1、2017 届宁夏六盘山高级中学高三（上）期中数学（理）试题一、选择题1已知集合 ， ，则 （ 2|60,AxxR|4,BxZAB）A. B. 0,2,C. D.012【答案】D【解析】试题分析： , ，所以 .3A,6BxZ0,12AB【考点】集合交集，一元二次不等式.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关
2、系.在求交集时注意区间端点的取舍.熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2下列函数 fx中，满足“对任意的 ，当 时，都有12,0,x12x”的是（ ）12fxA. B. sinfxC. D.xfel1【答案】A【解析】试题分析：依题意可知函数为 上的减函数，B，C，D 都是增函数，故0,选 A.【考点】函数的单调性.3若 ， ， ，则（ ）102alog3b2lsin5cA. B. cabC. D.【答案】B【解析】试题分析：由于 ，所以 .1,0,cabc【考点】比较大小.4已知 ， ，则 （ ）sinco2,tnA.-1 B. 2C. D.12【答案】A【解析】试题分析：由 ，解得 ，所
3、以22sincos122sin,cos.tan1【考点】三角恒等变换.5对任意的实数 ，若 表示不超过 的最大整数，则 是xx1xy“”的（ ）xy“”A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：取 ，但不满足 ，故05,1.2,1xyxyxy“”不能推出 .反之，若 ，则有1xy“”“”“”，故为必要不充分条件.【考点】充要条件.6已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴正半轴重合，始边在直线 上，则x2yx的值是（ ）cos2A. B. 4535C. D.34【答案】C【解析】试题分析：依题意可知 ，所以 .tan221tan3co
4、s5【考点】三角恒等变换.7在 中， ， ， ，则 （ ）ABC4AB3CsiBACA. B. 10105C. D.53【答案】D【解析】试题分析：由余弦定理得 .由正弦定2923cos5,4bb理得 ，解得 .35sinsi4BAC10sinBAC【考点】解三角形.8已知 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且fxgR，则 （ ）321f1fgA.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】C【解析】试题分析： ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，所以fxgR，故 .231,fxg1f【考点】函数的奇偶性.9已知命题 ，若 是真命题，则实数 a的取值范围是200:,pxRaxp（ ）A. B.
5、 0,4,4C. D.,0,【答案】A【解析】试题分析： 是真命题， ，所以p2:,0pxRax，解得 .240a,4a【考点】全称命题与特称命题.10如图曲线 和直线 ， ， 所围成的图形（如图所示）的面积2yx01x4y为（ ）A. B. 2313C. D.14【答案】D【解析】试题分析：令 ，所以面积为21,4x.112204xdd【考点】定积分.【思路点晴】本题主要考查利用定积分计算曲边图形的面积.由于阴影部分面积主要是有函数 和 所围成.两个函数图象有一个交点，所以先联立这两个函数，求2yx14出交点的横坐标为 ，这样就将图象分成两个部分，第一个部分是 ，此时10,2x的图象在 的上
6、方，第二个部分是 ，此时函数 图象在14y2yx1,2xy上方，由此得到面积的表达式为 .11220 144dxd11若 在 是减函数，则 的取值范围是（ ）21lnfxmx,mA. B. 1,1C. D.,【答案】C【解析】试题分析： ， ，所以 . 0mfx2x1m【考点】导数与单调性.【思路点晴】本题主要考查函数导数与单调性，恒成立问题分离常数法.含参数的不等式 ()fxg恒成立、有解、无解的处理方法： ()yfx的图象和 ()ygx图象特点考考虑；构造函数法，一般构造 ()Fxfg，转化为 F的最值处理；参变分离法，将不等式等价变形为 ah，或 ()x，进而转化为求函数()hx的最值.
7、12对二次函数 （ 为非零整数） ，四位同学分别给出下列结论，2fxbc其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A.-1 是 的零点 B.1 是 fx的极值点fC.3 是 x的极值 D.点 在曲线 上2,8yfx【答案】A【解析】试题分析：若 是极值点， 是极值，点 在曲线上，则有13,，解得 ，此时 ，函数没有零点，故2138fxa5a2513fxA 错误.【考点】零点与极值点.二、填空题13如图，勘探队员朝一座山行进，在前后两处观察山顶的仰角是 30 度和 45 度，两个观察点之间的距离是 ，则此山的高度为 （用根式表示）.20【答案】 103【解析】试题分析：由正限定理有 ，解
8、得 .20sin3i15h103h【考点】解三角形.14已知指数函数 yfx，对数函数 和幂函数 的图形都过ygxyx，如果 ，那么 .1,2P1f234gh123【答案】 3【解析】试题分析：设 ，代入 得,log,xbfaxh1,2P，解得 ，所以121,log2,ba24,，所以 ，和为 .124,l,xf xh1231,4xx2【考点】指数函数与幂函数.15将函数 的图象向左平移 个单位后，得到的图象对应的sin3yx0函数 为奇函数，则 的最小值为 .fx【答案】 6【解析】试题分析：左移 得到 ，是奇函数，故sin23yx，最小值为 .2,326k6【考点】三角函数图象与性质.【思
9、路点晴】本题主要考查三角函数图象与性质，考查三角函数的奇偶性.第一部分考查三角函数图象变换，根据左加右减，图象向左平移 个单位，即，此时由于函数为奇函数，根据三角函数诱导公式奇变偶不变，sin23yx符号看象限可知， ，由于 是正数，所以 的最小值为 .,26k616已知函数 ，对函数 ，定义 关于 的yfxRygxIgxf“对称函数”为 ， 满足：对任意 ，两个点 ，hIh,h关于点 对称，若 是 关于 的,xg,xfx24x3fxb“对称函数” ，且 恒成立，则实数 的取值范围是 .gb【答案】 210,【解析】试题分析：根据对称函数的定义可知 ，即243hxxb， 恒成立，等价于 恒成立
10、.264hxbxhg2为直线， 为圆的上半部分，由直线在圆的上方，若直线和圆相3yy切，由圆心到直线的距离 ，所以 .2,1013bd210,b【考点】新定义函数.【思路点晴】本题考查新定义函数的性质.根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系来求解.新定义函数本质上是两个函数图象关于第三个函数图象对称，等价于两个函数的中点在第三个函数的图象上，由此可以根据已知的两个函数，求出第三个函数的解析式.求得解析式后，令 ，等价变形为hxg，利用直线和圆的位置关系即可求解.234xbx三、解答题17已知函数 .4sinco3fxx（1）求函数 的最小正周期.f（2）求函数 fx在区间
11、上的最大值及取得最大值时相应 x的值.,46【答案】 （1） ；（2） 时， .1max2f【解析】试题分析：（1）利用两角和的余弦公式和降次公式，化简，故周期为 ；（2）根据 求得sin3fxx46x，故 ， ，当 ，261sin13x2f32x即 时， .1xmaxf试题解析：（1） 4sincosin33f x22sicixx，所以in3T（2） ，4623x，1sin13x f当 ，即 时， 22max2f【考点】三角恒等变换，三角函数值域.18在 中，角 所对的边分别是 ，已知ABC, ,bc.cos3sinco0B（1）求角 的大小.（2）若 ，求 的取值范围.1ab【答案】 （1
12、） ；（2） .31【解析】试题分析：（1）利用三角形内角和定理，化简得 ，所以 ；（2）由余弦定理cossinco0CABtan3B，求得 ，所以 ， .22ba2214b1b1试题解析：（1）由已知得： ，cos3sinco0CAB即有 .sin3sinco0AB， .0B又 ， .costa又 ， .B3（2）由余弦定理： 22cosbaB， 1cos， ，a2214又 ， ，即： .024b b【考点】解三角形.19已知函数 ，曲线 在点 处的切线24xfeaxyfx0,f方程为 .4y（1）求 的值.,ab（2）讨论 的单调性，并求 fx的极大值.fx【答案】 （1） ；（2） .4
13、,241e【解析】试题分析：（1）利用切点为 ，斜率为 ，利用导数列方程组，解得0,4；（2） ，由此求得函数在 ，4,ab42xfxe ,2上单调递增，在 上单调递减，当 时，函数 取得极ln,lnxfx大值，极大值为 .241fe试题解析：（1）因为 424xxxfabeabx由已知得 ， ，04f故 ,baba（2）有（1）知 2414xfex12x xfee 令 ，得 或0fx ln2x当 时， ，,0f当 时， ，2lxfx故 在 ， 上单调递增，在 上单调递减f,ln2,2,ln当 时，函数 取得极大值，极大值为xfx241fe【考点】导数与切线、极值.20函数 在一个周期内的图象
14、如图所示， 为图3cosin0f xA象的最高点， 为图象与 轴的交点，且 为正三角形.,BCABC（1）求函数 的值域及 的值.fx（2）若 ，且 ，求 的值.0835f012,301fx【答案】 （1） ，值域为 ；（2） .4,765【解析】试题分析：（1）化简 ，所以3sin23,fxx，等边三角形高为 ，故边长为 ，即 ；23A2A4,84TT（2） ，将 代入上式化简得sin43fxx035fx， ，故0sin4350co5，展开后求得函数值为 .0012sin43fxx765试题解析：（1）由已知可得 cosin23sifxxx所以函数 的值域为 .fx23,因为正三角形 的高为
15、 ，所以 ，ABC4BC则函数 的周期 ，所以 .fx8T（2） ，035f由（1）有： 00832sin45fxx又 ，0sin435 012,则 ，0,2x03cos45x故 0013sinf02si4x003incossin3434x427655【考点】三角函数图象与性质.【方法点晴】本题主要考查三角函数图象与性质，考查三角恒等变换.第一步先利用辅助角公式，化简 ，这样值域就求出来了，23sin23,fxx并且可以知道 ，根据三角形为等边三角形可以知道 是这个等边三角形的高，AA由此可求得等边三角形边长为 .第二问主要利用 ，400434xx将要求的角转化为已知角来求.求解过程注意三角函
16、数的取值.21已知函数 ， gxk， .ln1fxR（1）证明：当 时， ；0f（2）证明：当 时，存在 ，使得对任意的 ，恒有 .k0x0,xfxg【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）构造函数 ，利用导数求得ln1Fxfxx函数 在 上单调递减，故当 时， ，即当 时Fx0,00F0；（2）构造函数 ，flGxfgxkx，对 分成 两类，讨论 的单调11kGx k0,1G区间，得到存在 ，使得对任意的 ，恒有 .00,xfxg试题解析：（1）令 ， ，则有ln1Fxfx,1当 时， ，所以 在 上单调递减，0,x0x Fx0,故当 时， ，即当 时 .Ffx
17、（2）令 ， ，ln1Gxfgxkx,则有 1k当 时， ，故 在 单调递增， ，0k0x Gx0,0Gx故对任意正实数 均满足题意当 时，令 ，得 ，取 ，对任意1k=x 10k1xk，有 ，从而 在 单调递增，所以 ，0,x0G x, 0G即 .fgx综上，当 时，总存在 ，使得对任意 ，恒有 .1k0x0,xfxg【考点】函数导数与不等式.【方法点晴】本题主要考查构造函数法证明不等式，考查含参数问题分类讨论的数学思想方法.第一问要证明 ，我们只需构造函数fx，注意到 ，只需利用导数，证明函数ln1Fxf0F是单调递减的即可.第二问同样构造函数 ，ln1Gxfgxkx由于函数的导数含有参数
18、，所以要对参数进行分类讨论.22选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直C1x角坐标系，直线 的参数方程为 ， （ 为参数）.l 23xty（1）求直线 与曲线 的直角坐标方程.lC（2）设曲线 经过伸缩变换 得到曲线 ，设曲线 C 上任一点为 ，2xy ,Mxy求 的最大值.3xy【答案】 （1） 与 ；（2） .23x21xy4【解析】试题分析：（1） 两边平方后可的圆的方程为 ；直线参数方21xy程利用加减消元法消去参数得 ；（2）将 代入 得3yxy2，化为参数方程得 ，所以214xycosiny，故最大值为 .3cos23i
19、4si64试题解析：（1）直线 的方程为： 30xy，曲线 的直角坐标方程为：l C2xy（2）因为 ，所以 ，代入 得2x 2xy 214xy :设椭圆的参数方程为 ， （ 为参数） ，cosin则 23s23i4si6xy所以 得最大值为 4.【考点】坐标系与参数方程.23选修 4-5：不等式选讲已知函数 ，不等式 的解集为 .13fxxmR5fx4,2（1）求 的值.m（2）实数 满足 ，求证： .,abc249cm14abc【答案】 （1） ；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）不等式的解集中， 是方程 的两个根，代入求4,25fx得 ；m（2）由（1）知 ，利用柯西不等式，2149bca有 ，得证.2 22 233149bcbc a试题解析：（1）由函数、方程、不等式的关系可知 和 是方程 的根，4x5fx所以 ，解得：45f1m（2）由（1）知， ，249bca所以 2 22 21313149bcbc a所以： .4a【考点】不等式选讲.
