1、2016-2017 学年河南省三门峡市灵宝一中高三（上）第一次月清数学试卷（理科）一、选择题（本题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中 ）1若集合 A=x|x|1，x R，B=y|y=2x 2，x R，则（ RA）B=（ ）Ax|1x1 Bx|x 0 Cx|0x1 D2若 =1bi，其中 a，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a+bi|=（ ）A B C D13不等式 ln2x+lnx0 的解集是 （ ）A （e 1，1） B （1，e ） C （0，1） D （0，e 1）4方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负的实根的充要条件是（
2、 ）A0a1 Ba 1 Ca 1 D0a1 或 a05设点 P 是ABC 内一点（不包括边界） ，且 =m +n （m、n R） ，则 m2+（n 2） 2 的取值范围是（ ）A （1， ） B （1，5） C （ ，5） D （ ， ）6由曲线 xy=1，直线 y=x，y=3 所围成的平面图形的面积为（ ）A B2 ln3 C4+ln3 D4ln37在ABC 中，已知（ sinBcosB） （ sinCcosC）=4cosBcosC，且 AB+AC=4，则 BC 长度的取值范围为（ ）A （0，2 B2，4） C2，+） D （2，+ ）8已知 f（x）是 R 上的偶函数，若将 f（x）的图
3、象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若f（2）=1，则 f（1）+f（2）+f（3）+fA0 B1 C 1 D1004.59点 M（a，b）在函数 的图象上，点 N 与点 M 关于 y 轴对称且在直线 xy+3=0 上，则函数 f（x）=abx2+（a+b） x1 在区间2，2）上（ ）A既没有最大值也没有最小值 B最小值为 3，无最大值C最小值为3 ，最大值为 9 D最小值为 ，无最大值10给出一个如图所示的流程图，若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等，则这样的 x 值的个数是（ ）A1 B2 C3 D411设 a+b=2，b0，当 + 取得最小值时，a 的值为（ ）A3 B2
4、 C 1 D112已知函数 f（x）=sinxcosx+ +3，若 f（lga ）=4 ，则 f（lg ）的值等于（ ）A1 B2 C3 D4二、填空题（本题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积 14已知函数 f（x）=|x| 1，关于 x 的方程 f2（x） |f（x）|+k=0，若方程恰有 8 个不同的实根，则实数 k的取值范围是 15设 f（x）=x 3+x（xR）当 时 f（msin）+f （1 m）0 恒成立，则 m 的取值范围是 16设点 P（x，y）满足： ，则 的取值范围是 三解答题（本大题共 6 小
5、题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的答题区域内.）17已知等差数列a n满足 a3=7，a 5+a7=26，数列a n的前 n 项和 Sn（）求 an 及 Sn；（）令 bn= （nN *） ，求数列b n的前 n 项和 Tn18设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a1=1，S n+1=2Sn+n+1（nN *） ，（）求数列a n的通项公式；（）若 bn= ，数列b n的前项和为 Tn，n N*证明：T n219如图所示，一科学考察船从港口 O 出发，沿北偏东 角的射线 OZ 方向航行，而在离港口 a（a 为正常数）海里的北偏东 角的 A 处有一
6、个供给科考船物资的小岛，其中 tan= ，cos= 现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口 O 正东 m（m a）海里的 B 处的补给船，速往小岛 A 装运物资供给科考船，该船沿 BA 方向全速追赶科考船，并在 C 处相遇经测算当两船运行的航向与海岸线 OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜（1）求 S 关于 m 的函数关系式 S（m） ；（2）应征调 m 为何值处的船只，补给最适宜20已知向量 =（sinA，cosA） ， =（cosB，sinB） ， =sin2C 且 A、B、C 分别为ABC 的三边a，b，c 所对的角（1）求角 C 的大小；（2）若 sinA，sinC，sin
7、B 成等比数列，且 =18，求 c 的值 21已知函数 f（x）=e xln（ x+m）1 在 x=0 处取得极值（）求函数 f（x）的最小值；（）已知 ab0，证明：e ab1ln 22已知函数 f（x）= （1）求 f（x）在1，e（e 为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意给定的正实数 a，曲线 y=f（x）上是否存在两点 P，Q，使得POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在 y 轴上？2016-2017 学年河南省三门峡市灵宝一中高三（上）第一次月清数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题只有一个选项符
8、合题意，请将正确答案填入答题卷中 ）1若集合 A=x|x|1，x R，B=y|y=2x 2，x R，则（ RA）B=（ ）Ax|1x1 Bx|x 0 Cx|0x1 D【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出集合 A，B，然后求解集合的补集以及交集即可【解答】解：集合 A=x|x|1，x R=x|x1 或 x1，RA=x|1x 1B=y|y=2x2，xR= y|y0，则（ RA） B=x|0x1故选：C2若 =1bi，其中 a，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a+bi|=（ ）A B C D1【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算【分析】首先进行复数的乘法运算，根据多项式乘以单项式的法则进
9、行运算，然后两个复数进行比较，根据两个复数相等的充要条件，得到要求的 b 的值【解答】解：a=2，b= 1故选 A3不等式 ln2x+lnx0 的解集是 （ ）A （e 1，1） B （1，e ） C （0，1） D （0，e 1）【考点】其他不等式的解法；指、对数不等式的解法【分析】令 lnx=t，则 t2+t0，再由二次不等式的解法和对数函数的单调性，即可得到解集【解答】解：令 lnx=t，则 t2+t0，则1 t 0，即1 lnx 0，解得 x1则解集为（e 1，1） 故选 A4方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负的实根的充要条件是（ ）A0a1 Ba 1 Ca 1 D0a1 或 a
10、0【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【分析】首先，对二次项系数分为 0 和不为 0 两种情况讨论，然后在二次项系数不为 0 时，分两根一正一负和两根均为负值两种情况，最后将两种情况综合在一起找到 a 所满足的条件 a1，再利用上述过程可逆，就可以下结论充要条件是 a1【解答】解：a 0 时，显然方程没有等于零的根若方程有两异号实根，则由两根之积小于 0 可得 a0；若方程有两个负的实根，则必有 ，故 0a 1若 a=0 时，可得 x= 也适合题意综上知，若方程至少有一个负实根，则 a1反之，若 a1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一负的实
11、根的充要条件是 a1故选 C5设点 P 是ABC 内一点（不包括边界） ，且 =m +n （m、n R） ，则 m2+（n 2） 2 的取值范围是（ ）A （1， ） B （1，5） C （ ，5） D （ ， ）【考点】双曲线的简单性质【分析】根据题意可得 m、n 满足的不等式组，在 mon 坐标系内作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划，结合两点间的距离是即可得到结论【解答】解：点 P 在ABC 内部， =m +n ， ，在直角坐标系 mon 内，m 2+（n2） 2 表示平面区域 内的点（m ，n）到点（0，2）的距离的平方数形结合知（0，2）到（0，1）的距离最小，到（1，0）的距离
12、最大最小距离为 1，最大距离为 =m 2+（n2） 2 的取值范围是 （1，5） ，故选 B6由曲线 xy=1，直线 y=x，y=3 所围成的平面图形的面积为（ ）A B2 ln3 C4+ln3 D4ln3【考点】定积分在求面积中的应用【分析】由题意利用定积分的几何意义知，欲求由曲线 xy=1，直线 y=x，y=3 所围成的平面图形的面积曲边梯形 ABD 的面积与直角三角形 BCD 的面积，再计算定积分即可求得【解答】解：根据利用定积分的几何意义，得：由曲线 xy=1，直线 y=x，y=3 所围成的平面图形的面积：S= （3 ） dx+=（3xlnx） +2=3ln31+2=4ln3故选 D7
13、在ABC 中，已知（ sinBcosB） （ sinCcosC）=4cosBcosC，且 AB+AC=4，则 BC 长度的取值范围为（ ）A （0，2 B2，4） C2，+） D （2，+ ）【考点】余弦定理【分析】先根据已知条件结合两角和与差的计算公式整理得到 B+C= ，A= ，再集合余弦定理以及二次函数的最值和三角形三边关系即可得到结论【解答】解：由已知：（ sinBcosB） （ sinCcosC）=4cosBcosC，可得： （sinBcosC+cosBsinC）=3（cosBcosC sinBsinC） ， sin（B+C）=3cos（B+C）tan（B +C）= ；因为：0B+C
14、；所以：B+C= ，A= ，由：AB+AC=4 ，得：AB=4 AC，故：BC 2=AB2+AC22ACABcosA=（4AC） 2+AC2（4 AC）AC=3（AC 2） 2+44；当且仅当 AC=2 时上式取等号，所以：BC2，又因为：BCAC+AB=4，则 BC 的取值范围是：2，4） 故选：B8已知 f（x）是 R 上的偶函数，若将 f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若f（2）=1，则 f（1）+f（2）+f（3）+fA0 B1 C 1 D1004.5【考点】偶函数；奇函数；函数的值【分析】法一：由题意 f（x）是 R 上的偶函数，f（x1）是 R 上的奇函数，
15、由此可以得出函数的周期为4，再由 f（2）= 1 求出 f（ 2）= 1，由奇函数的性质得出 f（ 1）=0，从而可得 f（1）=0 ，求出一个周期上的四个函数的和，即可求出 f（1）+f （2）+f（3）+f 是 R 上的偶函数，f（x1）是 R 上的奇函数，f（ x）=f （x） ，f（x 1）=f（x1） ，f（ x1）=f（x+1） ，由得 f（x+1）= f（x 1）恒成立，f（x 1）=f （ x3）由得 f（x+1）=f（x3）恒成立，函数的周期是 4，下研究函数一个周期上的函数的值由于 f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象即 f（0 1）=0，即 f（1）=
16、0，由偶函数知 f（1）=0 ，由周期性知 f（3）=0由 f（2）= 1 得 f（ 2）=1，由 f（x+1）= f（x1） ，知 f（0）=1 ，故 f（4）=1故有 f（1）+f （2）+f （3）+f （4）=0f（1）+f （2）+f （3）+f=f （1）=0 故选 A9点 M（a，b）在函数 的图象上，点 N 与点 M 关于 y 轴对称且在直线 xy+3=0 上，则函数 f（x）=abx2+（a+b） x1 在区间2，2）上（ ）A既没有最大值也没有最小值 B最小值为 3，无最大值C最小值为3 ，最大值为 9 D最小值为 ，无最大值【考点】函数的最值及其几何意义【分析】本题应先根
17、据对称性建立关于 a，b 的方程，解出 a，b 的值，代入函数的表达式，利用函数的表达式研究函数在区间2，2）上的单调性，用单调性判断出函数在区间上的最大值与最小值【解答】解：点 M（a，b）在函数 的图象上，故有 b= 点 N 与点 M 关于 y 轴对称，故点 N（a，b） ，又点 N 在直线 xy+3=0 上，故ab+3=0 由得 ab=1，a +b=3函数 f（x）=x 2+3x1其对称轴为 x= 2，2）故函数 f（x）在2，2）上的最大值为不存在，最小值为 f（ ）=故应选 D10给出一个如图所示的流程图，若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等，则这样的 x 值的个数是（ ）A1
18、B2 C3 D4【考点】选择结构【分析】由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x2，2x5，x5 三种情况分别讨论，满足输入的 x 值与输出的 y 值相等的情况，即可得到答案【解答】解：当 x2 时，由 x2=x 得：x=0，1 满足条件；当 2x5 时，由 2x3=x 得：x=3，满足条件；当 x5 时，由 =x 得：x= 1，不满足条件，故这样的 x 值有 3 个故选 C11设 a+b=2，b0，当 + 取得最小值时，a 的值为（ ）A3 B2 C 1 D1【考点】基本不等式【分析】由题意：a+b=2，b0，转化为： ，分 a0 和 a0 讨论，那
19、么： + = ，利用基本不等式的性质求解【解答】解：由题意：a+b=2，b0，转化为： ，当 a0 时，那么： + = = 当且仅当 a= ，b= 时取等号当 a0 时，那么： + = = 当且仅当 a=2，b=4 时取等号故选：B12已知函数 f（x）=sinxcosx+ +3，若 f（lga ）=4 ，则 f（lg ）的值等于（ ）A1 B2 C3 D4【考点】函数的值【分析】知道 lg =lga，f （x）+f（x）=6 即可得出答案【解答】解：lg =lga，而 f（x）+f （x）=sinxcosx + +3=sinxcosx+ +3sinxcosx +3=6，4+f（lg ）=6，
20、f（lg ）=2故选：B二、填空题（本题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积 2 【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长为 2 的正方形，四棱锥的一条侧棱和底面垂直，且四棱锥的顶点距离最远的底面的顶点长是 ，做出垂直的棱长和底面面积，求出体积【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长为 2 的正方形，四棱锥的一条侧棱和底面垂直，且四棱锥的顶点距离最远的底面的顶点长是 ，与底面垂直的棱长是 =3，四棱锥底面的面积是四棱锥的体积是故答案为：214已知
21、函数 f（x）=|x| 1，关于 x 的方程 f2（x） |f（x）|+k=0，若方程恰有 8 个不同的实根，则实数 k的取值范围是 （0， ） 【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】关于 x 的方程 f2（x ）|f（x）|+k=0 恰有 8 个不同的实根，即函数 g（x）=f 2（x）+|f（x）|图象与直线 y=k 有 8 个交点，画出图象可得【解答】解：关于 x 的方程（|x|1） 2|x|1|+k=0 可化为（x1） 2（x1）+k=0（x1） （1）或（x1 ） 2（1 x）+k=0（0x1） （2）或（x+1） 2+（x+1）+k=0（ 1x0） （3）或（x+1） 2（x+1
22、）+k=0（x 1）函数 g（x）= f2（x）+|f （x）|图象，如图所示，由图象知实数 k 的取值范围为（0， ） ，故答案为（0， ） 15设 f（x）=x 3+x（xR）当 时 f（msin）+f （1 m）0 恒成立，则 m 的取值范围是 m1 【考点】函数恒成立问题【分析】根据函数的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用不等式恒成立即可得到结论【解答】解：f（x）是奇函数且为增函数，由 f（msin）+f（1m）0得 f（msin）f（1 m）=f（m 1） ，则 msinm 1，当 =0 时，不等式等价为 0m1，此时 m1，当 0 时，sin0，此时不等式等价为 m ， 1，
23、m1，故答案为：m116设点 P（x，y）满足： ，则 的取值范围是 【考点】简单线性规划的应用【分析】由线性约束条件 画出可行域，然后求出 的取值范围，然后令 =t，t ，2，而 =t 在 ，2上单调递增，从而求出 的取值范围【解答】解：根据线性约束条件 画出可行域，得在直线 x+y=3 与直线 y=x+1 的交点 C（1，2）处， 取最大值为 2在点 B（2，1）处 取最小值为 的取值范围为 ，2令 =t，t ，2则 =t 在 ，2上单调递增 的取值范围 故答案为：三解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的答题区域内.）17已知等
24、差数列a n满足 a3=7，a 5+a7=26，数列a n的前 n 项和 Sn（）求 an 及 Sn；（）令 bn= （nN *） ，求数列b n的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前 n 项和【分析】 （I）设等差数列a n的公差为 d，由 a3=7，a 5+a7=26，可得 ，解出利用等差数列的前 n 项和公式即可得出；（）b n= = = ，利用“裂项求和” 即可得出【解答】解：（I）设等差数列 an的公差为 d，a 3=7，a 5+a7=26， ，解得 a1=3，d=2 a n=3+2（n 1）=2n+1数列a n的前 n 项和 Sn= =n2+2n（
25、）b n= = = ，数列b n的前 n 项和 Tn= + + = = 18设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a1=1，S n+1=2Sn+n+1（nN *） ，（）求数列a n的通项公式；（）若 bn= ，数列b n的前项和为 Tn，n N*证明：T n2【考点】数列递推式；数列的求和；数列与不等式的综合【分析】 （）由 ，得当 n2 时，S n=2Sn1+n，两式相减得，a n+1=2an+1，构造等比数列a n+1并求其通项公式，再求出数列a n的通项公式（）b n= = = ，利用错位相消法求和【解答】解：（）当 n2 时，S n=2Sn1+n，两式相减得，an+1=2an+1
26、，两边加上 1 得出 an+1+1=2（a n+1） ，又 S2=2S1+1，a 1=S1=1，a 2=3，a 2+1=2（a 1+1）所以数列a n+1是公比为 2 的等比数列，首项 a1+1=2，数列a n+1的通项公式为 an+1=22n1=2n，a n=2n1 （）a n=2n1，b n= = =Tn=Tn=两式相减得 Tn=Tn=2（ ）=2 219如图所示，一科学考察船从港口 O 出发，沿北偏东 角的射线 OZ 方向航行，而在离港口 a（a 为正常数）海里的北偏东 角的 A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中 tan= ，cos= 现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口 O 正东 m（m
27、 a）海里的 B 处的补给船，速往小岛 A 装运物资供给科考船，该船沿 BA 方向全速追赶科考船，并在 C 处相遇经测算当两船运行的航向与海岸线 OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜（1）求 S 关于 m 的函数关系式 S（m） ；（2）应征调 m 为何值处的船只，补给最适宜【考点】基本不等式在最值问题中的应用；在实际问题中建立三角函数模型【分析】先以 O 为原点，正北方向为轴建立直角坐标系（1）先求出直线 OZ 的方程，然后根据 的正余弦值和 OA 的距离求出 A 的坐标，进而可以得到直线 AB的方程，然后再与直线 OZ 的方程联立求出 C 点的坐标，根据三角形的面积公式可
28、得到答案（2）根据（1）中 S（m ）的关系式，进行变形整理，然后利用基本不等式求出最小值【解答】解：以 O 为原点，正北方向为轴建立直角坐标系，直线 OZ 的方程为 y=3x，（1）设 A（x 0，y 0） ，cos= ，sin= ，则 x0= asin=3a，y 0= acos=2a，A（3a，2a） 又 B（m，0） ，则直线 AB 的方程为 y= （xm ） 由、解得，C（ ， ） ，S（m）=S OBC= |OB|yc|= m = （m a） （2）S（m）= =a（m a）+ + a当且仅当 m a= ，即 m= 时，等号成立，故当 m= 海里时，补给最适宜20已知向量 =（sin
29、A，cosA） ， =（cosB，sinB） ， =sin2C 且 A、B、C 分别为ABC 的三边a，b，c 所对的角（1）求角 C 的大小；（2）若 sinA，sinC，sinB 成等比数列，且 =18，求 c 的值 【考点】平面向量数量积的运算；等比数列的通项公式；正弦定理【分析】 （1）由 =sin2C，结合向量的数量积的坐标表示及两角和的正弦公式可求 cosC，进而可求 C（2）由已知可得，sin 2C=sinAsinB，结合正弦定理可得 c2=ab，再由向量的数量积的定义可求 ab，进而可求 c【解答】解：（1） =sin2CsinAcosB+sinBcosA=sin2Csin（A
30、+B ）=sinC=sin2C=2sinCcosCsinC0cosC=C（0，）（2）sinA，sinB，sinB 成等比数列，sin 2C=sinAsinB由正弦定理可得 c2=ab =18， = =18，ab=36c 2=36，c=621已知函数 f（x）=e xln（ x+m）1 在 x=0 处取得极值（）求函数 f（x）的最小值；（）已知 ab0，证明：e ab1ln 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】 （）求导函数，根据函数 f（x）=e xln（x+m ）1 在 x=0 处取得极值，可得 f（x）=0，从而可求m
31、=1，进而可确定函数的单调性，从而可求函数 f（x）的最小值；（）构造函数 G（x）=e xb1ln ，G（x）=e xb ，可得当 xb0 时，G（x）0，所以 G（x）单调递增，根据 G（b）=1 = ，即可证得结论【解答】证明：（）求导函数，因为函数 f（x）=e xln（x+m）1 在 x=0 处取得极值，所以 f（x）=0，m=1所以 ，函数的定义域为（1，+） 1 x 0 时， f（x）0； x0 时，f（x）0；x=0 是函数的极小值点，也是最小值点 函数 f（x）的最小值为 f（0）=0（）构造函数 G（x）=e xb1ln ，G（x）=e xb当 xb0 时，G（x）0，所以
32、 G（x）单调递增又因为 G（b）=1 =0ba，G（a）G（b）0e ab1ln 0即 22已知函数 f（x）= （1）求 f（x）在1，e（e 为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意给定的正实数 a，曲线 y=f（x）上是否存在两点 P，Q，使得POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在 y 轴上？【考点】函数与方程的综合运用；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】 （I）由 知，当1x1 时， ，令f（ x）=0 得 ，当 x 变化时，f（x） ，f （x）的变化情况列表知 f（x）在 1，1）上的最大值为2当 1x2 时，f（x）=alnx当 a0 时，f（x）0
33、，f （x）最大值为 0；当 a0 时，f（x）在1，e上单调递增当 a2 时，f （x）在区间1，e上的最大值为 2；当 a2 时，f （x）在区间 1，e上的最大值为 a（II）假设曲线 y=f（x）上存在两点 P、Q 满足题设要求，则点 P、Q 只能在 y 轴两侧设 P（t ，f （t ） ）（t0） ，则 Q（t，t 3+t2） ，显然 t1由此入手能得到对任意给定的正实数 a，曲线 y=f（x）上存在两点P、Q，使得 POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在 y 轴上【解答】解：（）因为 f（ x）=1 当1 x1 时， f（x）= x（3x2） ，解 f（x）
34、0 得 0x ：解 f（x）0 得 1x0 或 x1f（x）在（ 1，0）和（ ，1）上单减，在（0， ）上单增，从而 f（x）在 x= 处取得极大值 f ）=又f（ 1）=2 ，f （1）=0 ，f（x）在 1，1）上的最大值为 2当 1xe 时，f （x）=alnx，当 a0 时，f（x）0；当 a0 时，f（x）在1，e单调递增；f（x）在1，e上的最大值为 a当 a2 时，f （x）在 1，e上的最大值为 a；当 a2 时，f（x）在 1，e 上的最大值为 2（）假设曲线 y=f（x）上存在两点 P，Q 满足题意，则 P，Q 只能在 y 轴两侧，不妨设 P（t，f（t） ）（t0） ，
35、则 Q（t，t 3+t2） ，且 t1POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形 =0，即 t2+f（t） （t 3+t2）=0（*）是否存在 P，Q 等价于方程（*）是否有解若 0t1，则 f（x）= t3+t2，代入方程（*）得：t 2+（ t3+t2） （t 3+t2）=0，即：t 4t2+1=0，而此方程无实数解，当 t1 时，f（t）=alnt，代入方程（*）得：t 2+alnt（t 3+t2）=0，即：设 h（x）=（x+1）lnx（x1 ） ，则 h（x）=lnx + +10 在1，+）恒成立h（x）在1，+）上单调递增，从而 h（x）h（1）=0，则 h（x）的值域为0，+） 当 a0 时，方 =（t+1）lnt 有解，即方程（*）有解对任意给定的正实数 a，曲线 y=f（x）上总存在两点 P，Q，使得POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在 y 轴上2016 年 11 月 6 日
