1、2017 届江西吉安市一中高三（上）段考二数学（理）试题一、选择题1设 ， ，则 的元素个数是（ ）|2AxZ2|1,ByxABA5 B4 C3 D无数个【答案】C【解析】试题分析：依题意有 ，代入 得到 ，2,10,A21yx0,2故 有 个元素B【考点】绝对值不等式，元素与集合的关系【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是定义域还是值域，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零元素与集合之间是属于和不属于
2、的关系，集合与集合间有包含关系在求交集时注意区间端点的取舍熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目2已知 为虚数单位，若复数 ，则 （ ）i 2izi:zA1 B C D23【答案】C【解析】试题分析： ， 12izii3z【考点】复数概念及运算3随机变量 ，则 （ ）0,1N:2PA00215 B01359 C01574 D02718（参考数据：， ，.682P20.954） 30974【答案】B【解析】试题分析：根据正态分布的对称性，有.5.68212.135P【考点】正态分布4在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 ABC为（ ABC, ,abcos）A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形
3、 D等边三角形【答案】A【解析】试题分析：由余弦定理得 ，化简得 ，故为钝22cba220cb角三角形【考点】解三角形，正弦定理、余弦定理5按下图所示的程序框图运算：若输出 ，则输入 的取值范围是（ ）2kxA B C D20,530,5730,228,57【答案】D【解析】试题分析：运行程序，输入 ， ， ，判断否，tk1,xtk，判断是，输出 ，故 ，故选 D43,2xtk43528【考点】算法与程序框图6已知数列 满足：当 时， 2ppqa，则 na的na1,pqNq前 10 项和 （ ）10SA31 B62 C170 D1023【答案】B【解析】试题分析： 1251010295662S
4、aa 【考点】递推数列求和7已知函数 的图象如图所示，则 fx的解析式可能是（ ）fxA 312fxx B 312fxxC D【答案】A【解析】试题分析： ，排除 C 选项； ，排除 D 选项；12x0,xy，排除 B，故选 A10,xy【考点】函数图象与解析式8已知 是双曲线 上的不同三点，且 连线经过坐标原点，若直,AP21xyabAB线 的斜率乘积 ，则该双曲线的离心率 （ ）,B3PABk:eA B 5215C D102【答案】B【解析】试题分析：设 ，所以112,AxyByPx，故 2213PABybkxa2251,3beea【考点】直线与圆锥曲线位置关系9平面直角坐标系中，不等式组
5、 （ 为常数）表示的区域面积等于01xya3，则 的值为（ ）aA-5 B-2 C2 D5【答案】D【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，面积为 13,52a【考点】线性规划10如图，圆 与 轴的正半轴的交点为 ，点 ， 在圆 上，点 的坐标为OxABCOB1,2，点 位于第一象限， ，若 ，则CO5（ ）23sincos2A B 255C D 2【答案】D【解析】试题分析：由于 所以三角形 为等边三角形5OBCOBC2325sincossinsin2 A【考点】三角恒等变换11如图 1，已知正方体 的棱长为 ，动点 分别在线段1ABCDaMNQ、 、上 ， ， 上，当三棱锥 的俯视图如图
6、2 所示时，三棱锥AD1QN的正视图面积等于（ ）QBMNA B 21a214aC D2423【答案】B【解析】试题分析：由俯视图可知 重合，且 重合，故主视图如下图所示，1,Q,CN面积为 214a【考点】三视图【思路点晴】(一)主视图和左视图如果都是三角形的必然是椎体，要么是棱锥要么是圆锥还有两种特殊的情况：1、是棱锥和半圆锥的组合体2、就是半圆锥到底如何如确定就是通过俯视图观察 （1）若俯视图是三角形时，就是三棱锥 （2）若俯视图是多边形时，就是多棱锥 （3）若俯视图是半圆和三角形时，就是是棱锥和半圆锥的组合体 （4）若俯视图是半圆时，就是半圆锥 （5）注意虚线和实线的意义，虚线代表的是
7、看不到的线，实线代表的是能看的见得都是一种平行投影所创造出来的(二)三视图求体积时候，先观察主视图和侧视图，注意主视图和侧视图的高一定都是一样的，并且肯定是立体图形的高，先通过观察判定图形到底是什么立体图形，看看到底是棱锥，棱柱，还是组合体，通常的组合体都是较为简单的组合体，无需过多考虑 （1）如果是棱锥的话，就看俯视图是什么图形，判定后算出俯视图的面积即可，应用体积公式 （2）如果是棱柱的话，同样看俯视图的图形，求出面积，应用公式即可 （3）如果是组合体，要分辨出是哪两种规则图形的组合，分别算出体积相加即可12已知函数 ， ，对 ， ，使得2xfe1ln2gxaR0,b，则 的最小值为（ ）
8、fagbaA B ln12l1C Dee【答案】A【解析】试题分析：令 ，解得 ，21lnxt12ln,tabe，令 ， ，导函数为增函数，且12lntbae12lthe1 2th，所以函数在 递减， 递增，最小值为 0h0,1ln2h【考点】用导数研究函数图象与性质【思路点晴】本题主要考查函数导数与单调性，函数导数研究图象与性质等知识首先画出两个函数的图象，由此来理解题意“对 ， ，使得aR0,b”，根据图象，将问题等价变形为对于相同的函数值，两个函数对应的fagb自变量的距离的最小值来求构造函数后利用导数研究函数的单调性，由此求得最小值二、填空题13设 ，则 25501111xaxaax1
9、25a【答案】 3【解析】试题分析：令 ， ，令 ，x02x50151512,3aa 【考点】二项式定理14关于 的方程 有三个不同示数解，则实数 的取值范围为 x320pxp【答案】 【解析】试题分析： 不是方程的解，化简为 ，令 ，0x32xp32xf，函数在 递减，在 上递增，在2 1fxx,01,处有极小值 ，故 3fp【考点】函数导数与零点15已知 外接圆的圆心为 ，且 ，则 ABCO320ABOCA【答案】 23【解析】试题分析：不妨设外接圆半径为 ，1，两边平方得 ，32023OABCOACB143OAC即 ，故 1cos【考点】向量运算【思路点晴】本题主要考查两个向量数量积的概
10、念，考查两个向量夹角公式的应用，考查特殊角的三角函数值由于三角形的边长不固定，所以不妨假设外接圆的半径为 ，1也可以假设为 ，这个数会在后面运算过程中约掉三个向量的和为零向量，先将一r个移动到另一边，然后两边平方，利用向量运算公式，即可化简出关于 余弦值AOC的表达式，由此求得角的大小16已知圆 和两点 ， ，若圆上存22:341Cxy,0Am,0B在点 ，使得 ，则 的取值范围是 P90AB【答案】 4,6【解析】试题分析：设圆上任意一点为 ，依题意有 ，3cos,4inP0PAB将点的坐标代入上式，化简得，故 2223cos4sin610i16,3m4,6m【考点】圆的参数方程【思路点晴】
11、本题主要考查圆的参数方程，考查化归与转化的数学思想方法，考查两个向量垂直的概念，考查三角恒等变换等知识由于题目给定 ，所以考90APB虑设出点的坐标，然后利用数量积等于零来建立方程，故设出点 的参数方程，即，然后将坐标代入 ，化简后利用三角函数的最值来3cos,4inP 0PAB求 的取值范围m三、解答题17已知 为数列 的前 项和满足 ， nSna0na243nnaS（）求 的通项公式；（）设 ，求数列 的前 项和1nbanb【答案】 （I） ；（II） 2n164【解析】试题分析：（I）利用 化简已知条件，求得通项公式为1()2nnSa；（II）由于 ，用裂项求和法21na1233nbn求
12、得前 项和为 64试题解析：（）当 时， ，因为 ，所以 ，1n21143aSa0n13a当 时， ，2 143nnS即 ，因为 ，所以 所以数列1112nan12n是首项为 3，公差为 2 的等差数列，所以 2a（）由（）知， ，所以数列 的1313nbnnnb前 项和为n12 1357264nb n 【考点】数列求通项与求和18为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为 100 分）进行统计，制成如下频率分布表（）求出上表中的 的
13、值；,xyzsp（）按规定，预赛成绩不低于 90 分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；记高一（2）班在决赛中进入前三位的人数为 ，求 的分布列和数学期望X【答案】 （I） ， ， ， ， ；（II） ；分0.18x9y6z0.12s5p710布列见解析， 【解析】试题分析：（I）利用第三组数据 求出总人数，然后求得/.3的值；（II） 分以上共 人， “甲不在第一位、乙不在最后一位”的,xyzsp概率为 ；随机变量 的可能值为 利用古典概型计算出分布514670AX0,12列
14、，并求得期望与方差试题解析：（）由题已知，由 上的数据，8,9根据样本容量，频率和频数之间的关系得到 ，1650.32n， ， ， ，90.185x 9y6z0.sp（）由（）知，参加决赛的选手共 6 人，设“甲不在第一位，乙不在第六位”为事件 ，A则 ，所以甲不在第一位，乙不在第六位的概率为 514670AP 710随机变量 的可能值为 0,1,2X， 142365CAPX， ，2436105A 24356APX0 1 2P5因为 ，所以随机变量 X的数字期望为 1315EX【考点】频率分布直方图，分布列19如图，在斜三棱柱 中，侧面 与侧面 都是菱形，1ABC1AC1BC， 1160AC2
15、（）求证： ；1ABC（）若 ，求二面角 的余弦值61AB【答案】 （I）证明见解析；（II） 05【解析】试题分析：（I）连 ， ，则 和 皆为正三角形取1C1C1B中点 ，连 ， ，则 ， ，则 ，则1COABOA1OAB平 面；（II）分别以 ， ， 为正方向建立空间直角坐标系，利用平1面 和平面 的法向量，求得二面角的余弦值，注意到二面角为钝角，所以1B1余弦值为负值试题解析：（）证明：连 ， ，则 和 皆为正三角形1ACB1AC1B取 中点 ，连 ， ，1COA1B则 ， ，则 ，则 1 1COAB平 面 1C（）由（）知， ，又 ，136所以 ，如图所示，分别以 ， ， 为正方向建
16、立空间直角坐标系，1OAB1则 ， ， ，0C， ， ,0， A， ，设平面 的法向量为 ，因为11,mxyz， ，13,AB 3C所以 ，取 11030xyz1,设平面 的法向量为 ，因为 ，12,nxy13,0AB，0,2A所以 ，取 2211330xyz1,n则 ，因为二面角 为钝角，cos, 5mn: 1CAD所以二面角 的余弦值为 1CAB10【考点】空间向量法与立体几何20已知椭圆 的离心率为 32，其左顶点 在圆2:10xyWabA上2:16Oxy（）求椭圆 的方程；（）若点 为椭圆 上不同于点 的点，直线 与圆 的另一个交点为 ，是PAPOQ否存在点 ，使得 ？若存在，求出点
17、的坐标；若不存在，说明理由3Q【答案】 （I） ；（II）不存在，理由见解析2164xy【解析】试题分析：（I）左顶点 代入圆的方程，求得 ，根据离心率为,0a4a，求得 ，故椭圆方程为 ；（II）设点 ，323,2cb2164xy1,Pxy，直线 的方程为 ,联立直线的方程和椭圆的方程，求出,QxyAPyk的坐标，进而求得 的值，利用圆心到直线 的距离求得 ，代入PAPQ，所以不存在13QAAP试题解析：（I）因为椭圆 的左顶点 在圆 2:16Oxy上，令 ，得 ，所以W0y4x又离心率为 ，所以 ，所以 ，所以 4a323cea23c22bac所以 的方程为 164xy（II）设点 ， ，
18、设直线 的方程为 ，1,P2,QAP4ykx与椭圆方程联立得 ，2164ykx化简得到 ，因为-4 为方程的一个根，2221360kxk所以 ，所以124x124x所以 28kAP因为圆心到直线 的距离为 ，241kd所以 2226816AQk因为 ，1PAQP代入得到 ，222 28143114PQkkAk显然 ，所以不存在直线 ，使得 23kAP3Q【考点】直线与圆锥曲线位置关系【方法点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用
19、的方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解21已知函数 ，在 处的切线与直线 垂直，函数lnfxax120xy21gxb（）求实数 的值；（）设 ，是函数 的两个极值点，若 ，求122,xgx72b的最小值gx【答案】 （I） ；（II） a15ln28【解析】试题分析：（I）切线与直线 垂直，所以切线斜率为 ，利用导数0xy2等于 ，求得 ；（II）对 求导后通分，由根与系数关系得到两个极值点的21g关系 化简 的表达式为 ，1212,xbx12x1122ln
20、xx令 ，换元后利用导数求得 的最小值为 120tt12g5ln8试题解析：（） ，lnfxaxafx 与直线 垂直， ， 20xy1|2xkya 1（） ，所以令 ，21bg 0gx， 12xb 12x2 21211 2lnln1gbxxb21 112122lnlxx，所以设 ， ，120120ttln01httt，所以 在 单调递减，22thtt t,1又 72b， ，514即 2114xxt， ， ， ，0t2470t 1t 152ln48ht故所求的最小值是 15ln8【考点】函数导数与不等式【方法点晴】本题主要考查导数与切线，导数与极值点、不等式等知识解答此类问题，应该首先确定函数的
21、定义域，否则，写出的单调区间易出错解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理22选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 （ 为参数） ，曲线 （ 为参数） 1,2:3.xtly1cos,:in.xCy（）设 与 相交于 两点，求 ；l1C,AB（）若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 倍，纵坐标压缩为原来的 倍，1 1232得到曲线 ，设点 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离的最小值2P2 l【答案】 （I） ；（II）
22、1AB6214【解析】试题分析：（I）将直线的参数方程消去 得到 ，圆的参数方程t31yx消去参数得 ，联立直线的方程和圆的方程，求得交点坐标，利用两点间的21xy距离公式求得 ；（II）利用 的参数方程，进行伸缩变换后，得到 点的AB1C2C参数方程为 ，利用点到直线距离公式，求得距离的表达式，利用三角cos,23in,xy函数求最值的方法，求得最小值为 6214试题解析：（）直线的普通方程为 3yx， 的普通方程 1C21xy联立方程组 ，解得 与 的交点为 ， ，则21,yxl1,0A3,B1AB（）曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，故点 的坐标是2C1cos,23in,xyP，13c
23、os,in2从而点 P到直线 的距离是l，csi322sin244d由此当 时， 取得最小值，且最小值为 sin14d61【考点】坐标系与参数方程23选修 4-5：不等式选讲设函数 2fxx（）求不等式 的解集；f（）若 ， 恒成立，求实数 的取值范围xR27ftt【答案】 （I） ；（II） |63x或 32t【解析】试题分析：（I）利用零点分段法去绝对值，将函数化为分段函数，由此求得不等式的解集为 ；（II）由（I）值，函数 的最小值为2|x或 fx，即 ，由此解得 13f27t32t试题解析：（I） ，4,12,xf当 ， ， ，1x6x当 ， ， ，2323x当 ， ， ，42综上所述 |6x或（II）易得 ，若 ， 恒成立，min13ffxR21ft则只需 ，22i7360xtt综上所述 32t【考点】不等式选讲
