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5已知 0a1，x=log a +loga
2、 ，y= loga5，z=log a loga ，则（ ）Axyz Bzyx Cyxz Dzxy6下列说法正确的是（ ）A命题“若 x2=1，则 x=1”的否命题为“若 x2=1，则 x1”B若 a，b R，则“ab 0”是“a0”的充分不必要条件C命题“ x0R，x 02+x0+1 0”的否定是“ xR，x 2+x+10”D若“p 且 q”为假，则 p，q 全是假命题7已知函数 f（x）=Asin （x+）（A0， 0，| ）的图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）A函数 f（x）的最小正周期为B =C函数 f（x）的图象关于直线 x= 对称D函数 f（x）在区间0， 上是增函数8设函数 f
3、（x）定义在实数集上， f（2 x）=f （x），且当 x1 时，f （x）=lnx ，则有（ ）A BC D9已知向量 ，若向量 的夹角为 ，则有（ ）A= B= C = D= 210函数 f（x）= 的图象与函数 的图象的交点个数是（ ）A1 B2 C3 D411已知定义域为x|x0的偶函数 f（x），其导函数为 f（x），对任意正实数 x 满足 xf（x）2f （x），若 g（x）=x 2f（x），则不等式 g（x）g（1x）的解集是（ ）A（ ，+） B（ ， ） C（ ，0） （0， ） D（0， ）12已知 O 是坐标原点，点 A（1，1），若点 M（x，y）为平面区域 ，上的一个
4、动点，则的取值范围是（ ）A1， 0 B 0，1 C0，2 D1，2二、填空题13若 a0，b0，则（a +b）（ + ）的最小值是 14已知 x，y 满足约束条件 ，若 2x+y+k0 恒成立，则实数 k 的取值范围为 15在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别是 a，b，c，（a+b+c）（b+ca）=3bc，a= ，tanB= ，则 b 的值为 16设数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S2=4，a n+1=2Sn+1， nN*，则 a1= ，S 5= 三、解答题（共 6 大题，共 70 分）17已知函数 f（x）=x 3+ax2+bx+c 在 x0 处取得极小值5，其导函数
5、y=f（x）的图象经过点（0，0）与（2，0）（1）求 a，b 的值；（2）求 x0 及函数 f（x）的表达式18在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，cos2A=cosA （）求角 A；（）当 a=2 ，S ABC = 时，求边 c 的值和ABC 的面积19在等差数列a n中，S n 为其前 n 项和，已知 a2=2，S 5=15公比为 2 的等比数列b n满足 b2+b4=60（）求数列a n和b n的通项公式；（）设 ，求数列 cn的前 n 项和 Tn20某公司生产的某批产品的销售量 P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用 x 万元满足 P= （其中 0xa，a 为正
6、常数）已知生产该产品还需投入成本 6（P+ ）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+ ）元/件（1）将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？21函数 y=sin（x+）（0，| ）在同一个周期内，当 x= 时 y 取最大值 1，当 x= 时，y 取最小值1（）求函数的解析式 y=f（x）（）函数 y=sinx 的图象经过怎样的变换可得到 y=f（x）的图象？（）求函数 f（x）的单调递减区间22已知函数 f（x）=lnx ax22x（I）若函数 f（x）在 x ，2内单调递减，求实数 a 的取值范围；（II）当 a= 时，
7、关于 x 的方程 f（x）= x+b 在1，4上恰有两个不相等的实数根，求实数 b 的取值范围2016-2017 学年河北省张家口市万全中学高三（上）第一次月考数学试卷 （文科）参考答案与试题解析一、选择题1已知全集 U=y|y=x3，x= 1，0，1，2，集合 A=1，1，B=1，8，则 A（ UB）= （ ）A1， 1 B 1 C1 D【考点】交、并、补集的混合运算【分析】化简全集 U，求出 B 在 U 中的补集，再计算 A（ UB）【解答】解：全集 U=y|y=x3，x= 1，0，1，2=1，0，1，8，集合 A=1，1，B= 1，8， UB=x|xZ，且 x1，x8，A（ UB）= 1
8、故选：B【点评】本题考查了全集与补集的概念与应用问题，是基础题目2函数 的定义域为（ ）A（，1 B 1，1 C1，2）（2，+） D【考点】函数的定义域及其求法【分析】由函数 列出不等式组 ，求出解集即可【解答】解：由函数 ，得 ，解得 ，即1 x 1 且 x ；所以函数 y 的定义域为1， ）（ ，1故选：D【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目3若 z=sin +i（cos ）是纯虚数，则 tan（ ）的值为（ ）A B C D【考点】复数的基本概念；运用诱导公式化简求值【分析】根据复数的有关概念进行求解即可【解答】解：z=sin +i（cos ）是纯虚数，sin
9、 =0 且 cos 0，即 sin= 且 cos ，即 cos= ，则 tan= = ，则 tan（）=tan= ，故选：C【点评】本题主要考查复数的有关概念的应用以及三角函数值的计算，比较基础4设 p：实数 x，y 满足 x1 且 y1，q：实数 x，y 满足 x+y2，则 p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由 x1 且 y1，可得：x+y2，反之不成立，例如取 x=3，y= 【解答】解：由 x1 且 y1，可得：x+y2，反之不成立：例如取 x=3，y= p 是 q 的充分不必要条件故选
10、：A【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5已知 0a1，x=log a +loga ，y= loga5，z=log a loga ，则（ ）Axyz Bzyx Cyxz Dzxy【考点】对数值大小的比较【分析】先化简 x、y、z 然后利用对数函数的单调性，比较大小即可【解答】解：x=log a +loga =loga ，y= loga5=loga ，z=log a loga =loga ，0a1，又 ，log a log a log a ，即 yxz故选 C【点评】本题考查对数函数的性质，对数的化简，是基础题6下列说法正确的是（ ）A命题“若
11、 x2=1，则 x=1”的否命题为“若 x2=1，则 x1”B若 a，b R，则“ab 0”是“a0”的充分不必要条件C命题“ x0R，x 02+x0+1 0”的否定是“ xR，x 2+x+10”D若“p 且 q”为假，则 p，q 全是假命题【考点】命题的真假判断与应用【分析】A否命题是即否定条件又否定结论；B根据充分条件和必要条件的概念判定即可；C存在命题的否定：把存在改为任意，再否定结论；D且命题的概念判断即可【解答】A命题“若 x2=1，则 x=1”的否命题为“若 x21，则 x1” ，故错误；B若 a，b R，则“ab 0”可推出 a0 且 b0，但由 a0 推不出 ab0，故是充分不
12、必要条件，故正确；C命题“ x0R，x 02+x0+1 0”的否定是“ xR，x 2+x+10” ，故错误；D若“p 且 q”为假，则 p，q 不全是真命题，故错误故选 B【点评】考查了否命题的概念，存在命题的否定和且命题的概念属于基础题型，应熟练掌握7已知函数 f（x）=Asin （x+）（A0， 0，| ）的图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）A函数 f（x）的最小正周期为B =C函数 f（x）的图象关于直线 x= 对称D函数 f（x）在区间0， 上是增函数【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】由函数的最值求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式再利用正弦函数的
13、周期性、单调性、以及它的图象的对称性，得出结论【解答】解：对于函数 f（x） =Asin（x+ ）（A0，0，| ），由它的图象可得 A=2， = ，=3再根据五点法作图，可得 3 +=0，= ，故排除 B根据 f（x）=2sin（3x ），它的周期为 ，故排除 A令 x= ，求得 f（x）=1，故排除 C在区间0， 上，3x ， ，故函数 f（x）在区间0， 上是增函数，故选：D【点评】本题主要考查利用 y=Asin（x+）的图象特征，由函数 y=Asin（x+ ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，正弦函数的周期性、单调性、以及它的图象的对称性，
14、属于基础题8设函数 f（x）定义在实数集上， f（2 x）=f （x），且当 x1 时，f （x）=lnx ，则有（ ）A BC D【考点】对数值大小的比较【分析】由 f（2x）=f（x）得到函数的对称轴为 x=1，再由 x1 时，f（x）=lnx 得到函数的图象，从而得到答案【解答】解：f（2x）=f（x）函数的对称轴为 x=1x1 时，f（x）=lnx函数以 x=1 为对称轴且左减右增，故当 x=1 时函数有最小值，离 x=1 越远，函数值越大故选 C【点评】本题考查的是由 f（ ax）=f（b+x）求函数的对称轴的知识与对数函数的图象9已知向量 ，若向量 的夹角为 ，则有（ ）A= B=
15、 C = D= 2【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的夹角公式和两角和的余弦公式以及诱导公式，再根据向量的夹角的范围即可求出【解答】解：向量 ，| |= =1，| |=1， =coscos2sinsin2=cos=cos（ ），cos= =cos（）=cos （），（，2）， （0，），= ，故选：C【点评】本题考查了向量的夹角公式和两角和的余弦公式以及诱导公式，属于基础题10函数 f（x）= 的图象与函数 的图象的交点个数是（ ）A1 B2 C3 D4【考点】对数函数的图象与性质【分析】在同一个坐标系内分别画出函数的图象，数形结合求交点个数【解答】解：两个函数图象如图：由图可知两个
16、函数图形交点个数为 1：故选 A【点评】本题考查了函数的图象；关键是正确画图、识图11已知定义域为x|x0的偶函数 f（x），其导函数为 f（x），对任意正实数 x 满足 xf（x）2f （x），若 g（x）=x 2f（x），则不等式 g（x）g（1x）的解集是（ ）A（ ，+） B（ ， ） C（ ，0） （0， ） D（0， ）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义【分析】f（x）是定义域为 x|x0的偶函数，可得：f （ x）=f（x），对任意正实数 x 满足 xf（x）2f（ x），可得：xf（x）+2f （x）0，由 g（x）=x 2f（x），可得 g（x）0可得函数 g（
17、x）在（0，+）上单调递增即可得出【解答】解：f（x）是定义域为 x|x0的偶函数，f（ x）=f（x）对任意正实数 x 满足 xf（x）2f（x），xf（x）+2f （ x）0，g（x）=x 2f（x），g（x）=2xf（x）+x 2f（x） 0函数 g（x）在（0，+）上单调递增，g（x）在（，0）递减；由不等式 g（x）g（1x）， 或 ，解得：0x ，或 x0不等式 g（x）g（1x）的解集为： x|0x 或 x 0故选：C【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12已知 O 是坐标原点，点 A（1，1），若点 M（x，y）为平面区域 ，上的一个动点
18、，则的取值范围是（ ）A1， 0 B 0，1 C0，2 D1，2【考点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算【分析】先画出满足约束条件 的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入 分析比较后，即可得到 的取值范围【解答】解：满足约束条件 的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当 x=1，y=1 时， =11+11=0当 x=1，y=2 时， =11+12=1当 x=0，y=2 时， =10+12=2故 和取值范围为0，2解法二：z= =x+y，即 y=x+z当经过 P 点（0，2）时在 y 轴上的截距最大，从而 z 最大，为 2当经过 S 点（1，1）时在
19、 y 轴上的截距最小，从而 z 最小，为 0故 和取值范围为0，2故选：C【点评】本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键二、填空题13若 a0，b0，则（a +b）（ + ）的最小值是 2 +3 【考点】基本不等式【分析】化简可得 = + +3，从而利用基本不等式求解即可【解答】解：=2+ + +1= + +32 +3，（当且仅当 = ，即 a= b 时，等号成立）；故答案为：2 +3【点评】本题考查了基本不等式的应用14已知 x，y 满足约束条件 ，若 2x+y+k0 恒成立，则实数 k
20、的取值范围为 k6 【考点】简单线性规划【分析】2x+y+k0 恒成立，即 k2x y 的最大值，所以只要利用线性规划问题，结合 z=2xy 的几何意义求其最大值即可【解答】解：由题意，不等式组对应的平面区，设 z=2xy，即 y=2xz，将图中虚线平移，当过 A 时，z 最大，由 得到 A（2，2），所以 z 的最大值为2 （2）（ 2）=6，所以 k6；故答案为：k6【点评】本题考查了简单线性规划问题，正确画出平面区域，利用几何意义求出2x y，是关键15在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别是 a，b，c，（a+b+c）（b+ca）=3bc，a= ，tanB= ，则 b 的值为
21、【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由已知整理可得：b 2+c2a2=bc，利用余弦定理可得 cosA= ，从而可求 A，又由 tanB= ，B 为三角形内角，利用同角三角函数基本关系式可求 cosB，sinB 的值，由正弦定理即可解得 b 的值【解答】解：（a+b+c ）（b+c a）=3bc，整理可得：b 2+c2a2=bc，由余弦定理可得：cosA= = = ，A= 又tanB= ，B 为三角形内角，cosB= = ，sinB= = ，由正弦定理可得： = ，解得：b= 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查
22、了转化思想和计算能力，属于中档题16设数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S2=4，a n+1=2Sn+1， nN*，则 a1= 1 ，S 5= 121 【考点】数列的概念及简单表示法【分析】运用 n=1 时，a 1=S1，代入条件，结合 S2=4，解方程可得首项；再由 n1 时，a n+1=Sn+1Sn，结合条件，计算即可得到所求和【解答】解：由 n=1 时，a 1=S1，可得 a2=2S1+1=2a1+1，又 S2=4，即 a1+a2=4，即有 3a1+1=4，解得 a1=1；由 an+1=Sn+1Sn，可得Sn+1=3Sn+1，由 S2=4，可得 S3=34+1=13，S4=313+1
23、=40，S5=340+1=121故答案为：1，121【点评】本题考查数列的通项和前 n 项和的关系：n=1 时，a 1=S1，n1 时，a n=SnSn1，考查运算能力，属于中档题三、解答题（共 6 大题，共 70 分）17已知函数 f（x）=x 3+ax2+bx+c 在 x0 处取得极小值5，其导函数 y=f（x）的图象经过点（0，0）与（2，0）（1）求 a，b 的值；（2）求 x0 及函数 f（x）的表达式【考点】函数在某点取得极值的条件；函数解析式的求解及常用方法【分析】（1）利用函数在 x0 处取得极小值5，以及导函数 y=f（x）的图象经过点（0，0）与（2，0），确定 a，b，c
24、 的值（2）由（1）可以确定 x0 及函数 f（x）的表达式【解答】解：（1）f（x）=3x 2+2ax+b过点（0，0）与（2，0），故 得 ；（2）由（1）得 f（x）=x 33x2+c由 f（x）=3x 26x=0x=0 或 x=2而当 x0 时，f（x）0； 当 0x2 时，f（x）0当 x2 时，f （ x）0；故 f（2）是 f（x）的最小值从而有 x0=2，f（2）= 5由 f（2）= 5812+c=5，解得 c=1f（x）=x 33x21【点评】本题主要考查了导数和函数极值的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性，极值和最值的基本方法18在ABC 中，a，b，c 分别为角
25、A，B，C 的对边，cos2A=cosA （）求角 A；（）当 a=2 ，S ABC = 时，求边 c 的值和ABC 的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）由已知可得 2cos2AcosA1=0，解得 cosA 的值，结合 A 的范围，即可得解 A 的值（）由已知及余弦定理化简可得 sinC=cosC，由 cosC0 可求 tanC，解得 C，结合正弦定理求得 c 的值，进而求得 sinB，利用三角形面积公式即可得解（或由正弦定理 得 b=2，由 4 SABC=a2+b2c2 得 SABC = ）【解答】（本题满分为 12 分）解：（）由 cos2A=cosA，得 2cos2AcosA1
26、=0，所以 cosA= 或 cosA=1因为 0A，所以 cosA= ，所以角 A 为 ，（）由 4 SABC =a2+b2c2 及 SABC = absinC，有 2 absinC=a2+b2c2 即 sinC= ，由余弦定理有 sinC=cosC，显然 cosC0 有 tanC= ，C= ， 又由正弦定理有： = ，得 c=2，又 sinB=sin（ ）= ，所以ABC 的面积 S= acsinB= （或由正弦定理 得 b=2，由 4 SABC =a2+b2c2 得 SABC = ）【点评】本题主要考查了余弦函数的图象和性质，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算
27、能力和转化思想，属于中档题19在等差数列a n中，S n 为其前 n 项和，已知 a2=2，S 5=15公比为 2 的等比数列b n满足 b2+b4=60（）求数列a n和b n的通项公式；（）设 ，求数列 cn的前 n 项和 Tn【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出；（II）利用等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“错位相减法”即可得出【解答】解：（）设等差数列a n的公差为 d，由 a2=2，S 5=15， ，解得 ，a n=1+（n 1）=n 公比为 2 的等比数列b n满足 b2+b4=60 =60，解得 b1=6
28、，b n=62n1=32n（） = = ，则 Tn= 令 Rn= + 则 = + + + 两式作差得： = + = =1 R n=2 故 Tn= 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“错位相减法” ，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20某公司生产的某批产品的销售量 P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用 x 万元满足 P= （其中 0xa，a 为正常数）已知生产该产品还需投入成本 6（P+ ）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+ ）元/件（1）将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？
29、【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）根据产品的利润=销售额产品的成本建立函数关系；（2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件【解答】解：（）由题意知，y=（4+ ）p x6（p+ ），将 p= 代入化简得：y=19 x（0xa ）；（）y=22 （ +x+2）223 =10，当且仅当 =x+2，即 x=2 时，上式取等号；当 a2 时，促销费用投入 2 万元时，该公司的利润最大；y=19 x， y= ，a2 时，函数在0，a 上单调递增，x=a 时，函数有最大值即促销费用投入 a 万元时，该公司的利润最大【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值
30、问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题21函数 y=sin（x+）（0，| ）在同一个周期内，当 x= 时 y 取最大值 1，当 x= 时，y 取最小值1（）求函数的解析式 y=f（x）（）函数 y=sinx 的图象经过怎样的变换可得到 y=f（x）的图象？（）求函数 f（x）的单调递减区间【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的图象【分析】（）通过当 x= 时 y 取最大值 1，当 x= 时，y 取最小值1求出函数的周期，利用最值求出 ，即可求函数的解析式 y=f（x）（）利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律即可得解（）根据正弦函数的单调区间，即可得到函数的单调
31、区间【解答】解：（）当 x= 时 y 取最大值 1，当 x= 时，y 取最小值1T= = ，=3 sin（ +）=1， +=2k+ （kZ），即 =2k ，又| ，可得 = ，函数 f（x）=sin（3x ）（）y=sinx 的图象向右平移 个单位得 y=sin（x ）的图象再由 y=sin（x ）图象上所有点的横坐标变为原来的 纵坐标不变，得到 y=sin（3x ）的图象，（）令 2k 3x 2k ，（kZ），求得函数 f（x）的单调递减区间为： ， 【点评】本题主要考查了函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于中档题22已知函数 f（x）=l
32、nx ax22x（I）若函数 f（x）在 x ，2内单调递减，求实数 a 的取值范围；（II）当 a= 时，关于 x 的方程 f（x）= x+b 在1，4上恰有两个不相等的实数根，求实数 b 的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求出函数的导数，问题转化为 2 ，根据函数的单调性求出 a 的范围即可；（） 可变形为 ，令 ，根据函数的单调性求出 g（x）的极值和端点值，得到关于 b 的不等式组，解出即可【解答】解：（）f（x）= 2ax2= 由题意 f（x）0 在 x ，2时恒成立，即 2在 x ，2时恒成立，即 ，当 x= 时， 取最大值 8，实数 a 的取值范围是 a4（）当 a= 时， 可变形为 令 ，则 列表如下：x 1 （1，2） 2 （2，4） 4g（x） 0 +g（x） 极小值 2ln2b2g（x） 极小值 =g（2）=ln2b 2， ，又 g（4）=2ln2 b2，方程 g（x）=0 在1，4上恰有两个不相等的实数根， ，得 【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题
