1、2015-2016 学年江苏省盐城市射阳二中高三（上）期初数学试卷一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写答题纸相应的位置上）1已知集合 M=1，1，2，集合 N=y|y=x2，x M，则 MN= 2复数 的虚部为 3已知函数 f（x）= ，则不等式 f（x）x 2 的解集为 4已知a n为等差数列， a1+a3=22，a 6=7，则 a5= 5已知双曲线 的一条准线与抛物线 y2=4x 的准线重合，则双曲线的离心率为 6若函数 g（x）=4 x+2x2 的零点在（n，n+1）之间，nN，则 n= 7函数 的值域为 8若 ， ，则 = 9已知不等式 ax2+
2、bx+c0 的解集是 ，则 cx2bx+a0 的解集是 10已知角 的终边过点 P（ 4，3），则 2sin+cos 的值是 11已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在0，+ ）上为增函数， ，则不等式的解集为 12设x表示不超过 x 的最大整数，如1.5=1 ，1.5=2 若函数 （a0，a1），则g（x）=f（x） +f（x） 的值域为 13若 a0，b0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的 a，b 恒成立的是 （写出所有正确命题的编号）ab1； ；a2+b22；a3+b33； 14三个同学对问题“关于 x 的不等式 x2+25+|x35x2|ax 在1 ，12 上恒成立，求实
3、数 a 的取值范围” 提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量 x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值 ”丙说：“把不等式两边看成关于 x 的函数，作出函数图象 ”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 a 的取值范围是 二、解答题（本大题共 6 道题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15已知 ， ，设 ，（1）当 时，求 f（x）的最小值及取得最小值时 x 的取值集合；（2）若锐角 满足 ，求 的值16如图所示，四棱锥 PABCD 底面是直角梯形，BAAD，CDAD，CD=2AB，PA 底面
4、 ABCD，E 为PC 的中点， PA=AD=AB=1（1）证明：EB平面 PAD；（2）证明：BE平面 PDC；（3）求三棱锥 BPDC 的体积 V17某小区有一块三角形空地，如图ABC，其中 AC=180 米，BC=90 米，C=90，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所，在ABC 内的 P 点处有一服务站（其大小可忽略不计），开发商打算在AC 边上选一点 D，然后过点 P 和点 D 画一分界线与边 AB 相交于点 E，在ADE 区域内绿化，在四边形BCDE 区域内修建运动场所现已知点 P 处的服务站与 AC 距离为 10 米，与 BC 距离为 100 米设 DC=d米，试问 d
5、取何值时，运动场所面积最大？18已知函数 f（x）=x 3ax2（aR）（）若 f（1 ）=3，（i）求曲线 y=f（x）在点（ 1，f（1）处的切线方程，（ii）求 f（x）在区间0，2上的最大值；（）若当 x0，2 时，f（x）+x0 恒成立，求实数 a 的取值范围19在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： + =1（a b0）的左、右顶点分别为 A，B，离心率为 ，右准线为 l：x=4 M 为椭圆上不同于 A，B 的一点，直线 AM 与直线 l 交于点 P（1）求椭圆 C 的方程；（2）若 ，判断点 B 是否在以 PM 为直径的圆上，并说明理由；（3）连接 PB 并延长交椭圆 C 于点
6、 N，若直线 MN 垂直于 x 轴，求点 M 的坐标20已知数列a n首项是 a1=1，且满足递推关系 （1）证明：数列 是等差数列，并求数列 an的通项公式；（2）求等差数列 使得对一切自然数 nN*都有如下的等式成立：；（3）c n=nbn，是否存在正常数 M 使得 对 nN*恒成立，并证明你的结论2015-2016 学年江苏省盐城市射阳二中高三（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写答题纸相应的位置上）1已知集合 M=1，1，2，集合 N=y|y=x2，x M，则 MN= 1 【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析
7、】求出集合 N 中函数的值域确定出集合 N，再利用交集的定义求出两集合的交集即可【解答】解：由集合 N 中的函数 y=x2，xM 得到 x2=1，4，所以集合 N=1，4，由集合集合 M=1，1，2，则 MN=1故答案为：1【点评】此题属于以函数的值域为平台，考查了交集的运算，是一道基础题2复数 的虚部为 【考点】复数代数形式的混合运算；复数的基本概念【专题】计算题【分析】复数的分子展开化简，然后利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数化简为 a+bi 的形式，即可得到复数的虚部【解答】解：复数 = = = = 所以复数的虚部为： 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概
8、念，考查计算能力3已知函数 f（x）= ，则不等式 f（x）x 2 的解集为 1，1 【考点】其他不等式的解法【专题】计算题；分类讨论【分析】分 x 小于等于 0 和 x 大于 0 两种情况根据分段函数分别得到 f（x）的解析式，把得到的 f（x）的解析式分别代入不等式得到两个一元二次不等式，分别求出各自的解集，求出两解集的并集即可得到原不等式的解集【解答】解：当 x0 时，f（x）=x+2，代入不等式得：x+2x 2，即（x2 ）（x+1） 0，解得 1x2，所以原不等式的解集为1，0 ；当 x0 时，f（x）= x+2，代入不等式得：x+2x 2，即（x+2）（x1） 0，解得 2x1，所
9、以原不等式的解集为0，1，综上，原不等式的解集为1，1故答案为： 1，1【点评】此题考查了不等式的解法，考查了转化思想和分类讨论的思想，是一道基础题4已知a n为等差数列， a1+a3=22，a 6=7，则 a5= 8 【考点】等差数列的性质【专题】计算题【分析】先根据a n为等差数列， a1+a3=22，a 6=7 求出数列的首项和公差，然后求出 a5 的值即可【解答】解：a n为等差数列，a 1+a3=22，a 6=7，2a1+2d=22，a 1+5d=7解得：a 1=12，d= 1a5=a1+4d=124=8故答案为：8【点评】本题主要考查了等差数列的性质，以及二元一次方程组的求解，属于
10、基础题5已知双曲线 的一条准线与抛物线 y2=4x 的准线重合，则双曲线的离心率为 【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；函数思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求得抛物线的准线方程，进而求得双曲线的准线方程表达式，进而求得 b，则 c 可得，进而求得双曲线的离心率【解答】解：依题意可知抛物线准线方程为 x=2，准线在 x 轴上双曲线的准线方程为 x= ， =1，解得 m=2c= =2双曲线的离心率 e= = = 故答案为： 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质解题的关键是熟练掌握双曲线性质中长轴、短轴、焦距、离心率等之间的关系6若函数 g（x）=4 x+2x2 的零点在（
11、n，n+1）之间，nN，则 n= 0 【考点】函数零点的判定定理【专题】函数思想；转化思想【分析】根据函数 g（x）=4 x+2x2，求出函数的单调性和零点所在的区间，再由函数 g（x）=4 x+2x2 的零点在（n，n+1）之间，nN，求出 n 的值【解答】解；函数 g（x）在0 ，1上连续且单调递增，g（0）=1 2=1 0，g（1）=40函数 g（x）=4 x+2x2 在0，1上有一个零点，又 函数 g（x）=4 x+2x2 的零点在（n，n+1）之间，n Nn=0故答案为 0【点评】考查函数零点与函数图象与 x 轴的交点问题，体现了转化的思想方法，属基础题7函数 的值域为 【考点】函数
12、的值域【专题】计算题；转化思想【分析】利用换元法，将原函数转化成二次函数在给定区间上的值域，解题时注意换元后变量的范围【解答】解：令 =t0，则 x=t2+1y=2（t 2+1）t=2t 2t+2=2（t ） 2+ 当且仅当 t= 时取到等号函数 的值域为故答案为：【点评】本题主要考查函数的值域的求法，解题时注意合理地进行等价转化，同时考查了运算求解能力，属于基础题8若 ， ，则 = 2 【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；平面向量及应用【分析】由已知首先求出 是数量积，然后根据向量的模的平方与向量的平方相等解答【解答】解：由已知 ， ，则=9+412 =9，所以 = ，则
13、2= =9+1+2=12，所以 =2 ；故答案为：2 【点评】本题考查了数量积的公式的应用求向量的模9已知不等式 ax2+bx+c0 的解集是 ，则 cx2bx+a0 的解集是 （1，2） 【考点】一元二次不等式的解法【专题】计算题；方程思想；转化法；不等式的解法及应用【分析】由已知不等式 ax2+bx+c0 的解集得到 ax2+bx+c=0 的两根，得到 a，b，c 的关系，进一步将cx2bx+a0 化简解之【解答】解：不等式 ax2+bx+c0 的解集是 ，且 a0， +1= ， 1= ，b= a，c= a，cx2bx+a0 化为 ax2+ ax+a0，即 x2x20，即（x+1）（x 2
14、）0，解得1x2，则 cx2bx+a0 的解集是（1，2），故答案为：（1，2）【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了一元二次方程的根与系数关系，解答的关键是注意 c的符号，是基础题10已知角 的终边过点 P（ 4，3），则 2sin+cos 的值是 【考点】任意角的三角函数的定义【专题】计算题【分析】先计算 r，再利用三角函数的定义，求出 sin，cos 的值，即可得到结论【解答】解：由题意 r=|OP|=5sin= ，cos=2sin+cos=2 =故答案为：【点评】本题考查三角函数的定义，考查学生的运算能力，解题的关键是正确运用三角函数的定义11已知 f（x）是定义在 R 上的偶
15、函数，且在0，+ ）上为增函数， ，则不等式的解集为 【考点】其他不等式的解法；函数单调性的性质；偶函数【专题】计算题【分析】利用偶函数的图象关于 y 轴对称，又且在0，+）上为增函数，将不等式中的抽象法则 f 脱去，解对数不等式求出解集【解答】解：f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在0 ，+）上为增函数又 ，解得故答案为 【点评】本题考查利用函数的对称性及函数的单调性脱抽象的法则，将抽象不等式转化为具体不等式解12设x表示不超过 x 的最大整数，如1.5=1 ，1.5=2 若函数 （a0，a1），则g（x）=f（x） +f（x） 的值域为 0，1 【考点】函数的值域【专题】计算题；压轴题；
16、新定义【分析】先求出函数 f（x）的值域，然后求出 f（x） 的值，再求出 f（x）的值域，然后求出f（x） 的值，最后求出 g（x）=f（ x） +f（x） 的值域即可【解答】解： = （0，1）f（ x） （ ， ）f（x） =0 或1f（ x）= （0，1）f（ x） （ ， ）则f（x） =1 或 0g（ x） =f（x） +f（ x） 的值域为0，1故答案为：0，1【点评】本题主要考查了函数的值域，同时考查分类讨论的数学思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题13若 a0，b0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的 a，b 恒成立的是 ， ， （写出所有正确命题的编号）ab1；
17、；a2+b22；a3+b33； 【考点】基本不等式【专题】压轴题；分析法【分析】首先对于此类填空题需要一个一个判断，用排除法求解，对于命题直接用特殊值法代入排除，其他命题用基本不等式 代入求解即可判断【解答】解：对于命题ab1：由 ，命题正确；对于命题 ：令 a=1，b=1 时候不成立，所以命题错误；对于命题a 2+b22：a 2+b2=（a+b） 22ab=42ab2，命题正确；对于命题a 3+b33：令 a=1，b=1 时候不成立，所以命题 错误；对于命题 ： ，命题正确所以答案为，【点评】此题主要考查基本不等式的求解问题，对于此类判断命题真假的题目，包含知识点较多需要一个一个分析，容易出
18、错，属于中档题目14三个同学对问题“关于 x 的不等式 x2+25+|x35x2|ax 在1 ，12 上恒成立，求实数 a 的取值范围” 提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量 x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值 ”丙说：“把不等式两边看成关于 x 的函数，作出函数图象 ”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 a 的取值范围是 （，10 【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式在最值问题中的应用【专题】计算题；压轴题【分析】利用“不等式变形为左边含变量 x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值 ”的想法：原式化为：
19、再利用：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” 即可解决【解答】解：由 x2+25+|x35x2| ，而 ，等号当且仅当 x=51，12时成立；且|x 25x|0，等号当且仅当 x=51，12时成立；所以， ，等号当且仅当 x=51，12时成立；故答案为（ ，10；【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法、基本不等式在最值问题中的应用，是一道已给出解法提示，让解题者得到友情提醒的情况下答题，富有创意二、解答题（本大题共 6 道题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15已知 ， ，设 ，（1）当 时，求 f（x）的最小值及取得最小值时 x 的取值集合；（2）若锐角
20、满足 ，求 的值【考点】三角函数的最值；两角和与差的正弦函数【专题】计算题；综合题【分析】（1）利用函数 化简函数为一个角的一个三角函数的形式，根据正弦函数的值域，直接求出函数 f（x）的最小值及取得最小值时 x 的取值集合；（2）根据 ，求出 ，利用同角三角函数基本关系式求出，利用诱导公式即可求出结果【解答】解：（ 1）即： ，此时： （kZ ），解得： （kZ）即 f（x）的最小值是 ，此时 x 的取值集合是 ；（ 2）由 得， ，即 ，因为 是锐角，所以 ， ，所以 =【点评】本题考查向量数量积的运算律、三角函数的平方关系和商数关系、三角函数的有界性和最值，考查运算能力，注意在解决三角函
21、数的有关问题时，注意角之间的关系，属中档题16如图所示，四棱锥 PABCD 底面是直角梯形，BAAD，CDAD，CD=2AB，PA 底面 ABCD，E 为PC 的中点， PA=AD=AB=1（1）证明：EB平面 PAD；（2）证明：BE平面 PDC；（3）求三棱锥 BPDC 的体积 V【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【专题】计算题；证明题【分析】（1）取 PD 中点 Q，连 EQ，AQ，由已知条件及平行四边形的判定定理，可得四边形 ABEQ 是平行四边形，进而得到 BEAQ，进而由线面平行的判定定理得到 EB平面 PAD；（2）由已知中 PA底面 AB
22、CD，由线面垂直的性质可得 PACD，结合 CDAD，和线面垂直的判定定理可得 CD平面 PAD，进而由线面垂直性质得到 CDAQ，由三线合一得到 AQPD，进而根据线面垂直的判定定理及第二判定定理得到 BE平面 PDC；（3）由等体积法可得三棱锥 BPDC 的体积等于三棱锥 PBDC，求出底面 BDC 及高 PA 的值，代入棱锥体积公式，即可得到答案【解答】解（1）证明：取 PD 中点 Q，连 EQ，AQ，则 四边形 ABEQ 是平行四边形BEAQ（2）证明： PACD，又 CDAD，PA AD=ACD平面 PAD又 AQ平面 PADAQCD，又 PA=AD，Q 为 PD 的中点AQPD，又
23、 PDCD=D（3） 【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，锥锥的体积，其中（1）的关键是在平面 PAD 中找到 BEAQ，（2）的关键是熟练掌握线线垂直与线面垂直之间的相互转化，（3）的关键是由等体积法将三棱锥 BPDC 的体积化为三棱锥 PBDC17某小区有一块三角形空地，如图ABC，其中 AC=180 米，BC=90 米，C=90，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所，在ABC 内的 P 点处有一服务站（其大小可忽略不计），开发商打算在AC 边上选一点 D，然后过点 P 和点 D 画一分界线与边 AB 相交于点 E，在ADE 区域内绿化，在四边形B
24、CDE 区域内修建运动场所现已知点 P 处的服务站与 AC 距离为 10 米，与 BC 距离为 100 米设 DC=d米，试问 d 取何值时，运动场所面积最大？【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】计算题【分析】解法一：以 C 为坐标原点， CB 所在直线为 x 轴，CA 所在直线为 y 轴建立直角坐标系，得到C、A、B 、P、D 的坐标，再写出直线 DE、AB 的方程，由此联立解出 E 的坐标，进而表示ADE 的面积，利用基本不等式的知识分析可得答案；解法二：分别过点 P，E 作 AC 的垂线，垂足为 Q，F，设 EF=h，分情况讨论可得 EF 的长度，进而可以表示ADE 的面积，再利
25、用基本不等式的知识分析可得答案【解答】解：法一：以 C 为坐标原点， CB 所在直线为 x 轴，CA 所在直线为 y 轴建立直角坐标系，则 C（0，0），A（0，180），B（90，0），P（10，100 ），D（0，d）DE 直线方程： ，AB 所在直线方程为 2x+y=180，解、组成的方程组得， ，直线 DE 经过点 B 时 ， ，设 ， = ， （当且仅当 t=60，即 k=4 时取等号），此时 d=120t=60，当 d=60 时，绿化面积最小，从而运动区域面积最大法二：如图，分别过点 P，E 作 AC 的垂线，垂足为 Q，F，设 EF=h，若如图 1 所示，则 PQ=10，CQ=1
26、00，DQ=100 d，由AFE ACB 得 ，即 AF=2h，从而 CF=1802h，DF=180 2hd，由DPQ DEF 得 ，解得若如图 2 所示，则 PQ=10，CQ=100，DQ=d 100，AF=2h，CF=180 2h，DF=2h+d180，由DPQ DEF 得，解得 ；由 0h90 得 ，由 ，设 ，= ， （当且仅当 t=60，即 k=4 时取等号），此时 d=120t=60，当 d=60 时，绿化面积最小，从而运动区域面积最大【点评】本题考查基本不等式的应用，关键是根据题意，建立正确的模型，得到关于关于三角形面积的不等关系式18已知函数 f（x）=x 3ax2（aR）（）
27、若 f（1 ）=3，（i）求曲线 y=f（x）在点（ 1，f（1）处的切线方程，（ii）求 f（x）在区间0，2上的最大值；（）若当 x0，2 时，f（x）+x0 恒成立，求实数 a 的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】（）求函数的导数，利用导数的几何意义求切线方程，以及求函数的最值（）将不等式进行转化，将恒成立问题转化为求函数的大小问题【解答】解：（）（i）f（x）=x 3ax2（a R），f（x）=3x 22ax，由 f（1）=3 2a=3，解得 a=0，y=f（x）=x 3f（ 1）
28、=1，f（ x）=3x 2，f（1）=3，切点（1，1），斜率为 3，y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 y=3x2（ii）f （x）=x 3，f（x）=3x 20，f（ x）在0，2单调递增，f（ x）最大值为 f（2）=8（）x 3ax2+x0 对 x0， 2恒成立，ax2x3+x当 x=0 时成立当 x（0，2时 ax+ ，x+ 2，在 x=1 处取最小值a2【点评】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查导数的基本运算和应用，考查学生的运算能力19在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： + =1（a b0）的左、右顶点分别为 A，B，离心率为 ，右准线为 l：x=4 M 为
29、椭圆上不同于 A，B 的一点，直线 AM 与直线 l 交于点 P（1）求椭圆 C 的方程；（2）若 ，判断点 B 是否在以 PM 为直径的圆上，并说明理由；（3）连接 PB 并延长交椭圆 C 于点 N，若直线 MN 垂直于 x 轴，求点 M 的坐标【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题意建立方程组 可求 a2 和 b2 的值，可写方程；（2）要判断点 B 是否在圆上，可转化为判 是否为 0；（3）设点，写出直线的方程，分别和椭圆方程联立，可解得 yp= ，和 yp= ，由两式相等可解得 M 坐标【解答】解：（1）由 解得 所以 b2=3所以椭圆方程为 =1
30、（2）因为， ，所以 xM=1，代入椭圆得 yM= ，即 M（1， ），所以直线 AM 为：y= （x+2），得 P（4，3），所以 =（1， ）， =（2，3） 因为 = 0，所以点 B 不在以 PM 为直径的圆上 （3）因为 MN 垂直于 x 轴，由椭圆对称性可设 M（x 1，y 1），N（x 1，y 1）直线 AM 的方程为：y= （x+2 ），所以 yp= ，直线 BN 的方程为：y= （x2），所以 yp= ， 所以 = 因为 y10，所以 = 解得 x1=1所以点 M 的坐标为（1， ） 【点评】本题为椭圆与直线的位置关系的考查，涉及向量的知识和圆的知识，属中档题20已知数列a n
31、首项是 a1=1，且满足递推关系 （1）证明：数列 是等差数列，并求数列 an的通项公式；（2）求等差数列 使得对一切自然数 nN*都有如下的等式成立：；（3）c n=nbn，是否存在正常数 M 使得 对 nN*恒成立，并证明你的结论【考点】数列的求和；等差数列的性质【专题】综合题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（1）把数列递推式两边同时除以 2n+1，可得 则数列 是以 为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式求得数列a n的通项公式；（2）设出等差数列b n的首项和公差，采用倒序相加法求得 b1+bn+1=2n+2分别取 n=1、2 列式求得首项和公差，则等差数列b
32、n的通项公式可求；（3）由（1）（2）得到 的通项公式，然后利用错位相减法求和，再由放缩法证得答案【解答】（1）证明：由 ，得，即 数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，则 ， ；（2）解：设等差数列b n的首项为 b1，公差为 d，则 bn=b1+（n1）d（nN *）考察等差数列，易知：b 1+bn+1=b2+bn=b3+bn1=bn+1+b1又 b1Cn0+b2Cn1+b3Cn2+bn+1Cnn=an+1，利用加法交换律把此等式变为 bn+1Cnn+bnCnn1+bn1Cnn2+b1Cn0=an+1，两式相加，利用组合数的性质 Cnm=Cnnm 化简，得（b 1+bn+1）（C n0+Cn1+Cnn）=2a n+1，即b1+bn+1=2n+2再分别令 n=1，n=2 ，得 ，求解可得 b1=1，d=2 因此，满足题设的等差数列b n的通项公式为 bn=2n1（nN *）；（3）解：结论：存在正常数 M（只要 M6 即可），使得 对 nN*恒成立证明：由（2）知，b n=2n1，于是，c n=n（2n 1）， = 令 Tn= ，则 ，两式作差得， 整理得 6当且仅当正常数 M6 时， 对 nN*恒成立【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了倒序相加法求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，属中高档题
