1、2017 届江苏省如皋市高三下学期联考（二）数学试题一、填空题1已知集合 ， ，则 _A=1,2,3,4 AB=【答案】 2,3,4【解析】由题意可得： ，B=x|00),则 B(7m,24m)， =(1 , 0)， =(1+7m,24m)， =(1+7m)2+(24m)2=625m214m+1，当 时,有最小值,最小值为 ，故 的最小值是 .9设不等式组 表示的平面区域为 ， 是区域 D 上任意一点，则的最小值是_【答案】-7【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，由图象知 y0，设 z=|x2|2y|,则 z=|x2|2y,即 y= |x2| z，作出曲线 y= |x2|,平移曲线 y=
2、|x2| z，由图象知当曲线经过点 B 时，曲线的顶点最大,此时 z 最小，12由题意可得 B(3,4)，此时 z=|32|24=18=7，故答案为：7点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义10已知函数 若存在 ，使得 ，则实数 的取值f(x)=ex(xb)(bR) x12,2 f(x)+xf(x)0 b范围是_【答案】【解析】解答：f(x)=ex(xb)，f(x)=ex(xb+1)，若存在 x ,2,使得 f(x)+xf(x)0，12则若存在 x ,2,使得 ex(xb)+xex(xb+1)0
3、，12即存在 x ,2,使得 b0，B0，A B)14设 ，向量 且 ，若不等式xy0,z0恒成立，则实数 k 的最大值为_4x+5ykz【答案】【解析】由向量平行的充要条件有： ，据此可得： ，其中 整理可得： ，(162k2)x2+(40y5k2y)x+25y2+3k2y20当 时满足题意，否则：当 时，由对称轴处的函数值可得恒成立，综上可得实数 k 的最大值为 .二、解答题15在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知向量 m = (cosA，cosB)，n = (b + 2c，a)，且 mn（1）求角 A 的大小；（2）若 a = 4 ，b + c = 8，求 A
4、C 边上的高 h 的大小【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：(1)由向量垂直可得数量积为 0，据此可得 .(2)利用题中所给的条件列出方程组，求解方程组可得 AC 边上的高 h 的大小为 .试题解析：（1）因为 mn，所以 mn = 0，所以(b + 2c)cosA + a cosB = 0， 由正弦定理得 cosAsinB + 2cosAsinC + cosBsinA = 0，即 sin(A + B) + 2cosAsinC = 0，因为 A + B = C，所以 sin(A+B)=sinC,即 sinC + 2cosAsinC = 0又因为 C(0， )，所以 sinC 0，所
5、以 cosA = - 因为 A(0， )，所以 （2）由 9 分，解得 所以 S = bcsinA = hAC，所以 h = 16在斜三棱柱 中， ，平面 底面 ，点 、D 分别是线段AB=AC ABC、BC 的中点（1）求证： ； （2）求证：AD/平面 【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)利用题意证得 AD平面 ，结合线面垂直的定义可得 ADCC 1(2)利用题意可得 EM / AD，结合题意和线面平行的判断法则即可证得结论.试题解析：证明：（1）AB AC，点 D 是线段 BC 的中点，ADBC=又平面 底面 ，AD 平面 ABC，平面 底面 ，ABC AD平面
6、 又 CC1 平面 ，ADCC 1 （2）连结 B1C 与 BC1交于点 E，连结 EM，DE在斜三棱柱 中，四边形 BCC1B1是平行四边点 E 为 B1C 的中点ABC-A1B1C1点 D 是 BC 的中点，DE/B 1B，DE B1B 10 分又点 M 是平行四边形 BCC1B1边 AA1的中点，AM/B 1B，AM B1BAM/ DE，AM DE四边形 ADEM 是平行四边形EM / AD又 EM 平面 MBC1，AD 平面 MBC1，AD /平面 MBC1点睛：用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向
7、量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形” 转“数”的转化思想17在平面直角坐标系 中，已知 、 是椭圆 的左右顶点，离心率为 ,且椭圆过定点 ， 为椭圆右准线上任意一点，直线 分别交椭圆于 （1）求椭圆的方程；（2）若线段 MN 与 轴交于 Q 点且 ,求 的取值范围x【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：(1)由题意列方程可得 ，所以椭圆的方程为 ；(2)联立直线与椭圆的方程，结合题意可得 ，则 .试题解析：（1）由题意可知 又因为解之得 ，所以椭圆的方程为因为 AM 的斜率存在，设 AM 的为 ,则 AM 的方程为 y=k(x+2)得 =(+2)24+23=1令 得
8、 ， ,则 BP 方程为x=4 y=3k(x-2)得因为 ，所以 = 因为 所以18如图所示，在一半径等于 1 千米的圆弧及直线段道路 围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路 上，街道由两条平行于对称轴 l 且关于 l 对称的两线段 EF、CD，及夹在两线段 EF、CD 间的弧组成若商业街在两线段 EF、CD 上收益为每千米 2a 元，在两线段 EF、CD 间的弧上收益为每千米 a 元已知 ，设， （1）将商业街的总收益 表示为 的函数；（2）求商业街的总收益的最大值【答案】 （1） ；（2）在 时，商业街总收益最大为 元.【解析】试题分析：(1)利用题意可得函数的解析式为 ，注意
9、该()=2(+2+2) (0,4(44+8) (4,2)函数的定义域；(2)结合(1)中函数的解析式和函数的单调性可得在 时，商业街总收益最大为 元.试题解析：（1）当 时： ,EF=22+cos所以 当 时： ,(4,2) EF=2cos所以 f()=(4-2)a+2a(4cos)由可得()=2(+2+2) (0,4(44+8) (4,2)当 时, ,因为 所以列表：0极大值所以在 时， 有最大值 当 时：(4,2)因为 ，所以所以 在 时单调递减所以 又因为所以当 时，在 时， 有最大值答:在 时，商业街总收益最大为 元19数列 对于确定的正整数 ，若存在正整数 使得 成立，则称数列m为“
10、 阶可分拆数列”.（1）设 是首项为 2，公差为 2 的等差数列，证明 为“3 阶可分拆数列” ；（2）设数列 的前 项和为 ，若数列 为“ 阶可分拆数列” ，求实数an的值；（3）设 ，试探求是否存在 使得若数列 为“ 阶可分拆数列” 若存在，请求出所有 ，若不存在，请说明理由【答案】 （1）见解析；（2） ；（3） 或 3.【解析】试题分析：(1)利用题中所给的新定义内容结合等差数列的通项公式即可证得结论；(2)由题意整理计算可得 ；(3)假设实数 m 存在，讨论可得 或 3.试题解析：（1）由题意可知， 所以所以 为“3 阶可分拆数列” ； 因为数列 的前 项和为 当 时， ；当 时，所
11、以 =2 =121 2因为存在正整数 得 成立当 时 即n2因为 ，所以 ，而 所以不存在正整数 （ ）使得 成立当 时 ，得所以 时存在正整数 使得 成立由得 .假设存在 使得若数列 为“ 阶可分拆数列”即存在确定的正整数 ，存在正整数 使得 成立当 时， ， 时方程成立当 时当 时 ；当 时当 时 ，所以不存在正整数 使得 成立n当 时 ，当 时 成立n=1 7(2n-1)+6n=13当 时所以不存在正整数 使得 成立综上： 或 3.20若实数 满足 ，则称 为函数 的不动点p(x)（1）求函数 的不动点；（2）设函数 ，其中 为实数 若 时，存在一个实数 ，使得 既是 的不动点，又是 的
12、不动a=0 g(x)点（ 是函数 的导函数） ，求实数 的取值范围；g(x) 令 ，若存在实数 ，使 ， ， ， 成各项都为正数的等比数列，求证：函数 存在不动点【答案】 （1）函数 的不动点为 ；（2） ，见解析.【解析】试题分析：(1)结合函数的单调性可得函数 的不动点为 ;(2)由题意得到方程组，消去 c 可得实数 的取值范围是 ，(3)满足题意时 结合导函数与原函数的性质讨论计算即可证得结论.试题解析：（1）由题意可知， 令 ， 故 列表：x 1 (1 ， +)0极大值所以，方程 有唯一解 所以函数 的不动点为 （2） 由题意可知 消去 ，得 ， ，所以 x012,2 b54,11 h
13、(x)=g(x)=3ax2+2bx+c由题意知 ， ， ， 成各项都为正数的等比数列，h(h(h(m)故可设公比为 ，则故方程 有三个根 ， ， 又因为 ，所以 为二次函数，故方程 为二次方程，最多有两个不等的根则 ， ， 中至少有两个值相等 当 时，方程 有实数根 ，也即函数 存在不动点，符合题意；当 时，则 ， ，故 ，又因为各项均为正数，则 ，h(h(m)=m q2m=m q2=1也即 ，同上，函数 存在不动点，符合题意；h(m)=m当 时，则 ， ，同上，函数 存在不动点，符合题意；h(h(m)=h(m)综上所述，函数 存在不动点点睛：新定义型创新题是数学考题的一大亮点，通过定义新的概
14、念，或约定新的运算，或给出新的性质等创设一种全新的问题情境，主要考查考生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的.求解此类问题通常分三大步骤进行：（1）对新定义进行信息提取，确定化归方向；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法；（3）对新定义中提取的知识进行转换，有效地输出.其中对新定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是求解的难点. 21 选修 42：矩阵与变换已知矩阵 ，A 的逆矩阵 ，求 A 的特征值A=3 02 a【答案】 的特征值为 3 和 1【解析】试题分析：利用题意得到特征多项式，据此即可求
15、得相应的特征值为 3 和 1试题解析：则 解之得的特征多项式A=3 02 1 f()=|-3 0-2 -1|=(-3)(-1)令 ，解之得的特征值为 3 和 122 选修 44：坐标系与参数方程若以直角坐标系 的 为极点， 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 的极坐标方程是 sin2=6cos（1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；C（2）若直线 的参数方程为 （ 为参数） ，当直线 与曲线 相交于 两点，求线段 的长【答案】 （1）曲线是以原点为顶点， 为焦点的抛物线；（2）8.(32,0)【解析】试题分析：(1)将极坐标方程化简为直角坐标方程可得曲线是
16、以原点为顶点， 为焦点(32,0)的抛物线；(2)利用弦长公式可得线段 的长为 8.试题解析：（1）曲线是以原点为顶点， 为焦点的抛物线.(32,0)（2） ，化简得 ，则=32+2=322=6t2-4t-12=0所以23如图，在直角梯形 中， ， ， 直角AA1B1B A1AB=90A1B1/AB梯形 通过直角梯形 以直线 为轴旋转得到，且使得平面 平面AA1C1C AA1B1B AA1 AA1C1C 为线段 的中点， 为线段 上的动点AA1B1B BB1（）当点 是线段 中点时，求二面角 的余弦值；BB1（）是否存在点 ，使得直线 /平面 ？请说明理由A1C【答案】 （1） ；（2）线段
17、上存在点 且当 时，使得 .31717 BB1 BPPB1=2 A1C平面 AMP【解析】试题分析：(1)利用题意建立空间直角坐标系，结合平面向量的法向量的值可得二面角的余弦值为 ；31717(2)结合(1)中的空间直角坐标系可得线段 上存在点 且当 时，使得BB1BPPB1=2.A1C平面 AMP试题解析：易知平面 的一个法向量 m=(0,0,1)设平面 的一个法向量 ，则由令 ，则 n=(-2,2,-3)如图可知二面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 ；31717（2）假设存在点 ，使得直线 A1C平面 AMP设 ，则所以 ， 所以 AP=(0,2-,2)设平面 的一个法向量为 n2=(x2
18、,y2,z2)由2=02=0得 2+2=0(2)2+22=0令 ，y2=1,则 n2=(-1,1,-22)若直线 ，则A1C平面 AMPA1Cn2所以所以线段 上存在点 且当 时，使得 BB1BPPB1=2 A1C平面 AMP24已知函数 f(x)=(x1)ex+1(x0)求证：（1）（2）对 ,若 ， =1，求证： xnexn+1=exn1x1 xnxn+1 12n+1【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)利用函数的单调性结合函数的定义域即可证得结论；(2)结合题意利用数学归纳法证明结论即可.试题解析：x0 时， =x 0,f(x)单调增，f(x) f(0)=0 f(
19、x)ex = , x1=1 1, 0 对任意 n 成立；xnexn+1=exn-1 exn+1exn-1xn exn-1xn xn又知 f( ) 0 -112n当 n=1 时， =1 ,命题成立x112假设 n=k 时，命题成立，即 xk12k要证 ,只要证明 ，只要证明 xk+112k+1 exk+1e12k+1 exk-1xk e12k+1设 g(x)= , = =- 0 在 x0 上成立，ex-1x g(x)xex-ex+1x2 f(x)x2故 g(x)在 x0 上单调增， ，g( )= g( ),xk12k xk exk-1xk 12k只要证明 g( )= = ,设 =t0，12k e12k-112k e12k+1e12k12 12 12k只要证明 ，只要证明 -1tet-1t et2 et et2设 -1-t =h(t),t0, = 0 在 t0 时恒成立，et et2 h(t)et2(et2-1-t2)h(t)单调增，h(t)h(0)=0, -1t 成立。从而对 n=k+1，不等式仍然成立et et2总之， 成立xn12n
