1、2017 届湖北省孝感市高三（上）期中数学试卷（理科）(解析版)一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若复数 z 满足（1z）（ 1+2i）=i，则在复平面内表示复数 z 的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2函数 的定义域是（ ）A B CD0，+）3若 ，则 cos2+2sin2=（ ）A B1 C D（0，0，1）4已知双曲线 C： =1 的离心率等于 ，且点 在双曲线 C 上，则双曲线 C 的方程为（ ）A B C D5某程序框图如图所示，若输入输出的 n 分别为 3 和 1，则在
2、图中空白的判断框中应填入的条件可以为（ ）Ai7？ Bi7？ Ci6？ Di6？6设 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aa b c Bacb Cb ac Dcba7一个样本容量为 8 的样本数据，它们按一定顺序排列可以构成一个公差不为0 的等差数列a n，若 a3=5，且 a1，a 2，a 5 成等比数列，则此样本数据的中位数是（ ）A6 B7 C8 D98若曲线 y=ln（x+a）的一条切线为 y=ex+b，其中 a，b 为正实数，则 a+ 的取值范围是（ ）A B e，+） C2，+） D2，e）9已知二项式 的展开式中 x3 的系数为 ，则 dx 的值为（ ）A B C D10将函数
3、 f（x ）= 的图象向左平移 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象关于 x= 对称，则|的最小值为（ ）A B C D11记不等式组 表示的平面区域为 D，过区域 D 中任意一点 P 作圆x2+y2=1 的两条切线，切点分别为 A，B ，则当APB 的最大时，cosAPB 为（ ）A B C D12定义域在 R 上的奇函数 f（x），当 x0 时，f （x）=，则关于 x 的方程 f（x）a=0 （0a 1）所有根之和为1 ，则实数 a 的值为（ ）A B C D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13已知
4、两向量 与 满足| |=4，| |=2，且（ +2 ） （ + ）=12 ，则 与的夹角为 14九章算术中有一个“两鼠穿墙”问题：“ 今有垣（墙，读音）厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）问何日相逢，各穿几何？”在两鼠“相逢 ”时，大鼠与小鼠 “穿墙”的“进度” 之比是 ： 15在锐角ABC 中，已知 ，其面积 ，则ABC 的外接圆面积为 16设 Sn 为数列a n的前 n 项和，且满足 ，则 a2= ；S 1+S3+S5+S2017= 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
5、算步骤.）17（12 分）设正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足S3=3a3+2a2，a 4=8（）求数列a n的通项公式；（）设数列 bn=log2an，求 |bn|的前 n 项和 Tn18（12 分）某学校用“10 分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取 16 名，以下茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（）若教学满意度不低于 9.5 分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”求从这 16 人中随机选取 3 人，至少有 1 人是“极满意”的概率；（）以这 16 人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若
6、从该校所有学生中（学生人数很多）任选 3 人，记 X 表示抽到“极满意”的人数，求 X 的分布列及数学期望19（12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面为直角梯形，ADBC，AD=2BC=2，BC DC，BAD=60，平面 PAD底面 ABCD，E 为 AD 的中点，PAD 为正三角形，M 是棱 PC 上的一点（异于端点）（）若 M 为 PC 中点，求证：PA平面 BME；（）是否存在点 M，使二面角 MBED 的大小为 30若存在，求出点 M 的位置；若不存在，说明理由20（12 分）椭圆 C： 的左、右焦点分别为 F1，F 2，离心率 e= ，过 F2 作 x 轴垂直的直线交椭圆 C 于
7、 A、B 两点，F 1AB 的面积为 3，抛物线 E：y 2=2px（p0）以椭圆 C 的右焦点 F2 为焦点（）求抛物线 E 的方程；（）如图，点 为抛物线 E 的准线上一点，过点 P 作 y 轴的垂线交抛物线于点 M，连接 PO 并延长交抛物线于点 N，求证：直线 MN 过定点21（12 分）已知函数 f（x ）=ax 3+x，g （x ）=x 2+px+q（）若函数 f（x）在 x=1 处取得极值，求实数 a 的值；（）在（）的条件下，函数 F（x ）=f（x）g（ x）（其中 f（x）为函数f（x）的导数）的图象关于直线 x=1 对称，求函数 F（x）单调区间；（）在（）的条件下，若对
8、任意的 x1，都有 g（x）（6+）x lnx+3 恒成立，求实数 的取值范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为： 24 （）将极坐标方程化为普通方程；（）若点 P（x ，y）在圆 C 上，求 x+ y 的取值范围选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=|2x+1 |+|2x3|（）解方程 f（x）4=0 ；（）若关于 x 的不等式 f（x）a 解集为空集，求实数 a 的取值范围2017 届湖北省孝感市高三（上）期中数学试卷（
9、理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若复数 z 满足（1z）（ 1+2i）=i，则在复平面内表示复数 z 的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数，求出对应点的坐标即可【解答】解：复数 z 满足（ 1z）（1+2i）=i，可得 1z= = = ，z= ，复数的对应点的坐标（ ， ）在第四象限故选：D【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，考查计算能力2函数 的定义域是（ ）A B C
10、D0，+）【考点】函数的定义域及其求法【分析】由对数函数的性质得到关于 x 的不等式组，解出即可【解答】解：由题意得：，解得：x 且 x0 ，故选：B【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题3若 ，则 cos2+2sin2=（ ）A B1 C D（0，0，1）【考点】三角函数的化简求值【分析】原式利用同角三角函数间的基本关系变形，将 tan的值代入计算即可求出值【解答】解：由 ，得=3，解得 tan= ，所以 cos2+2sin2= = = = 故选 A【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键4已知双曲线 C： =1 的离心率等
11、于 ，且点 在双曲线 C 上，则双曲线 C 的方程为（ ）A B C D【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线 C： =1 的离心率等于 ，且点 在双曲线C 上，知 ，由此能求出双曲线 C 的标准方程【解答】解：双曲线 C： =1 的离心率等于 ，且点 在双曲线 C 上， ，解得：a 2=4，b 2=1，双曲线 C 的标准方程为 =1故选 D【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线的简单性质的灵活运用5某程序框图如图所示，若输入输出的 n 分别为 3 和 1，则在图中空白的判断框中应填入的条件可以为（ ）Ai7？ Bi7？ Ci6？ Di6？【考点】程序
12、框图【分析】由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得i=0，n=3满足条件 n 为奇数，n=10，i=1，不满足条件，不满足条件 n 为奇数，n=5，i=2不满足条件，满足条件 n 为奇数，n=16，i=3不满足条件，不满足条件 n 为奇数，n=8，i=4不满足条件，不满足条件 n 为奇数，n=4，i=5不满足条件，不满足条件 n 为奇数，n=2，i=6不满足条件，不满足条件 n 为奇数，n=1，i=7由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出 n 的值为 1故在图中空
13、白的判断框中应填入的条件可以为 i7？故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题6设 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aa b c Bacb Cb ac Dcba【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解【解答】解： ，2016 0=1，0=log20161b= = ，c= = ，a b c a， b，c 的大小关系为 abc故选：A【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用7一个样本容量为 8 的样本数据，它们按一定顺序排列可以构成一个公差
14、不为0 的等差数列a n，若 a3=5，且 a1，a 2，a 5 成等比数列，则此样本数据的中位数是（ ）A6 B7 C8 D9【考点】众数、中位数、平均数【分析】设公差为 d，则（5 d） 2=（5 2d）（5+ 2d），由公差 d 不为 0，解得d=2，a 1=52d=1，由此能求出此样本数据的中位数【解答】解：一个样本容量为 8 的样本数据，它们按一定顺序排列可以构成一个公差不为 0 的等差数列a n，a3=5，且 a1，a 2，a 5 成等比数列，设公差为 d，则 ，即（5d） 2=（52d）（5+2d），又公差 d 不为 0，解得 d=2，a 1=52d=1，此样本数据的中位数是：
15、= =8故答案为：8【点评】本题考查样本数据的中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、中位数性质的合理运用8若曲线 y=ln（x+a）的一条切线为 y=ex+b，其中 a，b 为正实数，则 a+ 的取值范围是（ ）A B e，+） C2，+） D2，e）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设切点为（m，n ），根据导数几何意义列出方程有 ，得到 b=ae2，从而进一步求解即可【解答】解：设切点为（m，n ），则有 b=ae2；b0，a所以，a+ =a+ 2；故选：C【点评】本题主要考查了导数几何意义、切线方程，以及基本不等式应用，属中档题9已知二项式 的展开式中 x3
16、 的系数为 ，则 dx 的值为（ ）A B C D【考点】二项式系数的性质【分析】根据二项式展开式的通项公式，令展开式中 x 的指数为 3 求出 r 的值，写出 x3 的系数，求得 a 的值，计算 dx 的值【解答】解：二项式 展开式的通项公式为：Tr+1= x9r = x92r，令 92r=3，解得 r=3；所以展开式中 x3 的系数为： = ，解得 a=1；所以 dx= （x ）dx= （ x2lnx） =（ e21）（ 0）= 故选：B【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题10将函数 f（x ）= 的图象向左平移 个单位，再将图象上各点的
17、横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象关于 x= 对称，则|的最小值为（ ）A B C D【考点】函数 y=Asin（x+ ）的图象变换【分析】利用函数 y=Asin（x+ ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得|的最小值【解答】解：将函数 f（x ）= 的图象向左平移 个单位，可得 y=sin2（x + ）+ = sin（2x + +）的图象；再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），可得 y= sin（x+）的图象根据所得图象关于 x= 对称，可得 +=k+ ，即 =k ，故|的最小值为 ，故选：B【点评】本题主要考查函数 y=Asin（x+ ）的图象变
18、换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题11记不等式组 表示的平面区域为 D，过区域 D 中任意一点 P 作圆x2+y2=1 的两条切线，切点分别为 A，B ，则当APB 的最大时，cosAPB 为（ ）A B C D【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当PAB 最大时点 P 的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可求出结论【解答】解：作出不等式组 表示的平面区域 D，如图所示，要使APB 最大，则OPB 最大，sin OPB= = ，只要 OP 最小即可则 P 到圆心的距离最小即可，由图象可知当 OP 垂直直线 3x+4y10=0，此时|OP |= = =
19、2，|OA|=1，设APB=，则APO= ，即 sin = = ，此时 cos=12sin2 =12（ ） 2=1 = ，即 cosAPB= 故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式12定义域在 R 上的奇函数 f（x），当 x0 时，f （x）=，则关于 x 的方程 f（x）a=0 （0a 1）所有根之和为1 ，则实数 a 的值为（ ）A B C D【考点】函数奇偶性的性质【分析】由题意，作函数 y=f（x ）与 y=a 的图象，从而可得x1+x2=6，x 4+x5=6，x 3=12a，从而解得【解答】解：由题意，作函数 y=f（
20、x ）与 y=a 的图象如下，结合图象，设函数 F（x）=f（x）a（ 0a 1）的零点分别为x1， x2， x3，x 4，x 5，则 x1+x2=6，x 4+x5=6，log0.5（ x3+1）=a，x3=12a，故 x1+x2+x3+x4+x5=6+6+12a=12a，关于 x 的方程 f（x）a=0（0a1）所有根之和为 1 ，a= 故选 B【点评】本题考查了数形结合的思想应用及函数的性质应用，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13已知两向量 与 满足| |=4，| |=2，且（ +2 ） （ + ）=12 ，则 与的夹角为 【
21、考点】平面向量数量积的运算【分析】根据 ，进行数量积的运算，便可由求出 的值，进而求出向量 的夹角【解答】解：根据条件：= ； ；又 ； 与 的夹角为 故答案为： 【点评】本题考查数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角14九章算术中有一个“两鼠穿墙”问题：“ 今有垣（墙，读音）厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）问何日相逢，各穿几何？”在两鼠“相逢 ”时，大鼠与小鼠 “穿墙”的“进度” 之比是 59 ： 26 【考点】等差数列的前 n 项和；等比数列的前 n 项和【分析】第一天的时候，大鼠打了
22、1 尺，小鼠 1 尺；第二天的时候，大鼠打了2 尺，小鼠打了 尺；第三天设大鼠打了 X 尺，小鼠则打了（0.5X ）尺，则X4=（ 0.5x） ，由此能求出大鼠与小鼠“ 穿墙”的“ 进度”之比【解答】解：第一天的时候，大鼠打了 1 尺，小鼠 1 尺，一共 2 尺，还剩 3 尺；第二天的时候，大鼠打了 2 尺，小鼠打了 尺，这一天一共打了 2.5 尺，两天一共打了 4.5 尺，还剩 0.5 尺第三天按道理来说大鼠打 4 尺，小鼠 尺，可是现在只剩 0.5 尺没有打通了，所以在第三天肯定可以打通我们现在设大鼠打了 X 尺，小鼠则打了（0.5 X）尺则打洞时间相等：X4=（ 0.5x）解方程得 X=
23、 ，所以大鼠在第三天打了 8/17 尺，小鼠打了 0.5 = 尺所以三天总的来说：大鼠打了 3+ = 尺，小鼠打了 5 尺，大鼠与小鼠“ 穿墙” 的“进度”之比是 59：26故答案为：59，26【点评】本题考查等差数列与等比数列在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用15在锐角ABC 中，已知 ，其面积 ，则ABC 的外接圆面积为 【考点】正弦定理【分析】由题意和三角形的面积公式求出 sinB，由锐角三角形的条件和平方关系求出 cosB，由余弦定理求出 AC，由正弦定理求出ABC 的外接圆的半径，代入圆的面积公式求出答案【解答】解： ，其面积
24、， ，则 ，得 sinB= ，ABC 是锐角三角形，cosB= = ，由余弦定理得，AC 2=AB2+BC22ABBCcosB=12+9 =9，则 AC=3， = ，则ABC 的外接圆半径是 ，ABC 的外接圆面积 S= = ，故答案为： 【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，以及三角形的面积公式，考查化简、变形能力16设 Sn 为数列a n的前 n 项和，且满足 ，则 a2= ；S 1+S3+S5+S2017= 【考点】数列的求和【分析】由 ，当 n=1 时，可得 a1=a1 ，可得 a1= 当n2 时，a n=SnSn1=（1） nan （1） n1an1+ ，a 3=a3 +a
25、2+ 若 n 为偶数，则 an1= ，因此 n 为正奇数，a n= ，可得a3= ，a 2n=2k1（kN *），S n=S2k1=an 可得S1+S3+S5+S2017=（a 1+a3+a2017） ，代入利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：由 ，当 n=1 时，可得 a1=a1 ，可得 a1= 当 n2 时，a n=SnSn1=（ 1） nan （1） n1an1+ ，a 3=a3 +a2+ 若 n 为偶数，则 an1= ，因此 n 为正奇数，a n= ，可得 a3= ，a 2= n=2k1（k N*），S n=S2k1=an ，S 1+S3+S5+S2017=（a 1+a3+a20
26、17）= = = 故答案为： 【点评】本题考查了等比数列通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12 分）（2016 秋孝感期中）设正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 S3=3a3+2a2，a 4=8（）求数列a n的通项公式；（）设数列 bn=log2an，求 |bn|的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和【分析】（）设正项等比数列a n的公比为 q，则 q0，根据已知条件和等比数列的通项公式求得 q 的值，则 an=a4qn4；（）由 bn=
27、|log2an|，a n=2n7，知 bn=|log22n7|=|n7|，由此能求出数列b n的前 n 项和【解答】解：（） 设正项等比数列a n的公比为 q，则 q0由已知 S3=3a3+2a2 有 2a3+a2a1=0，即 ，2q 2+q1=0 故 或 q=1（舍） ；（）由（）知：b n=7n 故当 n7 时，b n0当 n7 时，当 n7 时，T n=b1+b2+b7（b 8+b9+bn）=2（b 1+b2+b7） （b 1+b2+bn）= +42，T n= 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前 n 项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用18（
28、12 分）（2016 秋孝感期中）某学校用“10 分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取 16 名，以下茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（）若教学满意度不低于 9.5 分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”求从这 16 人中随机选取 3 人，至少有 1 人是“极满意”的概率；（）以这 16 人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中（学生人数很多）任选 3 人，记 X 表示抽到“极满意”的人数，求 X 的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列【分析】
29、（）设 Ai 表示所取得人中有 i 个人是“极满意 ”，至少有一人是“极满意”记为事件 A，利用古典概率计算公式与相互对立事件的概率计算公式即可得出（II）X 的可能取值为 0，1，2，3，由已知得 ，即可得出【解答】解：（）设 Ai 表示所取得人中有 i 个人是 “极满意” ，至少有一人是“极满意”记为事件 A，则 （）X 的可能取值为 0，1，2，3，由已知得 ， ， X 的分布列为：X 0 1 2 3P 【点评】本题考查了古典概率计算公式与相互对立事件的概率计算公式、二项分布列的计算公式与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12 分）（2016 秋孝感期中）如图，四棱锥
30、PABCD 的底面为直角梯形，ADBC，AD=2BC=2，BC DC，BAD=60，平面 PAD底面 ABCD，E 为 AD 的中点，PAD 为正三角形，M 是棱 PC 上的一点（异于端点）（）若 M 为 PC 中点，求证：PA平面 BME；（）是否存在点 M，使二面角 MBED 的大小为 30若存在，求出点 M 的位置；若不存在，说明理由【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）连接 AC 交 BE 与点 F，连接 CE，推导出四边形 ABCE 为平行四边形，从而 MFPA，由此能证明 PA平面 BME（）连接 PE，以 E 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，利用向量
31、法能求出存在点 M 满足条件，且 M 为棱 PC 上靠近端点 C 的四等分点【解答】证明：（）如图，连接 AC 交 BE 与点 F，连接 CE，由题意知 BC AE 且 BC=AE，故四边形 ABCE 为平行四边形，F 为 AC 中点，在PAC 中，又由 M 为 PC 中点有：MFPA，又 MF面 BME，PA 面 BME，PA 平面 BME解：（）连接 PE，则由题意知 PE平面 ABCD，故以 E 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则 ，设 ，则 ， ，记平面 DBE 的法向量 =（0，0，1），平面 BME 的法向量 =（x，y，z），则由 ，有令 ，得 =（0， ， ），又由二面角
32、 MBED 的大小为 30，得 = =cos30= ，解得 ，故存在点 M 满足，且 M 为棱 PC 上靠近端点 C 的四等分点【点评】本题考查线面平行的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20（12 分）（2016 秋孝感期中）椭圆 C： 的左、右焦点分别为 F1，F 2，离心率 e= ，过 F2 作 x 轴垂直的直线交椭圆 C 于 A、B 两点，F 1AB 的面积为 3，抛物线 E：y 2=2px（p0）以椭圆 C 的右焦点 F2 为焦点（）求抛物线 E 的方程；（）如图，点 为抛物线 E 的准线上一点，过点 P 作 y 轴的垂线交抛
33、物线于点 M，连接 PO 并延长交抛物线于点 N，求证：直线 MN 过定点【考点】椭圆的简单性质【分析】（）设 F2（c，0），由椭圆离心率及隐含条件把椭圆方程用含有 c的式子表示，求出 A 的纵坐标，代入三角形面积公式求得 c，则抛物线方程可求；（）由（）可得 M 坐标，写出直线 PO 的方程，与抛物线方程联立可得 N的坐标，当 t24 时，写出 MN 所在直线方程，化简后说明直线 MN 过定点（1，0），当 t2=4 时，直线 MN 的方称为：x=1，此时仍过点（1，0）【解答】（）解：设 F2（c，0）（c 0），由 ，有 ，椭圆 C 的方程为： ，令 x=c，代入 C 的方程有： ，
34、，c=1，故 ，即 p=2抛物线 E 的方称为：y 2=4x；（）证明：由（）知：P（1，t）（t0 ），则 ，直线 PO 的方程为 y=tx，代入抛物线 E 的方程有： ，当 t24 时， ，直线 MN 的方程为： ，即 ，此时直线 MN 过定点（1，0），当 t2=4 时，直线 MN 的方称为：x=1，此时仍过点（1，0）直线 MN 过定点（1，0）【点评】本题考查椭圆与抛物线的简单性质，考查了椭圆与抛物线故选的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题21（12 分）（2016 秋孝感期中）已知函数 f（ x）=ax 3+x，g（x）=x 2+px+q（）若函数 f（x）在 x=1 处
35、取得极值，求实数 a 的值；（）在（）的条件下，函数 F（x ）=f（x）g（ x）（其中 f（x）为函数f（x）的导数）的图象关于直线 x=1 对称，求函数 F（x）单调区间；（）在（）的条件下，若对任意的 x1，都有 g（x）（6+）x lnx+3 恒成立，求实数 的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，得到 f（1）=0 ，求出 a 的值即可；（）根据函数的奇偶性求出 p，q 的值，求出 F（x ）的解析式，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间即可；（）问题转化为 （xlnx）x 22x 在 x1，+）上恒成立，得到在 x1，+）上
36、恒成立，令 ，根据函数的单调性求出 的范围即可【解答】解：（）由 f（x ）=ax 3+x 有 f（x）=3ax 2+1因为 f（ x）在 x=1 处取得极值，故 f（1）=3a+1=0经检验：当 时，符合题意，故（）由（）知：F（x）=（x 2+1）（x 2+px+q）F（x）的图象关于直线 x=1 对称，故函数 F（x1）为偶函数又 F（x1）=（x 1） 2+1（x1） 2+p（x1）+q =x4+（4p）x 3+（3pq5）x2+2（1p+q）x ，解得 p=4，q=3F（x）=（ x2+1）（x 2+4x+3）F （ x）= 2x（x 2+4x+3）+（x 2+1）（2x+4）= 4
37、（x +1）（x 2+2x1）令 F（ x）0 有 或令 F（ x）0 有 或函数 F（x）在区间 上单调递增，在区间 上单调递减（）由（）知，对任意的 x1，都有 g（x ）（6+）x lnx+3 恒成立，可转化为 （xlnx ）x 22x 在 x1，+）上恒成立易知 lnxx 在 x1，+）上恒成立令 ，令 h（x）=x+ 22lnx（x1），h（x）在（1，2）上递减，（2，+）上递增h（x） min=h（2）=42ln20（x）0 ，即 （x ）在1，+）上递增（x） min=（1）=11【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题请考生在
38、 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）（2016 秋孝感期中）在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为： 24 （）将极坐标方程化为普通方程；（）若点 P（x ，y）在圆 C 上，求 x+ y 的取值范围【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（）先展开，再根据 2=x2+y2，x=cos ，y=sin ，即可将极坐标方程化为普通方程；（）由（）知圆的参数方程为 ， 为参数，即可求 x+ y 的取值范围【解答】解：（）由 有，即 ， 2=x2+y2，x=cos，y=sin 代入上式有圆 C
39、的普通方程为：x 2+y24x4y+7=0；（）由（）知圆的参数方程为 ， 为参数 的取值范围为 【点评】本题考查极坐标方程化为普通方程，考查利用参数方程求 x+ y 的取值范围，属于中档题选修 4-5：不等式选讲23（2016 秋 孝感期中）已知函数 f（x）= |2x+1|+|2x3|（）解方程 f（x）4=0 ；（）若关于 x 的不等式 f（x）a 解集为空集，求实数 a 的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的各个范围内的不等式组，解出取并集即可；（）问题转化为 af（x ） min，根据绝对值的性质求出 f（x）的最小值，从而求出 a 的范围即可【解答】解：（）由原方程等价于 或 或解得： 或 或 即方程 f（x ）4=0 的解为（）关于 x 的不等式 f（x）a 解集为空集，a f（x） min又f（ x）= |2x+1|+|2x3|2x +1|2x3|=4a 4 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及转化思想，是一道中档题
