1、2016-2017 学年福建省漳州市长泰一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分）若 ab0，则下列不等式成立的是（ ）A Bab1 C D2 （5 分）函数 的定义域为（ ）A （ 4，1） B （4，1） C （ 1，1） D （1，13 （5 分）若幂函数 f（x）=（m 2m1）x m 在（0， +）上为增函数，则实数 m=（ ）A2 B1 C3 D 1 或 24 （5 分）函数 f（x ）= 的图象大致为（ ）A B C D5 （5 分）将函数 y=sin（2x
2、 ）图象向左平移 个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）Ax= Bx= Cx= Dx=6 （5 分）棱长为 a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）A B C D7 （5 分）已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（1，0） ， （3，0） ， （1， 5） ，则第四个点的坐标为（ ）A （1 ，5 ）或（ 5，5 ） B （1，5）或（ 3，5）C （ 5，5）或（ 3，5） D （1，5）或（ 3，5 ）或（5 ，5）8 （5 分）在各项都为正数的等差数列a n中，若 a1+a2+a10=30，则 a5a6 的最大值等于（ ）A3 B6 C9 D369 （
3、5 分）设 l，m，n 表示三条直线， ， 表示三个平面，给出下列四个命题：若 l ，m，则 lm；若 m，n 是 l 在 内的射影，ml，则 mn；若 m，mn，则 n；若 ， ，则 其中真命题为（ ）A B C D10 （5 分）已知曲线 y=x2+2x2 在点 M 处的切线与 x 轴平行，则点 M 的坐标是（ ）A （ 1，3） B （1，3） C （ 2，3） D （2，3）11 （5 分）等差数列a n中，a 1，a 4025 是函数 的极值点，则 log2a2013等于（ ）A2 B3 C4 D512 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足下列三个条件：（1）f（x +3）=
4、 ；（2）对任意 3x 1x 26，都有 f（x 1）f（x 2） ；（3）y=f（x+3）的图象关于 y 轴对称则下列结论中正确的是（ ）Af （3）f（7）f（4.5） Bf（3）f（4.5）f（7） Cf（7）f（4.5 ）f（ 3） Df （7）f（3）f（4.5）二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ）13 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=2xy 的最大值等于 14 （5 分）如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 15 （5 分）如图，自然数列按正三角形图顺序排列，如数 9 排在第 4 行第 3 个位置；设数2
5、015 排在第 m 行第 n 个位置，则 m+n= 16 （5 分）下列命题中，错误命题的序号有 （1） “a=1”是“ 函数 f（x） =x2+|x+a+1|（x R）为偶函数”的必要条件；（2） “直线 l 垂直平面 内无数条直线”是“直线 l 垂直平面 ”的充分条件；（3）若 xy=0，则|x |+|y|=0；（4）若 p：xR ，x 2+2x+20，则p：xR ，x 2+2x+20三、解答题（共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知四棱锥 PABCD 的三视图如图，则四棱锥 PABCD 的表面积和体积18 （12 分）已知向量 ， （x R） ，设函
6、数 （1）求函数 f（x）的值域；（2）已知锐角ABC 的三个内角分别为 A，B ，C，若 ， ，求 f（C）的值19 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，若 Sn=2an+n，且 bn= （1）求a n的通项公式；（2）求数列b n的前 n 项和20 （12 分）在边长为 a 的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图） ，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？21 （14 分）设函数 f（x）=lnx bx（1）当 a=b= 时，求函数 f（x）的单调区间；（2）令 F（x）=f（x）+ （0x3） ，其
7、图象上任意一点 P（x 0，y 0）处切线的斜率 k 恒成立，求实数 a 的取值范围（3）当 a=0，b=1 时，方程 f（x）=mx 在区间1， e2内有两个不相等的实数解，求实数 m的取值范围22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线 C1： （t 为参数） ，C 2： （ 为参数） （）化 C1，C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ，Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线C3： （cos 2sin）=7 距离的最小值23 （10 分）已知函数 f（
8、x）=|x a|+|2x1|（a R） （）当 a=1 时，求 f（x）2 的解集；（）若 f（x）|2x+1|的解集包含集合 ，1，求实数 a 的取值范围附加题（不计入总分）24如图四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， ACB=90，PA平面ABCD，PA=BC=1，AB= ，F 是 BC 的中点（）求证：DA 平面 PAC（）PD 的中点为 G，求证： CG平面 PAF（）求三棱锥 ACDG 的体积2016-2017 学年福建省漳州市长泰一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选
9、项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分） （2016 秋 长泰县校级期中）若 ab 0，则下列不等式成立的是（ ）A Bab1 C D【分析】不妨令 a=2，b=1，检验可得 A、B、C 不正确，利用不等式的基本性质可得 D 正确【解答】解：不妨令 a=2，b=1， ， ，故 A 不正确ab=2，故 B 不正确 ，故 C 不正确由 ab0 可得 a b0 ， = 1，故 D 正确故选 D【点评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题2 （5 分） （2009江西）函数 的定义域为（ ）
10、A （ 4，1） B （4，1） C （ 1，1） D （1，1【分析】由题意知 ，解得1x1，由此能求出函数 的定义域【解答】解：由题意知，函数 的定义域为，解得1x1，故选 C【点评】本题考查对数函数的定义域，解题时要注意不等式组的解法3 （5 分） （2015 秋 桂林期末）若幂函数 f（x）=（m 2m1）x m 在（0，+）上为增函数，则实数 m=（ ）A2 B1 C3 D 1 或 2【分析】直接利用幂函数的定义与性质求解即可【解答】解：幂函数 f（x ）=（m 2m1）x m 在（0， +）上为增函数，所以 m2m1=1，并且 m0，解得 m=2故选：A【点评】本题考查幂函数的断断
11、续续以及幂函数的定义的应用，基本知识的考查4 （5 分） （2015天水校级模拟）函数 f（x）= 的图象大致为（ ）A B C D【分析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除 C，D 两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在 X 轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在 x 轴上方，故可排除 B，A 选项符合，故选 A【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值5 （5 分） （2016日照一模）将函
12、数 y=sin（2x ）图象向左平移 个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）Ax= Bx= Cx= Dx=【分析】由条件利用 y=Asin（x+ ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论【解答】解：将函数 y=sin（2x ）图象向左平移 个单位，所得函数图象对应的函数的解析式为 y=sin2（x + ） =sin（2x+ ） ，当 x= 时，函数取得最大值，可得所得函数图象的一条对称轴的方程是 x= ，故选：C【点评】本题主要考查 y=Asin（x+ ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题6 （5 分） （2003天津）棱长为 a 的正方体中，连接相邻面的中心
13、，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）A B C D【分析】画出图形，根据题意求出八面体的中间平面面积，然后求出其体积【解答】解：画出图就可以了，这个八面体是有两个四棱锥底面合在一起组成的一个四棱锥的底面面积是正方体的一个面的一半，就是 ，高为 ，所以八面体的体积为： 故选 C【点评】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，体积的计算公式，考查转化思想，是基础题7 （5 分） （2016 秋 长泰县校级期中）已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（1，0） ，（3，0） ， （1，5） ，则第四个点的坐标为（ ）A （1 ，5 ）或（ 5，5 ） B （1，5）或（ 3，5）C （ 5，5）或（
14、3，5） D （1，5）或（ 3，5 ）或（5 ，5）【分析】利用平行四边形的对角线相交且被交点平方；通过对与哪一个点是对顶点分类讨论；利用中点坐标公式求出【解答】解：设第四个顶点为（x，y ）当第四个顶点与（1，0）对顶点则x1=4； y=5解得 x=5，y=5当第四个顶点与（3，0）为对顶点则x+3=0， y=5解得 x=3，y=5当第四个顶点与（1，5）为对顶点则x+1=2； y5=0解得 x=1，y=5故选 D【点评】本题考查平行四边形的对角线相交且平分、考查中点坐标公式8 （5 分） （2015柳州一模）在各项都为正数的等差数列a n中，若 a1+a2+a10=30，则a5a6 的最
15、大值等于（ ）A3 B6 C9 D36【分析】利用 a1+a2+a10=30，求出 a5+a6=6，再利用基本不等式，求出 a5a6 的最大值【解答】解：由题设，a 1+a2+a3+a10=5（a 1+a10） =5（a 5+a6）=30所以 a5+a6=6，又因为等差数列a n各项都为正数，所以 a5a6 =9，当且仅当 a5=a6=3 时等号成立，所以 a5a6 的最大值等于 9，故选 C【点评】本题考查等差数列的性质，考查基本不等式的运用，求出 a5+a6=6 是关键9 （5 分） （2015滕州市校级模拟）设 l，m，n 表示三条直线， 表示三个平面，给出下列四个命题：若 l ，m，则
16、 lm；若 m，n 是 l 在 内的射影，ml，则 mn；若 m，mn，则 n；若 ， ，则 其中真命题为（ ）A B C D【分析】选项结论是根据直线与平面垂直的性质定理得出的故其正确，选项根据由三垂线定理的逆定理可证，选项n 也可能在平面 内时不正确，选项举反例，如正方体共顶点的三个平面【解答】解：选项，可以根据直线与平面垂直的性质定理得出的，故其正确；选项，根据由三垂线定理的逆定理可证可知正确；选项，n 在平面 内时不正确；选项，若 ，则 ，不正确，如正方体共顶点的三个平面；故选 A【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的判定等有关知识，同时考查了分析问题解决
17、问题的能力，属于基础题10 （5 分） （2016 秋 长泰县校级期中）已知曲线 y=x2+2x2 在点 M 处的切线与 x 轴平行，则点 M 的坐标是（ ）A （ 1，3） B （1，3） C （ 2，3） D （2，3）【分析】设出 M（m，n） ，求出导数，求得切线的斜率，由题意可得 2m+2=0，解得 m，进而得到 n，即可得到切点坐标【解答】解：y=x 2+2x2 的导数为 y=2x+2，设 M（ m，n） ，则在点 M 处的切线斜率为 2m+2，由于在点 M 处的切线与 x 轴平行，则 2m+2=0，解得 m=1，n=122=3，即有 M（1，3 ） 故选 B【点评】本题考查导数的
18、运用：求切线的斜率，同时考查两直线平行的条件，正确求导是解题的关键11 （5 分） （2016 秋 长泰县校级期中）等差数列a n中，a 1，a 4025 是函数的极值点，则 log2a2013 等于（ ）A2 B3 C4 D5【分析】求出原函数的导函数，由导函数为 0 求得 a1+a4025=8，结合等差数列的性质求得a2013，代入 log2a2013 得答案【解答】解：由 ，得 f（x）=x 28x+6由 f（x）=x 28x+6=0，得 x1+x2=8，又 a1，a 4025 是函数 的极值点，a 1+a4025=8，则 ，log 2a2013=log24=2故选：A【点评】本题考查函
19、数的极值与导函数零点的关系，考查了等差数列的性质和对数的运算性质，是中档题12 （5 分） （2012 春 集美区校级期末）定义在 R 上的函数 f（x）满足下列三个条件：（1）f（x+3 ）= ；（2）对任意 3x 1x 26，都有 f（x 1）f（x 2） ；（3）y=f （x +3）的图象关于 y 轴对称则下列结论中正确的是（ ）Af （3）f（7）f（4.5） Bf（3）f（4.5）f（7） Cf（7）f（4.5 ）f（ 3） Df （7）f（3）f（4.5）【分析】由（1）可得函数的周期为 6，由（2）可得函数单调递增，结合（3）可得函数的对称性，根据函数性质之间的关系即可得到结论【
20、解答】解：f（x+3） = ；f（ x+6）= ，即函数的周期是 6，对任意 3x 1x 26，都有 f（x 1）f（x 2） ；函数在3，6上单调递增，y=f（x+3）的图象关于 y 轴对称，即函数 f（x ）关于 x=3 对称，则 f（7）=f（ 1）=f（5） ，34.55 ，f（ 3）f（4.5）f（5） ，即 f（3）f（4.5）f（7） ，故选：B【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据条件判断函数的单调性，周期性以及对称性是解决本题的关键二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ）13 （5 分） （2011 秋 厦门期末）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z
21、=2xy 的最大值等于 6 【分析】作出满足不等式组的可行域，由 z=2xy 可得 y=2xZ 可得z 为该直线在 y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合图形可求 z 的最大值【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示由于 z=2xy 可得 y=2xz，则z 表示目标函数在 y 轴上的截距，截距越大，z 越小作直线 L：y=2x，然后把直线 l 向平域平移，由题意可得，直线平移到 A 时，z 最大由 可得 C（4， 2） ，此时 z=6故答案为 6【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题14 （5 分） （2016 秋 长泰县校级期中）如图，一个几何体
22、的三视图是三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 29 【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，其外接与球，它的对角线的长为球的直径，得长方体的体对角线的长为 = ，长方体的外接球的半径为 ，球的表面积为 4（ ） 2=29，故答案为：29【点评】本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题15 （5 分） （2016 秋 长泰县校级期中）如图，自然数列
23、按正三角形图顺序排列，如数 9 排在第 4 行第 3 个位置；设数 2015 排在第 m 行第 n 个位置，则 m+n= 125 【分析】本题根据图形排列的规律，发现每一行的最后一个数是正整数数列的前 n 项和，从而可以求出第 m1 行的最后一个数，从而算出 m 的值，然后推导出第 m 行的第 n 个数的表达式，从而求出 n 的值，得到 m+n 的值，得到本题结论【解答】解：如图，自然数列按正三角形图顺序排列，第 1 行最后一个为：1，第 2 行最后一个为：1+2=3 ，第 3 行最后一个为：1+2+3，第 4 行最后一个为：1+2+3+4，第 m1 行最后一个数为：1 +2+3+（m 1）=
24、 = 数 2015 排在第 m 行第 n 个位置， ，mN *，且 ，m=63 ，n=62m+n=125故答案为：125【点评】本题考查了归纳推理、等差数列的求和，还考查了取整思想，本题难度不大，属于基础题16 （5 分） （2016 秋 长泰县校级期中）下列命题中，错误命题的序号有 （2） （3） （1） “a=1”是“ 函数 f（x） =x2+|x+a+1|（x R）为偶函数”的必要条件；（2） “直线 l 垂直平面 内无数条直线”是“直线 l 垂直平面 ”的充分条件；（3）若 xy=0，则|x |+|y|=0；（4）若 p：xR ，x 2+2x+20，则p：xR ，x 2+2x+20【分
25、析】 （1）根据充分条件和必要条件的定义进行判断（2）根据线面垂直的定义进行判断（3）根据绝对值的性质进行判断（4）根据含有量词的命题的否定进行判断【解答】解：（1）若“函数 f（x）=x 2+|x+a+1|（xR）为偶函数”，则 f（x ）=f（x） ，即 x2+|x+a+1|=x2+|x+a+1|，则|x+a+1|=|x（a+1）|，平方得 x2+2（a+1）x+（a+1） 2=x22（a+1）x +（a+1） 2，即 2（a+1 ）x=2（a+1）x，则 4（a+1 ）=0，即 a=1，则“a=1”是“函数 f（x ）=x 2+|x+a+1|（x R）为偶函数”的必要条件；正确；（2）
26、“直线 l 垂直平面 内无数条直线”则“直线 l 垂直平面 ”不一定成立，故（2）错误；（3）当 x=0，y=1 时，满足 xy=0，但|x |+|y|=0 不成立，故（ 3）错误；（4）若 p：xR ，x 2+2x+20，则p：xR ，x 2+2x+20 正确故错误的是（2） （3） ，故答案为：（2） （3）【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点有充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，综合性较强三、解答题（共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （10 分） （2016 秋 长泰县校级期中）已知四棱锥 PABCD 的三视图如图，则四棱锥PABCD 的
27、表面积和体积【分析】由三视图可知，几何体为四棱锥，底面为正方形，且一边垂直于底面，再求解即可【解答】解：由题意知，图形为直四棱锥，则表面积为 +1= ，体积为 V= = 【点评】本题考查学生的空间想象能力，空间图形的垂直关系的转换，是基础题18 （12 分） （2009广州二模）已知向量 ， （x R） ，设函数（1）求函数 f（x）的值域；（2）已知锐角ABC 的三个内角分别为 A，B ，C，若 ， ，求 f（C）的值【分析】 （1）根据所给的两个向量的坐标，写出函数 f（x ）的解析式，逆用正弦的二倍角公式，把函数变形为 y=sinx 的形式，根据所给的变量的取值范围，写出函数的值域（2）
28、根据 ， ，写出三角形的两个内角的三角函数值，根据三角形是锐角三角形和同角的三角函数关系，根据两角和的正弦公式，得到结果【解答】解：（1）向量 ， （x R） ，= xR ，函数 f（x ）的值域为1，1（2） ， ， ， A，B 都是锐角， ， f（ A+B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=f（ A+B）的值为 【点评】本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的坐标，用数量积列出式子，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到角的变换问题注意解题过程中角的范围19 （12 分） （2015 秋 龙泉驿区校级期中）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，若 Sn=2an+
29、n，且bn= （1）求a n的通项公式；（2）求数列b n的前 n 项和【分析】 （1）利用 an+1=Sn+1Sn 化简可知 an+1=2an1，变形可知 an+11=2（a n1） ，进而可知数列an1是以 2 为首项、2 为公比的等比数列，计算即得结论；（2）通过（1）裂项可知 bn= ，并项相加即得结论【解答】解：（1）解：由 Sn=2an+n 得：S n+1=2an+1+n+1，a n+1=Sn+1Sn=2an+12an+1，即 an+1=2an1，a n+11=2（a n1） ，S 1=2a1+1，a 1=1，a 11=20，数列a n1是以2 为首项、2 为公比的等比数列，a n
30、1=2n，a n=12n；（2）由（1）知 bn= = = ，T n=（ ）+（ ）+（ ）= 1【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和，考查运算求解能力，考查裂项相消法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题20 （12 分） （2012 秋 徐州期中）在边长为 a 的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图） ，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？【分析】设箱底边长为 x，根据已知中箱子的制作方法，我们可求出容积 V（x）的解析式，求出其导函数，分析其单调性，可得到函数的最值点，代入可得
31、答案【解答】解：设箱底边长为 x，则箱高为 h= （0xa ） ，（2 分）箱子的容积为 V（x）= = （0x a） ， （6分）由 V（x）= =0 解得 x=0（舍） ，x= ，（8 分）且当 x（0， ）时，V（x）0；当 x（ ， a）时，V（x）0，所以函数 V（x）在 x= 处取得极大值，（10 分）这个极大值就是函数 V（ x）的最大值：V（ ）= = （12 分）答：当箱子底边长为 时，箱子容积最大，最大值为 （14 分）【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积，导数法求最值，其中根据已知求出容积 V（x ）的解析式，是解答的关键21 （14 分） （2016 秋 长泰县校级期中
32、）设函数 f（x）=lnx bx（1）当 a=b= 时，求函数 f（x）的单调区间；（2）令 F（x）=f（x）+ （0x3） ，其图象上任意一点 P（x 0，y 0）处切线的斜率 k 恒成立，求实数 a 的取值范围（3）当 a=0，b=1 时，方程 f（x）=mx 在区间1， e2内有两个不相等的实数解，求实数 m的取值范围【分析】 （1）将 a，b 的值代入，求出函数 f（x）的表达式，导数，从而求出函数的单调区间；（2）求出 F（x） ，求导得到 在（0，3）上恒成立，分离参数求出 a 的范围即可；（3）得到 m=1+ ，只需 m=1+ 在区间1，e 2内恰有两个实数解，令 g（x ）=
33、1+ （x 0） ，根据函数的单调性求出 m 的范围即可【解答】解：（1）依题意，知 f（x ）的定义域为（ 0，+） ，当 a=b= 时，f（x）=lnx x2 x，f（x）= ，令 f（x）=0，解得：x=1 或 x=2（舍去） ，经检验， x=1 是方程的根当 0x1 时，f（x ）0，当 x1 时，f（x）0，所以 f（ x）的单调递增区间是（ 0，1） ，单调递减区间是（1，+） （2）F（x）=lnx+ ， （0x3） ，则有 K=F（x）= 在（0，3）上恒成立，a （ x02+x0） max，x 0=1 时， （ x02+x0） max= ，故 a ；（3）a=0，b=1 时，
34、f（x）=lnx+x，由 f（x）=mx 得 lnx+x=mx，又 x0，m=1 + ，要使方程 f（x）=mx 在区间1，e 2内恰有两个实数解，只需 m=1+ 在区间1， e2内恰有两个实数解，令 g（ x）=1+ （x0） ，g（x）= ，令 g（x）0 ，解得：0 xe ，令 g（x）0 ，解得： xe，g （x）在1，e递增，在 e，e 2递减，g（ 1）=1，g （e 2）=1 + ，g（e ）=1 + ，1+ m1+ 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题22 （10 分） （2016太原三模）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O
35、 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线 C1： （t 为参数） ，C 2： （ 为参数） （）化 C1，C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ，Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线C3： （cos 2sin）=7 距离的最小值【分析】 （）曲线 C1： （t 为参数） ，利用 sin2t+cos2t=1 即可化为普通方程；C2： （ 为参数） ，利用 cos2+sin2=1化为普通方程（）当 t= 时，P（4，4） ，Q（8cos ，3sin） ，故 M ，直线C3： （cos 2sin）=7 化为 x2
36、y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出【解答】解：（）曲线 C1： （t 为参数） ，化为（x +4） 2+（y 3） 2=1，C 1 为圆心是（4 ，3） ，半径是 1 的圆C2： （ 为参数） ，化为 C2 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆（）当 t= 时，P（4，4） ，Q（8cos ，3sin） ，故 M ，直线 C3：（cos 2sin） =7 化为 x2y=7，M 到 C3 的距离 d= = |5sin（+）+13 |，从而当 cossin= ，sin= 时，d 取得最小值 【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线
37、的距离公式公式、三角函数的单调性、椭圆与圆的参数与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23 （10 分） （2016福建模拟）已知函数 f（x）= |xa|+|2x1|（aR ） （）当 a=1 时，求 f（x）2 的解集；（）若 f（x）|2x+1|的解集包含集合 ，1，求实数 a 的取值范围【分析】 （ I）运用分段函数求得 f（x ）的解析式，由 f（x）2，即有 或或 ，解不等式即可得到所求解集；（）由题意可得当 时，不等式 f（x ）|2x+1|恒成立即有（x2）maxa（x+ 2） min求得不等式两边的最值，即可得到 a 的范围【解答】解：（ I）当 a=1 时，f（x
38、 ）=|x1|+|2x1|，f （x）2|x1|+|2x1|2，上述不等式可化为 或 或解得 或 或 （3 分） 或 或 ，原不等式的解集为 （5 分）（ II）f（x）|2x+1|的解集包含 ，当 时，不等式 f（x ）|2x+1|恒成立，（6 分）即|xa|+|2x1|2x+1|在 上恒成立，|xa|+2x12x+1，即|xa|2，2xa2，x2ax+2 在 上恒成立，（8 分）（x2） maxa （x +2） min， ，所以实数 a 的取值范围是 （10 分）【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用绝对值的意义，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和转化思想，求函数的最值，
39、考查运算能力，属于中档题附加题（不计入总分）24 （2016 秋 长泰县校级期中）如图四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，ACB=90， PA平面 ABCD，PA=BC=1，AB= ，F 是 BC 的中点（）求证：DA 平面 PAC（）PD 的中点为 G，求证： CG平面 PAF（）求三棱锥 ACDG 的体积【分析】 （）推导出ACB= DAC=90 ，PADA，AC DA ，由此能证明 DA平面 PAC（）PD 的中点为 G，在平面 PAD 内作 GHPA 于 H，连接 FH，则四边形 FCGH 为平行四边形，由此能证明 CG平面 PAF（）由 VACDG=VGACD，能求
40、出三棱锥 ACDG 的体积【解答】证明：（）四边形是平行四边形，ACB=DAC=90，PA 平面 ABCD，PADA，又 ACDA，ACPA=A，DA平面 PAC （4 分）（）PD 的中点为 G，在平面 PAD 内作 GHPA 于 H，则 GH 平行且等于 AD，连接 FH，则四边形 FCGH 为平行四边形，（6 分）GCFH，FH平面 PAE，CG 平面 PAE，CG平面 PAF （8 分）解：（）设 S 为 AD 的中点，连结 GS，则 GS 平行且等于 PA= ，PA 平面 ABCD，GS平面 ABCD，三棱锥 ACDG 的体积 VACDG=VGACD= = = （12 分）【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养2017 年 2 月 14 日
