1、2015-2016 学年河南省郑州市登封市高三(上)期中数学试卷(文科)一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合 A=x|y= ,且 BA,则集合 B 可能是( )A1 ,2 ,3 Bx|1x1 C 2,2 DR2如图所示,在复平面内,点 A 对应的复数为 z,则 z=( )A1 2i B1+2i C2 i D 2+i3命题“x(0,+) ,2 x1” 的否定是( )Ax 0(0,+) , 1 B x0(0,+) , 1C x(0,+) ,2 x1 Dx(0 ,+) ,2 x14已知函数 f(x)在点 P(1,m)处的切线方
2、程为 y=2x1,函数 f(x)的导数为 f(x) ,则 f(1) ,与 f(1)的大小关系是( )Af (1)=f(1) Bf(1)f(1) Cf(1)f(1) D无法判断5函数 f(x)的导数为题 f(x)若函数在区间 f(x )在区间(a,b)内无极值点,则 f( x)在区间(a,b )内无零点命题 P 的逆命题,否命题,逆否命题中,正确的个数是( )A0 B1 C2 D36已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( )y=f(|x|) ;y=f(x) ;y=xf (x) ;y=f (x)+xA B C D7已知数列a n满足 a1=2,a 2=3,a n+2
3、=|an+1an|,则 a2015=( )A1 B2 C3 D08设 a 是第三象限角,cosa= ,则 tan =( )A 3 B2 C2 D39设a n是公差不为零的等差数列,满足 ,则该数列的前 10 项和等于( )A 10 B5 C0 D510已知非零向量 , ,则“| |=| |+| |”是“ +2 = ”成立的是( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件11设 a=log50.5,b=log 20.3,c=log 0.32 则( )Ab a c Bbca Ccba Dab c12已知函数 f(x )的定义域为 R 且 f(x )= ,f(x +1)=
4、f(x1) ,则方程 f(x)= 在区间3,3的所有实根之和为( )A 8 B2 C0 D1二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分13求值: = 14在ABC 中,已知 ,则 = 15在等比数列a n中,若 a5a1=15,a 4a2=6,则 a3= 16 【理】若函数 f(x )=x 2+a|x1|在0,+)上单调递增,则实数 a 的取值范围是 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17设 c0,命题 P:y=log cx 是减函数;命题 Q:2 x1+2c0 对任意 xR 恒成立若 P 或 Q 为真,P 且 Q 为假,试求 c 的取值范围18已知向量 ,函数 f(x )
5、=()求函数 f(x)的解析式,并在给定的坐标系中用“五点法”作出函数f(x)在0, 上的图象;(须列表)()该函数的图象由 y=sinx(xR )的图象经过怎样的变化得到?19已知函数 f(x )=x 3+ax2+c,当 x=1 时,f(x)的极大值为 7;当 x=3 时,f(x)有极小值(I)求 a,b,c 的值;()求 f(x)在2,4上的最小值20如图,在ABC 中, ACB 为钝角,AB=2,BC= ,A= ,D 为 AC 延长线上一点,且 CD= ()求BCD 的大小;()求 BD,AC 的长21数列a n是等比数列且 an0,a 1= ,前 n 项和为 Sn,S 3+a3,S 5
6、+a5,S 4+a4成等差数列()求数列a n的通项公式;()求数列na n的前 n 项和 Tn22已知函数 f(x )=ax +1nx(a R) ,g(x)=e x()求 f(x)的单调区间;()证明:当 a=0 时,g(x )f(x)+22015-2016 学年河南省郑州市登封市高三(上)期中数学试卷(文科)参考答案与试题解析一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合 A=x|y= ,且 BA,则集合 B 可能是( )A1 ,2 ,3 Bx|1x1 C 2,2 DR【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】通过集合 A=x|
7、x0,且 BA,说明集合 B 是集合 A 的子集,对照选项即可求出结果【解答】解:因为集合 A=x|x0,且 BA,所以集合 B 是集合 A 的子集,当集合 B=1,2,3时,满足题意,当集合 B=x|1x 1 时, 0.1A,不满足题意,当集合 B=2,2时,2 A,不满足题意,当集合 B=R 时, 1A,不满足题意,故选 A2如图所示,在复平面内,点 A 对应的复数为 z,则 z=( )A1 2i B1+2i C2 i D 2+i【考点】复数的基本概念【分析】利用复数的几何意义即可得出【解答】解:由图可知:z= 2+i故选:D3命题“x(0,+) ,2 x1” 的否定是( )Ax 0(0,
8、+) , 1 B x0(0,+) , 1C x(0,+) ,2 x1 Dx(0 ,+) ,2 x1【考点】命题的否定【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“x(0,+) ,2 x1” 的否定是:x 0(0,+) , 1故选:B4已知函数 f(x)在点 P(1,m)处的切线方程为 y=2x1,函数 f(x)的导数为 f(x) ,则 f(1) ,与 f(1)的大小关系是( )Af (1)=f(1) Bf(1)f(1) Cf(1)f(1) D无法判断【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】利用函数在切点处的导数值是切线的斜率求出 f(1
9、) ,将切点坐标代入切线方程求出 f(1) ,从而比较出大小即可【解答】解:y=f(x)在点 P(1,m)处的切线方程是 y=2x1,f(1)=2 ,f(1)=21=1,f(1)f(1) ,故选:C5函数 f(x)的导数为题 f(x)若函数在区间 f(x )在区间(a,b)内无极值点,则 f( x)在区间(a,b )内无零点命题 P 的逆命题,否命题,逆否命题中,正确的个数是( )A0 B1 C2 D3【考点】四种命题【分析】可先判断出原命题与其逆命题的真假,根据四种命题的等价关系即可判断出真命题的个数【解答】解:函数 f(x)的导数为 f(x)若函数在区间 f(x )在区间(a,b)内无极值
10、点,则 f(x )在区间(a,b )内无零点,故原命题为真正确,则逆否命题为真命题,其逆命题为:函数 f(x)的导数 f(x) ,若 f(x)在区间(a,b )内无零点,则函数在区间 f(x)在区间( a,b )内无极值点,逆命题也是真命题,由此可知命题的否命题也是真命题,因为原命题的逆命题与否命题是等价命题综上可知:命题 p 的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是 3故选:D6已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( )y=f(|x|) ;y=f(x) ;y=xf (x) ;y=f (x)+xA B C D【考点】函数奇偶性的判断【分析】由奇函数的定义:f
11、(x)=f(x )逐个验证即可【解答】解:由奇函数的定义:f(x)=f(x )验证f( |x|)=f(|x|) ,故为偶函数f (x)=f(x)=f(x) ,为奇函数xf ( x)= xf(x )=xf (x) ,为偶函数f( x)+(x)=f(x) +x,为奇函数可知正确故选 D7已知数列a n满足 a1=2,a 2=3,a n+2=|an+1an|,则 a2015=( )A1 B2 C3 D0【考点】数列递推式【分析】通过计算出前几项,得出规律,进而可得结论【解答】解:由题意,a 3=|a2a1|=|32|=1,a4=|a3a2|=|13|=2,a5=|a4a3|=|21|=1,a6=|a
12、5a4|=|12|=1,a7=|a6a5|=|11|=0,a8=|a7a6|=|01|=1,当 n5 时,每三项重复出现 1,1,0,3=6701,a2015=1故选:A8设 a 是第三象限角,cosa= ,则 tan =( )A 3 B2 C2 D3【考点】半角的三角函数【分析】由条件利用同角三角跑函数的基本关系求得 sina 的值,再利用半角公式求得 tan 的值【解答】解:a 是第三象限角,cosa= ,sina= = ,则 tan = = =2,故选:B9设a n是公差不为零的等差数列,满足 ,则该数列的前 10 项和等于( )A 10 B5 C0 D5【考点】等差数列的前 n 项和【
13、分析】设出等差数列的首项和公差,把已知等式用首项和公差表示,得到a1+a10=0,则可求得数列的前 10 项和等于 0【解答】解:设等差数列a n的首项为 a1,公差为 d(d 0) ,由 ,得 ,整理得:2a 1+9d=0,即 a1+a10=0, 故选:C10已知非零向量 , ,则“| |=| |+| |”是“ +2 = ”成立的是( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义,结合向量的数量积的应用,即可得到结论【解答】解:| |=| |+| |,(| |) 2=(| |+| |) 2
14、, = ,即 cos = 1,即 与 反向共线, +2 = , =2 ,即 与 反向共线“| |=| |+| |”不推出 “ +2 = ”,但是“ +2 = ”,能推出“ | |=| |+| |”“| |=| |+| |”是“ +2 = ”成立的是必要不充分条件故选:B11设 a=log50.5,b=log 20.3,c=log 0.32 则( )Ab a c Bbca Ccba Dab c【考点】对数值大小的比较【分析】化简可得 log20.3 1,log 50.51,log 0.321;再化简log0.32= ,log 50.5= = = ,从而比较大小【解答】解:log 50.5log
15、50.2=1,log20.3log 20.5=1,log 20.3log 20.25=2;log0.32log 0.3 =1;log0.32= ,log 50.5= = = ,1 lg0.2lg0.30, ;即 c a;即 bca ;故选 B12已知函数 f(x )的定义域为 R 且 f(x )= ,f(x +1)=f(x1) ,则方程 f(x)= 在区间3,3的所有实根之和为( )A 8 B2 C0 D1【考点】分段函数的应用;根的存在性及根的个数判断【分析】由题意作出函数 y=f(x )与函数 y= 在区间3,3上的图象,结合图象求解即可【解答】解:f(x+1) =f(x 1) ,即有 f
16、(x +2)=f(x) ,f( x)是周期为 2 的周期函数,又f( x)= ,作函数 f(x )与函数 y=2+ 在区间 3,3上的图象如右:结合图象可知,图象共有 3 个交点,即共有 3 个实根,其中有两个关于原点对称,第三个为1;故其实根之和为 1;故选 D二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分13求值: = 2 【考点】对数的运算性质【分析】利用对数的运算性质 lgMlgN=lg 以及 lgMn=nlgM 进行化简运算即可得到答案【解答】解: = , =2故答案为:214在ABC 中,已知 ,则 = 【考点】平面向量数量积的运算【分析】如图所示, ,取 AB 的中点 D,连接
17、CD,则CDAB在 RtACD 中,可得 cosA= = ,再利用数量积运算性质即可得出【解答】解:如图所示, ,取 AB 的中点 D,连接 CD,则 CDAB在 RtACD 中, cosA= = ,A=30 = = 故答案为: 15在等比数列a n中,若 a5a1=15,a 4a2=6,则 a3= 4 或4 【考点】等比数列的性质【分析】根据等比数列的通项公式为 an=a1qn1 求出 a1 和 q 得到通项公式即可求出 a3【解答】解:等比数列的通项公式为 an=a1qn1 由 a5a1=15,a 4a2=6 得:a1q4a1=15,a 1q3a1q=6 解得: q=2 或 q= ,a 1
18、=1 或 a1=16则 a3=a1q2=4 或4故答案为 4 或416 【理】若函数 f(x )=x 2+a|x1|在0,+)上单调递增,则实数 a 的取值范围是 2,0 【考点】二次函数的性质【分析】去绝对值原函数变成:f(x )= ,由已知条件知,函数 x2+axa 在1,+)单调递增,x 2ax+a 在0,1)单调递增,所以 ,解该不等式组即得 a 的取值范围【解答】解:f(x)=x 2+a|x1|= ;要使 f( x)在0,+)上单调递增,则: ,得2 a 0;实数 a 的取值范围是2,0故答案为:2,0三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17设 c0,命题 P:y=lo
19、g cx 是减函数;命题 Q:2 x1+2c0 对任意 xR 恒成立若 P 或 Q 为真,P 且 Q 为假,试求 c 的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】根据函数性质求出命题 P,Q 成立的等价条件,结合复合命题真假之间的关系进行求解即可【解答】解:若 y=logcx 是减函数,则 0c1,即 P 真: 0c 1 ,若 2x1+2c0 对任意 xR 恒成立,则 2c12 x,2 x0,2 x0,1 2x 1,即 2c1,则 ,即 Q 真: ,若 P 或 Q 为真, P 且 Q 为假,则 P, Q 一真一假,若 P 真 Q 假,则 ,则 0c ,若 Q 真 P 假,则 ,则 c1,综上 c
20、的取值范围 18已知向量 ,函数 f(x )=()求函数 f(x)的解析式,并在给定的坐标系中用“五点法”作出函数f(x)在0, 上的图象;(须列表)()该函数的图象由 y=sinx(xR )的图象经过怎样的变化得到?【考点】函数 y=Asin(x+ )的图象变换;平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用【分析】 ()利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可求函数解析式,列表,描点,连线即可用“五点法” 作出函数 f(x)在0,上的图象;()根据函数 y=Asin(x+ )的图象变换规律即可得解【解答】 (本小题满分 12 分)解:()f(x)= =3sinxcosx sin2
21、x+ cos2x=3sin(2x+ ) 令 X=2x+ ,则 f(x)=3sin(2x + )=2sin X列表:x0 X 0 2y=sinX 0 1 0 1 0f( x)=3sin (2x +)0 2 0 2 0描点画图:(2)法一:把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移 个单位长度,得到y=sin(x+ )的图象;再把 y=sin(x+ )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到 y=sin(2x + )的图象;最后把 y=sin(2x+ )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变) ,即可得到y=3sin(2x+ )的图象法二:将 y=sin x 的
22、图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变) ,得到 y=sin 2x 的图象;再将 y=sin2x 的图象向左平移 个单位长度,得到y=sin2(x+ )=sin(2x+ )的图象;再将 y=sin(2x+ )的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 3 倍(横坐标不变) ,即得到 y=3sin(2x+ )的图象19已知函数 f(x )=x 3+ax2+c,当 x=1 时,f(x)的极大值为 7;当 x=3 时,f(x)有极小值(I)求 a,b,c 的值;()求 f(x)在2,4上的最小值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值【分析】 (I)利用函数的导数,函数的极值,
23、列出方程组,即可求 a,b,c 的值;()通过函数的单调性,极值以及端点值,求解函数的最值即可,【解答】 (本小题满分 12 分)解:(I)由已知得 f(x)=3x 2+2ax+b, ()由(1) ,f(x)=3(x +1) (x3) ,当 1x 3 时,f(x)0;当 x3 或x1 时,f( x)0,故 x=3 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(3)=25又 f(2)=0f (x )在2,4上的最小值为25 20如图,在ABC 中, ACB 为钝角,AB=2,BC= ,A= ,D 为 AC 延长线上一点,且 CD= ()求BCD 的大小;()求 BD,AC 的长【考点】正弦定理;余弦定理
24、【分析】 ()利用正弦定理求出BCD 的正弦函数值,然后求出角的大小;()在BCD 中,由余弦定理可求 BD 的长,然后求出 AC 的长【解答】 (本小题满分 12 分)解:()在ABC 中,因为 AB=2,A= ,BC= ,由正弦定理可得 ,即 ,所以 sin 因为ACB 为钝角,所以ACB= BCD= ()在BCD 中,由余弦定理可知 BD2=CB2+2CBDC cosBCD,即 BD2=( ) 2+( ) 22 ( ) cos ,整理得 BD=2在ABC 中,由余弦定理可知 BC2=+AB2+AC22AB ACcosA,即( ) 2=22+AC22.2ACcos ,整理得 AC22 AC
25、+2=0解得 AC= 因为ACB 为钝角,所以 ACAB=2 所以 AC= 121数列a n是等比数列且 an0,a 1= ,前 n 项和为 Sn,S 3+a3,S 5+a5,S 4+a4成等差数列()求数列a n的通项公式;()求数列na n的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和;等比数列的通项公式;等差数列的性质【分析】 (I)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出;(II)利用“错位相减法” 与等比数列的前 n 项和公式即可得出【解答】解:( I)设等比数列a n的公比为 q(q0) ,由题意知 a10,且,又S 3+a3,s 5+a5,S 4+a4 成等差数列2(S 5+a5) =S
26、3+a3+S4+a4,即 2(a 1+a2+a3+a4+2a5)=2(a 1+a2+a3)+a 3+2a4,化简得 4a5=a3,从而 4q2=1,又 q0,解得 q= , ( II)由( I)知, ,则 ,得: =, 22已知函数 f(x )=ax +1nx(a R) ,g(x)=e x()求 f(x)的单调区间;()证明:当 a=0 时,g(x )f(x)+2【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值【分析】 (1)求出 f(x)的定义域是( 0,+) ,导函数 ,通过 10 当 a 0 时;2 0 当 a0 时,求解函数的单调区间(2
27、)求出函数的定义域,化简令 F(X)=e xlnx,求出导函数,通过二次求导,求出函数的最值,判断导数的符号,得到函数的单调性,然后求解函数的最值即可【解答】 (本小题满分 12 分)解(1)f(x )的定义域是( 0,+) , 10 当 a0 时,f(x )0,所以在(0,+)单调递增;2 0 当 a0 时,由 f(x)=0,解得则当 时 f(x )0,所以 f(x)单调递增当时,f(x)0,所以 f(x)单调递减综上所述:当 a0 时,f(x )增区间是(0,+) ;当 a0 时,f (x )增区间是 ,减区间是 (2)f(x )=lnx ,f(x)与 g(x)的公共定义域为(0,+) ,令 F(X)=e xlnx, , ,所以 F(x)单调递增因为 ,所以存在唯一 使得 ,且当 x(0,x 0)时 F(x)0,F (x)递减; 当 x(x 0,+)时 F(x)0,F(x)当递增;所以故 g( x)f(x)+2 2017 年 1 月 15 日