1、2017 届江西师范大学附属中学高三下学期 3 月月考数学（理）试题本试卷共 4 页，23 题（含选考题） 。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。第卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合 2|30Ax， 2|log(34)Byx，则 AB（A）13,（B）1,（C） (1, （D） (,)（2）函数 2sin()yx是（A）最小正周期为 的偶函数 （B）最小正周期为 的奇函数 （C）最小正周期为 2的偶函数 （D）最小正周期为 2的奇函数（3）复数 z满足 i34i，若复数 z对应的点为 M，则点 到直线 3
2、10xy的距离为（A） 4105 （B） 7105 （C） 8105 （D）（4）已知函数 2log(3),()xf，若 (2)fa，则 ()f（A） 2 （B） 1 （C） 1 （D） 2（5）已知数列 na为等差数列，且满足 3205AOB，若 ()ABCR，点 O为直线BC外一点，则 1207（A） （B） 1 （C） （D） 4（6）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这
3、四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁（7）春天来了，某学校组织学生外出踏青.4 位男生和 3 位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3 位女生不全站在一起，则不同的站法种数是21122（A）964 （B）1080 （C）1152 （D）1296（8）一个三棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 （A） 1 （B） 43 （C） 2 （D） 8（9）执行如图所示的程序框图，则输出的 S（A） 4 （B） 5 （C） 15 （D） 6 （10）已知 ()fx是定义在 R上的奇函数，满足 ()2)0fx, 且当 ,1)x时，()ln1fe,则函数
4、 ()3gxf在区间 ,上的零点个数是（A）4 （B）5 （C）6 （D）7（11）已知 12,F是双曲线21(0)xyabb，的左、右焦点，设双曲线的离心率为 e若在双曲线的右支上存在点 M，满足 21|M，且 12sinMF，则该双曲线的离心率 e等于（A） 54 （B） 53 （C） 5 （D） 52（12）下列命题为真命题的个数是2e； 2ln； l1e； ln2（A）1 （B）2 （C）3 （D）4第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22） 、（23 ）题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。
5、（13）若向量 (2,1)(3,)mn，且 (2)mn (3)，则实数 .（14）若 548xa的展开式中含 3x项的系数是 16，则 a .（15）若变量 ,y满足约束条件240yx，则 284yx的最小值为 . 出Si=+1S= ,i1S+i1ii5开 始结 束 否是图 2图 1O GGCA BD A BCDEF FEO（16）已知数列 na与 b满足 *12()3nabN，若 nb的前 项和为 3(21)nT且8(3)2nab对一切 *恒成立，则实数 的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。（17 ） （本小题满分 12 分）已知函数 ()cos()0,|)2
6、fxAx的部分图像如图所示.（）求函数 的解析式；（）在 BC中，角 ,的对边分别是 ,abc，若 (23)coscsab，求 ()sin2AfC的取值范围.（18 ） （本小题满分 12 分）已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动男生女生向前冲.活动共有四关，若四关都闯过，则闯关成功，否则落水失败.设男生闯过一至四关的概率依次是 5432,6，女生闯过一至四关的概率依次是 4321,5.（）求男生甲闯关失败的概率；（）设 表示四人冲关小组闯关成功的人数，求随机变量 的分布列和期望.（19 ） （本小题满分 12 分）如图 1，在矩形 A
7、BCD 中， 5,2ABD，点 ,EF分别在边 ,ABCD上，且 4,1EF，AC交 E于点 G现将 F沿 折起，使得平面 平面 ，得到图 2（）在图 2 中，求证： ；（）若点 M是线段 上的一动点，问点 M在什么位置时，二面角 M的余弦值为 35（20） （本小题满分 12 分）已知椭圆 2:10yxCab的离心率 32e，两焦点分别为 12,F，右顶点为 M，12MF.（）求椭圆 的标准方程；（）设过定点 (,0)的直线 l与双曲线214xy的左支有两个交点，与椭圆 C交于 ,AB两点，与圆 22:34Nxy交于 ,PQ两点，若 MAB的面积为 65， ABPQ，求正数 的值.（21 ）
8、 （本小题满分 12 分）已知函数 32 1(),()2ln3()6fxgxkxk.（）若过点 ,(0Pa恰有两条直线与曲线 yf相切，求 a的值；（）用 minpq表示 ,中的最小值，设函数 ()min,(0)hxxg，若 ()hx恰有三个零点，求实数 k的取值范围.请考生在第（22） 、 （23 ）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。（22） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为23xty（ 为参数），若以该直角坐标系的原点 O为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 2sin4cos0.（）
9、求直线 l与曲线 C的普通方程；（）已知直线 与曲线 交于 ,AB两点，设 (2,0)M，求 1AMB的值.（23） （本小题满分 10 分）选修 45 ：不等式选讲设函数 ()|21|3fxx，记不等式 ()3fx的解集为 （）求 M；（）当 x时，证明：2()|()|0ff江西师大附中高三年级数学（理科）答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）B【解析】由 2530x得132x，1,32A.函数2log(4)y的值域为 R， B， ,B.（2）A【解析】 23sin(1cos(23)cos2xxx， 23sin()1yx
10、是最小正周期为 的偶函数.（3 ） D【解析】由 i4iz得 i4i1z， 43iz， z对应的点为 (,3)M， 所求距离为 |31|0d.（4）A【解析】当 2a即 0时, 2a,解得 a，则 ()1log3(1)fa；当 2即 0时, 2a，解得 12，舍去. ()2fa.（5）A【解析】 3015BAaOC， 32015OABaOC，即 32015()Oa， 又 ()R， 2015， 201732015a.（6）B【解析】乙、丁两人的观点一致，乙、丁两人的供词应该是同真或同假；若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不
11、是罪犯的结论，矛盾；乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯（7）C【解析】男生甲和乙要求站在一起共有 26140A种，其中男生甲和乙要求站在一起且女生全站在一起有 2348A种，符合题意的站法共有 852种.（8）C【解析】由三视图可得到如图所示几何体，该几何体是由正方体切割 得到的，利用传统法或空间向量法可求得三棱锥的高为 3，该几何体的体积为 213()4.（9）B【解析】 1iii,输出的 2()(32)(615)S165.（10）B【解析】由 ()0fx，令 x，则 ()0f， ()20fx， (f的图像关于点 1,对称，又 是定义在 R上的奇
12、函数， )(2)(2)ffx， ()f是周期为 2 的函数. 当 0,1x时， 1()ln)ln()1xxfee为增函数，画出 ()f及 3y在 0,6上的图像如图所示，经计算，结合图像易知，函数 ()fx的图像与直线 13yx在 0,6上有 3 个不同的交点，由函数的奇偶性可知，函数 1()gxfx在区间 6,上的零点个数是 5.（11）B【解析】依题设， 21|MFc， 12sineF， 2sinae，等腰三角形 底边上的高为 ， 底边 1F的长为 4b，由双曲线的定义可得 42bca， bc， 224()bac，即 2， 2350e，解得 53e.（12）D【解析】令 lnxy，则 1l
13、nxy， lnxy在 (0,)e上单调递增，在 (,)e上单调递减， 2ll42， lne即2e， ln1， ln. 正确. 32， l3. 正确.y x122234567二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。（13） 3【解析 】依题设， 2(7,2),3(7,16)mnn，由 (2)mn ()得， (16)0，解得 4.（14） 【解析】 24ax展开式的通项公式为 58244211()(rrrrrrTCCaxx， 0,134.令 583，得 ； 令 ，得 .依题设，有 24816a， 解得 2a.（15） 5【解析】画出可行域如图阴影部分，2 22()()0xyxy表示可行域内的
14、点 ,P到定点 4,M的距离的平方减去 20，连接 ON交圆于点 ，则点 N为可行域内到点 距离最小的点， 284xy的最小值为 22()485.（16） ,)【解析】依题设，当 1n时， 13bT；当 2n时， 13(2)()2nnnbT，又当 1时， ， 1nn. 1na. 8()na等价于 1()38(3)，即 1(3)23， 62n对一切 *N恒成立，令 nf，则 1()(nff11()()422n，当 4时， ()(ff，当 5时， ()ff，当 或 5时， 取得最大值， max()(4)16fn， 316， .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。yx12343412
15、34234NMO（17 ） 【 解】 （）由图像知， 2,()36AT， 2T，由图像可知， ()26f， cos， cos()13， 3k， 又 |， 3， )2fx.（）依题设， (23)coscsaBbC， (sinsiinAC，即 co(ss)B3sin()3sinBA， 3s2， 又 0,)， 6B. 56A.由（）知， 5()sin2cos()sinco3sin()36AfCC1cos3iii()6A，又 5(0,)6A， (,)6， sn(0,1， sin2fC的取值范围是 0,3.（18） 【解】 （）记“男生甲闯关失败”为事件 A，则“男生甲闯关成功”为事件 A，54321(
16、)1()63PA.（）记“一位女生闯关成功”为事件 B，则421()535P，随机变量 的所有可能取值为 0,1234.246(0)()35P，12122 96()53C，241()，2114(35P，649215()P. 的分布列为：0 1 2 3 4z yx GD CBAFEOMP642595215264916()0134.25E（19） 【解】 （）在矩形 ABCD中， 5,2A, ,1EDF, tantanFDAE， 90O即 A.在图 2 中， O， F. 又平面 平面 B，平面 A平面 BCF， 平面 C， ，依题意， AE F且 ，四边形 E为平行四边形 . , O， 又 DO，
17、 平面 D， 又 G平面 ， CG.（）如图 1，在 RtAF中， 5， 21,5F， F E， 4， 84OED.如图，以点 O为原点建立平面直角坐标系，则4(,0)5A， 1(,0)5， 2(,)5， 8(0,)5， (,)F， 8(,)ED， 4(,0)A， EOA， 平面 AF， 1(0,)n为平面 的法向量.设 MD，则 482(,(1),55ED，设 2(,)nxyz为平面 AF的法向量，则20FA即0482(1)55xyz，可取 2(0,41)n，y xO1223412345234MPQBA依题意，有 1222|3|cos,| 516()n，整理得 2890，即 40， 4，当点
18、 M在线段 DE的四等分点且 MDE时，满足题意（20） 【解】 （）由已知，不妨设 12(0,)(,Fc， (,0)b， 212(,)(,MFbcb，即 2a，又 34ea， ,4a，椭圆 C的标准方程为214yx.（）依题设，如图，直线 l的斜率存在，设 :()lykx， 12(,)(,)A，由 2()14ykx得 22()40xk，222()(4)0k即 23，11,kxx，22221|() kABkx，点 M到直线 l的距离为 23|kd, 216|46|25ABSk,整理得 4930k，解得 1或 249k，又由直线 l与圆相交，有 12|3|d，解得 1，依题设，直线 l与双曲线2
19、4xy的左支有两个交点， 必有 12k. .此时 |5AB， 21|44PQd，正数 |42147535ABPQ.（21 ） 【 解】 （） 32()fx， 2()36fx，设切点为 (,)tf，则该点处的切线方程为 2()(yttxt，又切线过点 Pa， 322()()tta，整理得， 32(1)650tt， （* ）依题设，方程（* ）恰有两个不同的解，令 32()()tat，则 2()6(1)6(1)tatta，解 0得 1,t， 当 时， ()恒成立， ()t单调递增，至多只有一个零点，不合题设；当 a时，则 ,a为 t的极值点，若 0t恰有两个不同的解，则 (1)0或 ()，又 32
20、232()(1)655aaa，2365， 或 30.令 2()ra，则 2()()r，解 0得 ， a在 0,上单调递增，在 2,上单调递减，又 ()1， 当 且 1时， ()r无解. a.（） 32322(1()fxxxx，当 0时，解 ()0f得 1,.由（）知， 26() ，当 2x时， ()fx；当 或 2x时， ()0fx， ()f在 ,上单调递增，在 (0,)上单调递减.当 01(3,)时， f，当 (1,3)时， ()0fx. ()2lngxkx， 2(gxk，当 06时， ()0， )在 ,)上单调递减，31(3)2ln3,ln,926egkk， (3)0g.当 0,x时， (
21、)0gx，当 ()时， x，此时 ()mi,hf恰有三个零点.当 0k时， 2()kxgx，解 ()0gx得 2k， ()在 ,上单调递减，在 (,上单调递增， min2()5lngxkk，当 52e时， ()0gk，此时不合题意；当 52ke时， ()恰有一个零点 ，此时符合题意；当 520时，526ek， ()0gk，又 (3)ln3g，当 x时， ()gx. x在 ,上有两个零点，此时 ()h在 ,上有 4 个零点，不合题设.综上， k的取值范围是 521(,06e.（22） 【解】 （）由 3xty得 ()yx，直线 l的普通方程 20；由 2sin4cos0得 sin4cos，又 ,
22、ixy， 曲线 C的普通方程为 24yx.（）设 AB对应的参数为 12,t，将23xty代入 24yx得 380t， 12128,3tt，直线 l的参数方程为 3ty可化为()2xty， 12|2,|MAtBt， 12|14613tMAB.（23 ） 【 解】 （）依题设，13,2()5,xf，当12x时，由 ()3fx，解得 0x，此时 x；当时，由 ()5f，解得25，此时 . ()3fx的解集为 (,0)M.（）证明：当 时，要证2|()|0xffx，只需证2()|()|0fxf，由（）知，当 时， 3fx，2()|()|fxf2)()(23)x，又 30,， 2|0ff， 2()|()|xffx.
