1、2017 届山东省威海市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足（1+i）z=2i，则 z 的虚部是（ ）A1 B1 Ci Di2若集合 ，B=x|x |3，则集合 AB 为（ ）Ax |5x3 B x|3x2 Cx|5 x3 Dx|3x23已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）A2 B C1 D 24下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x 与相应的生产能耗 y 的几组对应数据：x 4 2 3 5y 49
2、m 39 54根据上表可得回归方程 ，那么表中 m 的值为（ ）A27.9 B25.5 C26.9 D265函数 的一条对称轴为（ ）A B C D6已知实数 x，y 满足 ，若 z=3xy 的最大值为 3，则实数 k 的值为（ ）A 1 B1 C2 D37设 m，n 是不同的直线， ， 是不同的平面，下列四个命题为真命题的是（ ）若 m ， nm ，则 n ； 若 ，n，m ，则 nm；若 m ， n，m n，则 ；若 m ， n，m n，则 A B C D8已知双曲线 与抛物线 y2=8x 的准线交于点 P，Q，抛物线的焦点为F，若PQF 是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B C
3、D9已知 Rt ABC，两直角边 AB=1，AC=2，D 是ABC 内一点，且DAB=60，设 （，R ） ，则 =（ ）A B C3 D10已知函数 f（x ）的定义域为 D，若对于a，b，cD，f （a） ，f （b） ，f（c）分别为某个三角形的边长，则称 f（x ）为“ 三角形函数”给出下列四个函数：f（ x）=lnx（e 2x e 3） ；f（x）=4 cosx； ；其中为“三角形函数 ”的个数是（ ）A1 B2 C3 D4二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图） 若
4、要从身高在100，110） ，110，120） ，120， 130）三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 28 人参加一项活动，则从身高在120，130 ）内的学生中选取的人数应为 12已知 ，那么 的展开式中含 的项的系数为 13不等式|2x1|+|2x+9|10 的解集为 14某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 15定义在 R 上的函数 f（ x）满足 2f（4x）=f（x）+x 22，则曲线 y=f（x ）在点（2，f（2） ）处的切线方程是 三、解答题：本大题 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，
5、b， c，且满足（）求角 C 的值；（）若 a=5，ABC 的面积为 ，求 sinB 的值17空间几何体 ABCDEF 如图所示已知面 ABCD 面 ADEF，ABCD 为梯形，ADEF 为正方形，且 ABCD，ABAD，CD=4，AB=AD=2 ，G 为 CE 的中点（）求证：BG面 ADEF；（）求证：面 DBG面 BDF18已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1=1，a n0， 2anan+1=tSn2，其中 t 为常数（）设 bn=an+1+an，求证：b n为等差数列；（）若 t=4，求 Sn19某校开设的校本课程分别有人文科学、自然科学、艺术体育三个课程类别，每种课程类别开设
6、课程数及学分设定如下表所示：人文科学类 自然科学类 艺术体育类课程门数 4 4 2每门课程学分 2 3 1学校要求学生在高中三年内从中选修 3 门课程，假设学生选修每门课程的机会均等（）甲至少选 1 门艺术体育类课程，同时乙至多选 1 门自然科学类课程的概率为多少？（）求甲选的 3 门课程正好是 7 学分的概率；（）设甲所选 3 门课程的学分数为 X，写出 X 的分布列，并求出 X 的数学期望20已知函数 f（x ）=x 2+alnxx（a0） ，g（x）=x 2（）求函数 f（x）的单调区间；（）若对于任意的 a（1，+） ，总存在 x1，x 21，a ，使得 f（x 1）f（x 2）g（
7、x1） g（x 2）+m 成立，求实数 m 的取值范围21已知椭圆 C 的离心率为 ，F 1，F 2 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上任意一点，PF 1F2 的周长为 ，直线 l：y=kx +m（k0）与椭圆 C 相交于A，B 两点（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 l 与圆 x2+y2=1 相切，过椭圆 C 的右焦点 F2 作垂直于 x 轴的直线，与椭圆相交于 M，N 两点，与线段 AB 相交于一点（与 A，B 不重合） 求四边形 MANB 面积的最大值及取得最大值时直线 l 的方程；（）若|AB|=2，试判断直线 l 与圆 x2+y2=1 的位置关系2017 届山东省威海市高三（上）
8、期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足（1+i）z=2i，则 z 的虚部是（ ）A1 B1 Ci Di【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由（1+i）z=2i，得 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由（1+i）z=2i ，得 = ，则 z 的虚部是：1故选：A2若集合 ，B=x|x |3，则集合 AB 为（ ）Ax |5x3 B x|3x2 Cx|5 x3 Dx|3x2【考点】并集及其运算【分析】分别化简集合 A，B ，再
9、由并集的含义即可得到【解答】解：集合 =x|5x 2，B=x|x|3 =x|3x 3，则 AB=x |5x3故选：C3已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）A2 B C1 D 2【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算变量 a 的值并输出，依次写出每次循环得到的a， i 的值，当 i=11 时，满足条件，计算即可得解【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：a i 是否继续循环循环前 2 1第一圈 2 是第二圈1 3 是第三圈 2 4 是第 9 圈 2 10 是第 10 圈 11 是故最后输出的 a
10、值为 故选：B4下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x 与相应的生产能耗 y 的几组对应数据：x 4 2 3 5y 49 m 39 54根据上表可得回归方程 ，那么表中 m 的值为（ ）A27.9 B25.5 C26.9 D26【考点】线性回归方程【分析】根据回归直线方程过样本中心点（ ， ） ，即可求出 m 的值【解答】解：由题中表格数据，计算= （4 +2+3+5）=3.5，代入回归直线方程 9.4x+9.1 中，计算 =9.43.5+9.1=42，即 = （49+m+39+54）=42，解得 m=26故选：D5函数 的一条对称轴为（ ）A B C D【考点】
11、弧长公式；二倍角的余弦【分析】利用倍角公式可得函数 y= cos（2x ）+ ，由 2x =k，k Z，解得对称轴方程，k 取值为1 即可得出【解答】解： = = cos（2x ）+ ，令 2x =k，k Z，解得对称轴方程为： x= + ，k Z，当 k=1 时，一条对称轴为 x= 故选：D6已知实数 x，y 满足 ，若 z=3xy 的最大值为 3，则实数 k 的值为（ ）A 1 B1 C2 D3【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据 z 的几何意义，利用数形结合即可得到 a 的值【解答】解：不等式组 ，对应的平面区域如图：由 z=3xy 得 y=3xz，平移直线 y=
12、3xz，则由图象可知当直线 y=3xz 经过点 A 时直线 y=3xz 的截距最小，此时 z 最大，为 3xy=3，解得 ，即 A（1，0） ，此时点 A 在 x=k，解得 k=1，故选：B7设 m，n 是不同的直线， ， 是不同的平面，下列四个命题为真命题的是（ ）若 m ， nm ，则 n ； 若 ，n，m ，则 nm；若 m ， n，m n，则 ；若 m ， n，m n，则 A B C D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】，若 m，nm，则 n 或 n； ，若 ，nn，又m，则 nm；，若 m，n，m n，则 、 不一定垂直；，若 n，mnm ，又m ，则 【解答】解：对于，
13、若 m，nm，则 n 或 n，故错； 对于，若 ，nn ，又m，则 nm，故正确；对于，若 m，n，mn ，则 、 不一定垂直，故错；对于，若 n，mn m，又m ，则 ，故正确故选：C8已知双曲线 与抛物线 y2=8x 的准线交于点 P，Q，抛物线的焦点为F，若PQF 是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意，x= 2，等边三角形的边长为 ，将（2， ）代入双曲线，可得方程，即可求出 m 的值【解答】解：由题意，x= 2，等边三角形的边长为 ，将（2， ）代入双曲线 ，可得 =1， ，故选：B9已知 Rt ABC，两直角边 AB=1，AC=2
14、，D 是ABC 内一点，且DAB=60，设 （，R ） ，则 =（ ）A B C3 D【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】建立平面直角坐标系，分别写出 B、C 点坐标，由于DAB=60，设 D点坐标为（m， ） ，由平面向量坐标表示，可求出 和 【解答】解：如图以 A 为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 B 点坐标为（1，0） ，C 点坐标为（0，2） ，DAB=60，设 D 点坐标为（m， ） ，=（1，0）+ （0，2）=（，2）=m，= ，则 = 故选：A10已知函数 f（x ）的定义域为 D，若对于a，b，cD，f （a）
15、 ，f （b） ，f（c）分别为某个三角形的边长，则称 f（x ）为“ 三角形函数”给出下列四个函数：f（ x）=lnx（e 2x e 3） ；f（x）=4 cosx； ；其中为“三角形函数 ”的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【考点】函数的值【分析】利用“ 三角形函数” 的定义，分别判断所给的四个函数，能求出结果【解答】解：对于，f（x ）=lnx （e 2x e 3） ，对于a，b，ce 2，e 3， f（a） ，f（b ） ，f （c）2，3，f（ a） ，f（b） ，f（c）分别为某个三角形的边长，故是“三角形函数”；在中，f（x）=4cosx，对于a ，b ，c D，f （a） ，
16、f （b） ，f（c）3，5，f（ a） ，f（b） ，f（c）分别为某个三角形的边长，故是“三角形函数”；在中， ，对于a，b，c（1，4） ，f （a） ，f （b） ，f（c）（ 1，2） ，f（ a） ，f（b） ，f（c）为某个三角形的边长，故是“三角形函数”；在中， ，对于a，b，cD，f（a） ，f （b） ，f（c） （0，1） ，f（ a） ，f（b） ，f（c）不一定是某个三角形的边长，故不是“三角形函数”故选：C二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图） 若
17、要从身高在100，110） ，110，120） ，120， 130）三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 28 人参加一项活动，则从身高在120，130 ）内的学生中选取的人数应为 12 【考点】频率分布直方图【分析】由频率分布直方图，先求出身高在120，130）内的频率，再由分层抽样原理求出抽取的学生人数【解答】解：由频率分布直方图，得身高在120，130）内的频率为：1（ 0.005+0.010+0.020+0.035）10=0.3，所以身高在100，110 ） ，110，120 ） ，120，130 ）三组频率分别为0.05，0.35 ，0.3 ，故三组的人数比为 1：7：6；用分层抽样
18、的方法从三组选取 28 人参加一项活动，从身高在120，130 ）内的学生中抽取的人数应为：28 =12故答案为：1212已知 ，那么 的展开式中含 的项的系数为 30 【考点】二项式系数的性质【分析】由定积分求出 n=6，从而 Tr+1=（ 5） 6r ，令 ，解得r=5，由此能求出 的展开式中含 的项的系数【解答】解： =（lnx） =lne6ln1=6， = ，Tr+1= =（ 5） 6r ，令 ，解得 r=5， 的展开式中含 的项的系数为： =30故答案为：3013不等式|2x1|+|2x+9|10 的解集为 【考点】绝对值不等式的解法【分析】将绝对值不等式去掉，在每一段上解不等式，再
19、求它们的并集即可【解答】解：当 x 时， 4x+810，解得 x ；当 ，1010，解得无解；当 x 时，4x810，解得 x ；综上所述不等式的解集为 故答案为 14某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的棱柱，代入柱体体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的棱柱，底面面积为：S=22=4，底面周长为：C=2（2+ ）=4+4 ，高 h=4，故几何体的表面积为：2S+Ch= ；故答案为： 15定义在 R 上的函数 f（ x）满足 2f（4x
20、）=f（x）+x 22，则曲线 y=f（x ）在点（2，f（2） ）处的切线方程是 4x +3y14=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先根据 2f（4 x）=f（x）+x 22，求出函数 f（x）的解析式，然后对函数f（x）进行求导，进而可得到 y=f（x）在点（2 ，f（2） ）处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求导切线方程【解答】解：2f（4 x）=f（x）+x 22，将 x 换为 4x，可得 f（ 4x）=2f （x）（4x） 2+2将 f（4x）代入 f（x ）=2f（4x）x 2+2，得 f（x）=4f（x）2（4x） 2+4x2+2，f（ x）= （3x 216
21、x+26） ，f（x ）=2x ，y=f（x）在（2，f（2） ）处的切线斜率为 y= 函数 y=f（x）在（2，2）处的切线方程为 y2= （x2） ，即为 4x+3y14=0故答案为：4x+3y14=0三、解答题：本大题 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b， c，且满足（）求角 C 的值；（）若 a=5，ABC 的面积为 ，求 sinB 的值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】 （）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合 sinB0 ，可得： ，进而可求C 的值（）由已知利用三角形面积公式可求
22、 b，由余弦定理得 c，进而利用正弦定理可求 sinB 的值【解答】 （本小题满分 12 分）解：（）由正弦定理， ，可整理变形为： ，由 A=（B +C） ，可得：sinA=sin（B+C ）所以： ，整理得： ，因为 sinB0，所以 ，可得： ， ， （）由已知 a=5， ，得 ，由余弦定理得 c2=a2+b22abcosC=21，故 ，可得： 17空间几何体 ABCDEF 如图所示已知面 ABCD 面 ADEF，ABCD 为梯形，ADEF 为正方形，且 ABCD，ABAD，CD=4，AB=AD=2 ，G 为 CE 的中点（）求证：BG面 ADEF；（）求证：面 DBG面 BDF【考点】
23、平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】 （）取 ED 中点 H，连接 HG、AH，只需证明 AHBG 即可；（）取 BD 中点 O，连接 OF，OG、DG，易得 FOG 为二面角 FBDG 的平面角，解OFG 即可【解答】证明：（ I）如图 1，取 ED 中点 H，连接 HG、AH ，因为 G、H 分别为 EC、ED 的中点，所以 HGCD 且因为 ABCD 且所以 ABHG，且 AB=HG所以 AHGB 为平行四边形，所以 AHBG ；因为 BG面 PBC，AH面 PBC，所以 BG面 ADEF；图 1（）如图 2，ABCD面 ADEF 及 EDDCED 面 ADCDEDDC取
24、BD 中点 O，连接 OF，OG、DGABAD，CD=4，AB=AD=2，BF=DF=DB=2 ，OF BD，OF= ，BG=AH= ，DG= EC= ，OGBD，OG=FOG 为二面角 FBDG 的平面角；在OFG 中，OF= ，OG= ，FG= ，满足 OF2+OG2=FG2， FOG 为直角，面 DBG面 BDF18已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1=1，a n0， 2anan+1=tSn2，其中 t 为常数（）设 bn=an+1+an，求证：b n为等差数列；（）若 t=4，求 Sn【考点】数列的求和；等差关系的确定【分析】 （）利用 2anan+1=tSn2，将条件变形，利
25、用等比数列的定义证明是常数（）利用条件，由（ I）可得 an+2an=2，即数列a n的奇数项和偶数项分别为公差为 2 的等差数列，根据等差数列的求和公式，分类求出即可【解答】解：（I）证明： 2anan+1=tSn2，2a n+1an+2=tSn+12，可得 2an+1（a n+2an）=tS n+1tSn=tan+1因为 an+10，所以 ，因为 t 为常数，所以数列b n为等差数列（II）若 t=4，由（I）可得 an+2an=2即数列a n的奇数项和偶数项分别为公差为 2 的等差数列，由 a1=1，可得 a2=2a11=1，当 n 为奇数时，a n的奇数项和偶数项分别为 项所以 ，当
26、n 为偶数时，a n的奇数项和偶数项分别为 项所以 ，综上， 19某校开设的校本课程分别有人文科学、自然科学、艺术体育三个课程类别，每种课程类别开设课程数及学分设定如下表所示：人文科学类 自然科学类 艺术体育类课程门数 4 4 2每门课程学分 2 3 1学校要求学生在高中三年内从中选修 3 门课程，假设学生选修每门课程的机会均等（）甲至少选 1 门艺术体育类课程，同时乙至多选 1 门自然科学类课程的概率为多少？（）求甲选的 3 门课程正好是 7 学分的概率；（）设甲所选 3 门课程的学分数为 X，写出 X 的分布列，并求出 X 的数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算
27、公式；离散型随机变量及其分布列【分析】 （I）利用互斥事件与互相独立事件的概率计算公式即可得出（II）甲选课程的学分可能为（3，3，1） ， （3，2，2） ，利用互斥事件与互相独立事件的概率计算公式即可得出（III）X 的可能取值为 4，5，6，7，8，9利用互斥事件与互相独立事件的概率计算公式即可得出【解答】解：（）设甲至少选一门艺术体育类课程的事件为 A，；乙至多选一门自然科学类课程的事件为 B， ；则所求概率为 （）甲选课程的学分可能为（3，3，1） ， （3，2，2） ，所以甲选课程的学分正好为 7 学分的概率为 （）X 的可能取值为 4，5，6，7，8，9 ； ； ； ； ；所以随
28、机变量 X 的分布列为：X 4 5 6 7 8 9P所以随机变量 X 的数学期望20已知函数 f（x ）=x 2+alnxx（a0） ，g（x）=x 2（）求函数 f（x）的单调区间；（）若对于任意的 a（1，+） ，总存在 x1，x 21，a ，使得 f（x 1）f（x 2）g（ x1） g（x 2）+m 成立，求实数 m 的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】 （）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，得到函数的单调区间即可；（）令 F（x）=f（x）g（x）=x 2+alnxxx2=alnxx，x1，a 原问题等价于：对任意的 a（1，+） ，总存在 x1，x 21，a，使得
29、 F（x 1）F （x 2）m 成立，即 F（x） maxF（x） minm，根据函数的单调性求出 m 的范围即可【解答】解：（）f（x ）的定义域为（0，+） ， 令 2x2x+a=0， =1 8a（1）当=18a0，即 时，2x 2x+a0 恒成立，即 f（x ）0 恒成立，故函数 f（x ）的单增区间为（ 0，+） ，无单减区间 （2）当0，即 时，由 2x2x+a=0 解得 或i）当 时，0x 1x 2，所以当 或 时 f（x）0当 时 f（x ）0（3）当 a0 时，所以当 时 f（x ）0，当 时 f（x）0；综上所述：当 时，函数 f（x）的单增区间为（ 0，+） ，无单减区间当
30、 时，函数 f（x ）的单增区间为 和，单减区间为 当 a0 时，函数 f（x ）的单增区间为 ，单减区间为（）令 F（x）=f（x）g（x）=x 2+alnxxx2=alnxx，x1，a 原问题等价于：对任意的 a（1，+） ，总存在 x1，x 21，a ，使得 F（x 1）F（x 2）m 成立，即 F（x） maxF（x） minm ，a（1，+） ，x 1，a ，F （ x）0，F（x）在 x1，a上单调递增，F（x）F（x） maxF（x） min=F（a）F（1）=alna a+1，即 alnaa+1m 对任意的 a（1 ，+）恒成立，令 h（a）=alnaa+1，a（1，+） ，只
31、需 h（a） minm，h（a）=lna，a（1，+） ，h（a）0，h（a ）在 a（1，+）上单调递增，h（a）h（1）=0，所以 m021已知椭圆 C 的离心率为 ，F 1，F 2 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上任意一点，PF 1F2 的周长为 ，直线 l：y=kx +m（k0）与椭圆 C 相交于A，B 两点（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 l 与圆 x2+y2=1 相切，过椭圆 C 的右焦点 F2 作垂直于 x 轴的直线，与椭圆相交于 M，N 两点，与线段 AB 相交于一点（与 A，B 不重合） 求四边形 MANB 面积的最大值及取得最大值时直线 l 的方程；（）若|AB|=
32、2，试判断直线 l 与圆 x2+y2=1 的位置关系【考点】椭圆的简单性质【分析】 （）由题意列关于 a，b，c 的方程组，求解方程组可得 a，b 的值，则椭圆 C 的方程可求；（）由已知求出 MN 的长度，然后，由直线和圆相切得到 m，k 的关系，再联立直线方程和椭圆方程，求出 A，B 的横坐标，代入四边形面积公式，利用基本不等式求得最值，并得到使四边形 ACBD 的面积有最大值时的 m，k 的值，从而得到直线 l 的方程（）由|AB|=2，得到 m，k 的关系，再用 m，k 表示圆心到直线 l 的距离 d，求出 d 的取值范围即可【解答】 （本小题满分 14 分）解：（ I）设椭圆的方程为 ，由题可知 ，解得 ，所以椭圆 C 的方程为 （ II）令 ，解得 ，所以|MN|=1，直线 l 与圆 x2+y2=1 相切可得 ，即 k2+1=m2，联立直线与椭圆的方程，整理得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m24=0所以 将 k2+1=m2 代入可得 当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 所以，当 时，四边形 MANB 的面积具有最大值 ，直线 l 方程是或 （ III） 整理得 ，所以设圆心到直线 l 的距离为 d，则 设 1+k2=t，t1，则 k2=t1，所以 当 ，即 时，d 2=1，所以当 时，直线 l 与圆相切，当 ，时，直线 l 与圆相交2017 年 2 月 10 日
