1、2017 届山西省运城市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题1若集合 A=0，1，2，B=1，2，5，则集合 AB 的子集个数为（ ）A2 B3 C4 D162在复平面内，复数 对应的点的坐标是（ ）A （ 1，1） B （1，1） C （1， 1） D （1，1）3若 a=3 ，b=log cos60，c=log 2tan30，则（ ）Aa b c Bbca Ccba Db ac4在 1 万 km2 的海域中有 40km2 的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是（ ）A B C D5已知一个几何体是由上下两部分组成的合体，其三视图如图，若图中圆的半径为 1，等腰
2、三角形的腰长为 ，则该几何体的体积是（ ）A B2 C D6圆 x2+y24x4y10=0 上的点到直线 x+y14=0 的最大距离与最小距离的差是（ ）A36 B18 C D7设向量 ， 满足| |=1，| + |= ， （ + ）=0，则|2 |=（ ）A2 B2 C4 D48已知数列a n，a n=2n+1，则 =（ ）A B12 n C D1+2 n9已知 x，y 满足 且目标函数 z=3x+y 的最小值是 5，则 z 的最大值是（ ）A10 B12 C14 D1510试在抛物线 y2=4x 上求一点 P，使其到焦点 F 的距离与到 A（2，1）的距离之和最小，则该点坐标为（ ）A B
3、 C D11正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为侧面 ABB1A1 所在平面上的一个动点，且M 到平面 ADD1A1 的距离与 M 到直线 BC 距离相等，则动点 M 的轨迹为（ ）A椭圆 B双曲线 C圆 D抛物线12已知定义在 R 上的函数满足 f（1）=2，且 f（ x）的导数 f（x）在 R 上恒有f（x ）1（x R） ，则不等式 f（x）x +1 的解集为（ ）A （1 ，+） B （，1） C （ 1，1） D （，1）（1，+）二、填空题13设曲线 y=x2x 在点（3，6）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a= 14如果执行的程序框图如图所示，那么输出的 S=
4、 15从 1=12，2+3+4=3 2，3+4+5+6+7=5 2 中，可得到一般规律为 （用数学表达式表示）16设 F 是双曲线 C： =1（a0，b0）的右焦点，过点 F 向 C 的一条渐近线引垂线，垂足为 A，交另一条渐近线于点 B若 2 = ，则双曲线 C 的离心率是 三、解答题17已知a n是公差不为 0 的等差数列，a 1=1，且 a1，a 3，a 9 成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）若 bn= ，求证：数列b n的前 n 项和 Sn118已知函数 f（x ）=2 sin2x+4cos2x3（1）求 f（x）的单调递增区间；（2）在ABC 中，a、b、c 分别为内角
5、A、B 、C 所对的边，且对 xR，f （x）的最大值为 f（A） ，若 a=2，求 的最大值19为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是 0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为 5（1）求第四小组的频率；（2）参加这次测试的学生人数是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数是多少？20如图，侧棱垂直于底面的三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABAC，AA 1+AB+AC=3，AB=AC=t （t0） ，P 是侧棱 AA1 上的动点（1）当 AA1=AB=AC 时，求证： A1C
6、BC 1；（2）试求三棱锥 PBCC1 的体积 V 取得最大值时的 t 值21已知椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，右焦点 F 也是抛物线y2=4x 的焦点（1）求椭圆方程；（2）若直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 =2 ，求直线 l 的方程22设函数 f（x ）=lnx ax2bx（1）当 a=b= 时，求函数 f（x）的单调区间；（2）当 a=0，b=1 时，方程 f（x）=mx 在区间 ，+）内有两个不同的实数解，求实数 m 的取值范围2017 届山西省运城市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1若集合 A=0，1，2，B=1，2，5，则集合 A
7、B 的子集个数为（ ）A2 B3 C4 D16【考点】交集及其运算【分析】由 A 与 B，求出两集合的交集，确定出交集的子集个数即可【解答】解：A=0，1，2，B=1，2，5，AB=1，2，则 AB 的子集个数为 22=4，故选：C2在复平面内，复数 对应的点的坐标是（ ）A （ 1，1） B （1，1） C （1， 1） D （1，1）【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 ，则答案可求【解答】解：由 = ，则复数 对应的点的坐标是：（1，1） 故选：A3若 a=3 ，b=log cos60，c=log 2tan30，则（ ）
8、Aa b c Bbca Ccba Db ac【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数函数和对数函数的性质求解【解答】解：a=3 3 0=1，0= b=log cos60 =1，c=log2tan30log 21=0，a b c 故选：A4在 1 万 km2 的海域中有 40km2 的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是（ ）A B C D【考点】几何概型【分析】由已知得这是一个几何概型，其中所有事件对应的区域面积为 1 万平方千米，满足条件的平面区域为 40 平方千米，代入几何概型计算公式即可求解【解答】解：记“ 在海域中任意一点钻探，钻到油层面”为事件 A，所以事件
9、 A 发生的概率 P（A ）= = 故选：C5已知一个几何体是由上下两部分组成的合体，其三视图如图，若图中圆的半径为 1，等腰三角形的腰长为 ，则该几何体的体积是（ ）A B2 C D【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知，此组合体上部是一个圆锥，下部是一个半球，半球体积易求，欲求圆锥体积需先求圆锥的高，再由公式求体积，最后再想加求出组合体的体积【解答】解：这个几何体上部为一圆锥，下部是一个半球，由于半球的半径为 1，故其体积为 13= ，圆锥的高为 =2，故此圆锥的体积为 212= 此几何体的体积是 V= = 故选：A6圆 x2+y24x4y10=0 上的点到直线 x+y14=0 的
10、最大距离与最小距离的差是（ ）A36 B18 C D【考点】直线与圆相交的性质【分析】先看直线与圆的位置关系，如果相切或相离最大距离与最小距离的差是直径；相交时，圆心到直线的距离加上半径为所求【解答】解：圆 x2+y24x4y10=0 的圆心为（2，2） ，半径为 3 ，圆心到到直线 x+y14=0 的距离为 3 ，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 2R=6 ，故选 D7设向量 ， 满足| |=1，| + |= ， （ + ）=0，则|2 |=（ ）A2 B2 C4 D4【考点】平面向量数量积的运算【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得 =4， =1，从而求得|2 |的值【解答】
11、解：向量 ， 满足| |=1，| + |= ，且 （ + ）=0， +2 + =3=1+2 + ，且 = =1， =4， =1， +2 + =12+4=3，则|2 |= = = =2 ，故选：B8已知数列a n，a n=2n+1，则 =（ ）A B12 n C D1+2 n【考点】等比数列的前 n 项和【分析】先求出数列的第 n 项 = ，然后根据等比数列的求和公式进行求解即可【解答】解：a n+1an=2n+1+1（2 n+1）=2 n = = + + =故选 C9已知 x，y 满足 且目标函数 z=3x+y 的最小值是 5，则 z 的最大值是（ ）A10 B12 C14 D15【考点】简单
12、线性规划【分析】由目标函数 z=3x+y 的最小值为 5，我们可以画出满足条件的可行域，结合目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数 c 的方程组，消参后即可得到 c 的取值，然后求出此目标函数的最大值即可【解答】解：画出 x，y 满足的可行域如下图：可得直线 x=2 与直线2x+y+c=0 的交点 A，使目标函数 z=3x+y 取得最小值 5，故由 ，解得 x=2，y=4c，代入 3x+y=5 得6+4c=5，c=5，由 B（3，1）当过点 B（3，1）时，目标函数 z=3x+y 取得最大值，最大值为 10故选 A10试在抛物线 y2=4x 上求一点 P，使
13、其到焦点 F 的距离与到 A（2，1）的距离之和最小，则该点坐标为（ ）A B C D【考点】抛物线的简单性质【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当 P，A 和焦点三点共线且点 P 在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案【解答】解：y 2=4xp=2，焦点坐标为（1，0）依题意可知当 A、P 及 P 到准线的垂足 Q 三点共线时，距离之和最小如图，故 P 的纵坐标为 1，然后代入抛物线方程求得 x= ，则该点坐标为：（ ，1） 故选 A11正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为侧面 ABB1A1 所在平面上的一个动
14、点，且M 到平面 ADD1A1 的距离与 M 到直线 BC 距离相等，则动点 M 的轨迹为（ ）A椭圆 B双曲线 C圆 D抛物线【考点】抛物线的定义；棱柱的结构特征【分析】根据正方体 ABCDA1B1C1D1，可得|MB|等于 M 到 AA1 的距离，根据抛物线的定义，可得结论【解答】解：BC平面 ABB1A1，|MB|表示 M 到直线 BC 距离相等平面 ADD1A1平面 ABB1A1，M 到平面 ADD1A1 的距离等于 M 到 AA1 的距离M 到平面 ADD1A1 的距离与 M 到直线 BC 距离相等，|MB |等于 M 到 AA1 的距离根据抛物线的定义，可知动点 M 的轨迹为抛物线
15、故选 D12已知定义在 R 上的函数满足 f（1）=2，且 f（ x）的导数 f（x）在 R 上恒有f（x ）1（x R） ，则不等式 f（x）x +1 的解集为（ ）A （1 ，+） B （，1） C （ 1，1） D （，1）（1，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由题意，设 g（ x）=f （x）（x+1） ，x R；求出 g（x） ，判定 g（x）的单调性，由此求出不等式 f（x ）x+1 的解集【解答】解：根据题意，设 g（x）=f （x）（x+1） ，x R；g（x）=f（x）10，g （x）在 R 上是单调减函数；又g （ 1）=f（1 ）（x +1）=0 ，当 x1
16、时，g（x）0 恒成立，即 f（x）x+1 的解集是（1，+） 故选：A二、填空题13设曲线 y=x2x 在点（3，6）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a= 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求函数的导数，得到切线斜率，根据直线垂直关系即可得到解得结论【解答】解：函数的导数 y=2x1，则曲线 y=x2x 在点（3，6）处的切线斜率 k=5，直线 ax+y+1=0 的斜截式方程为 y=ax1，斜率为 a，若切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则a5=1，则 a= ，故答案为 14如果执行的程序框图如图所示，那么输出的 S= 2550 【考点】程序框图【分析】分析程序中各
17、变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出 S=0+2+4+6+100 的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加 S=0+2+4+6+100，S=0+2+4+6+100=2550 故答案为：255015从 1=12，2+3+4=3 2，3+4+5+6+7=5 2 中，可得到一般规律为 n +（n+1）+（n+2）+（3n2）=（ 2n1） 2 （用数学表达式表示）【考点】类比推理【分析】从具体到一般，观察按一定的规律推广【解答】解：从具体到一般，按照一定的规律，可得如下结论：n+（n+1）+（n+2）+（3
18、n2）=（ 2n1） 2故答案为：n+（n+1）+（n+2）+（3n 2）=（2n1） 216设 F 是双曲线 C： =1（a0，b0）的右焦点，过点 F 向 C 的一条渐近线引垂线，垂足为 A，交另一条渐近线于点 B若 2 = ，则双曲线 C 的离心率是 2 【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意得右焦点 F（c ，0） ，设一渐近线 OA 的方程为 y= x，则另一渐近线 OB 的方程为 y= x，由垂直的条件可得 FA 的方程，代入渐近线方程，可得 A，B 的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得【解答】解：由题意得右焦点 F（c ，0） ，设一渐近线 OA 的方程为
19、y= x，则另一渐近线 OB 的方程为 y= x，由 FA 的方程为 y= （xc） ，联立方程 y= x，可得 A 的横坐标为 ，由 FA 的方程为 y= （xc） ，联立方程 y= x，可得 B 的横坐标为 由 2 = ，可得 2（ c）= c，即为 c= ，由 e= ，可得 1= ，即有 e45e2+4=0，解得 e2=4 或 1（舍去） ，即为 e=2故答案为：2三、解答题17已知a n是公差不为 0 的等差数列，a 1=1，且 a1，a 3，a 9 成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）若 bn= ，求证：数列b n的前 n 项和 Sn1【考点】数列的求和；等差数列的通项公式
20、【分析】 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出（2）利用“裂项求和” 方法即可得出【解答】 （1）解：设等差数列a n的公差为 d0， a 1，a 3，a 9 成等比数列 ，即（1+2d） 2=1（1+8d ） ，化为：d 2=d，d0，解得 d=1a n=1+（n1 ）=n（2）证明：b n= = = S n= + =1 118已知函数 f（x ）=2 sin2x+4cos2x3（1）求 f（x）的单调递增区间；（2）在ABC 中，a、b、c 分别为内角 A、B 、C 所对的边，且对 xR，f （x）的最大值为 f（A） ，若 a=2，求 的最大值【考点】三角函数中的恒等变换应用；
21、平面向量数量积的运算【分析】 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得 f（ x）的单调递增区间（2）由条件求得 A 的值，利用余弦定理、基本不等式求得 bc 的最大值，可得 =bccosA 的最大值【解答】解：（1）函数 f（x ）=2 sin2x+4cos2x3=2 sin2x+4 3=2 sin2x+2cos2x1=4sin（2x+ ）1，令 2k 2x+ 2k + ，求得 k x k+ ，故函数的增区间为k，k+ ，kZ（2）在ABC 中，f（x ）=4sin（2A+ ） 1 的最大值为 f（A）=3 ，此时，A=，若 a=2，则 a2=4=b2+c22bcc
22、osA2bc bc，bc =8+4 ， =bccosA= bc 的最大为 4（2+ ）=6+4 19为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是 0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为 5（1）求第四小组的频率；（2）参加这次测试的学生人数是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数是多少？【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数【分析】 （1）由题意可得第四个小组的频率为 10.10.30.4，运算求得结果（2）设参加这次测试的学生人数是 x，则由题意可得 =0.1，解得 x
23、的值（3）由频率分步直方图的性质可得，学生跳绳次数的中位数所在的垂直于横轴的直线平分直方图的面积，可得中位数约为 99.5+ ，运算求得结果【解答】解：（1）由题意可得第四个小组的频率为 10.10.30.4=0.2（2）设参加这次测试的学生人数是 x，则由题意可得 =0.1，解得 x=50（3）由频率分步直方图的性质可得，学生跳绳次数的中位数所在的垂直于横轴的直线平分直方图的面积，故中位数约为 99.5+ =105.7520如图，侧棱垂直于底面的三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABAC，AA 1+AB+AC=3，AB=AC=t （t0） ，P 是侧棱 AA1 上的动点（1）当 AA1=AB=
24、AC 时，求证： A1CBC 1；（2）试求三棱锥 PBCC1 的体积 V 取得最大值时的 t 值【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】 （1）推导出 AC1A 1C，ABAC ，ABAA 1，由此能证明 A1CBC 1（2）推导出点 P 到平面 BB1C1C 的距离等于点 A 到平面 BB1C1C 的距离，从而三棱锥 PBCC1 的体积 = = ，再利用导数能求出三棱锥PBCC1 的体积 V 取得最大值时的 t 值【解答】证明：（1）AA 1面 ABC，AA 1AC，AA 1AB，又AA 1=AC， 四边形 AA1C1C 是正方形，AC 1A 1C，ABAC，
25、ABAA 1，AA 1，AC 平面 AA1C1C，AA 1AC=A，A 1C平面 ABC1，A 1CBC 1解：（2）AA 1平面 BB1C1C，点 P 到平面 BB1C1C 的距离等于点 A 到平面 BB1C1C 的距离，三棱锥 PBCC1 的体积：= = = = （0t ） ，V=t（t1） ，令 V=0，得 t=1 或 t=0（舍） ，当 t（0 ，1）时， V0，函数 V（t）是增函数，当 t（1 ， ）时，V0，函数 V（t）是减函数，当 t=1 时，V max= 21已知椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，右焦点 F 也是抛物线y2=4x 的焦点（1）求椭圆方程；（2）若直
26、线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 =2 ，求直线 l 的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】 （1）根据抛物线的方程与焦点坐标的关系求出椭圆的右焦点 F，得到椭圆的参数 c 的值，利用椭圆的离心率公式求出椭圆中的参数 a，根据椭圆中的三个参数的关系求出 b，代入椭圆的方程，求出椭圆方程（2）先检验直线的斜率非零，设出两个交点 A，B 的坐标，由已知的向量关系得到两个交点坐标间的关系，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，据韦达定理得到两个交点坐标的关系，联立几个关于坐标的等式，求出 m 的值即得到直线的方程【解答】解：（1）根据 F（1，0） ，即 c=1，据
27、得 ，故 ，所以所求的椭圆方程是 （2）当直线 l 的斜率为 0 时，检验知 设 A（x 1，y 1）B（x 2，y 2） ，根据 得（1x 1，y 1）=2（x 21，y 2）得 y1=2y2设直线 l：x=my+1，代入椭圆方程得（ 2m2+3）y 2+4my4=0，故 ，得 ，代入 得，即 ，解得 ，故直线 l 的方程是 22设函数 f（x ）=lnx ax2bx（1）当 a=b= 时，求函数 f（x）的单调区间；（2）当 a=0，b=1 时，方程 f（x）=mx 在区间 ，+）内有两个不同的实数解，求实数 m 的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分
28、析】 （1）求出函数的导数，从而得到函数的单调区间；（2）问题转化为只需 m=1+ 有两个实数解，令 g（x）=1 + ， （x0） ，求出 g（ x）的最值，从而求出 m 的范围即可【解答】解：（1）当 a=b= 时，f（x）=lnx x2 x（x0） ，f（x ）= x = ，易知 f（ x）在（0，1上递增，在 1，+）上递减，故 f（x）的最大值为 f（1）= （2）当 a=0，b=1 时，f（ x）=lnx+x，由 f（x）=mx，得 lnx+x=mx，又 x0，于是 m=1+ ，要使方程 f（x）=mx 在区间 ，+）内有两个不同的实数解，只需 m=1+ 区间 ，+ ）内有两个不同的实数解，令 g（ x）=1+ ， （x0） ，于是 g（x）= ，由 g（x）0 ，得 0x e，由 g（x）0 ，得 xe，于是 g（x ）在区间 ，e上是增函数，在区间e，+）上是减函数，g（ ） =1e，g （e）=1 + ，故 1em1+
