1、2016-2017 学年四川省成都市金堂中学高三（上）12 月月考数学试卷（理科）一、选择题：（每小题 5 分，共 12 小题，总分 60 分）1已知命题 p：xR ，使 tanx=1，其中正确的是（ ）Ap：x R，使 tanx 1 Bp：x R，使 tanx1C p：xR，使 tanx1 Dp：x R，使 tanx12已知ABC 的周长为 20，且顶点 B （0，4） ，C （0，4） ，则顶点 A 的轨迹方程是（ ）A （x0） B （x 0）C （x0） D （x0）3p ：log 2a0 是 q： 1 的（ ）A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4
2、抛物线 x=4y2 的焦点坐标是 （ ）A （ ，0） B （1，0） C （0， ） D （0，1 ）5设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=4x+2y 的最大值为（ ）A12 B10 C8 D26若直线 xy+1=0 与圆（xa） 2+y2=2 有公共点，则实数 a 取值范围是（ ）A 3，1 B1，3 C 3，1 D （ ，3 1，+）7设双曲线 的渐近线方程为 3x2y=0，则 a 的值为（ ）A4 B3 C2 D18试在抛物线 y2=4x 上求一点 P，使其到焦点 F 的距离与到 A（2，1）的距离之和最小，则该点坐标为（ ）A B C D9设椭圆的两个焦点分别为 F1、F
3、 2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F 1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A B C D10已知抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，点 P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，P 3（x 3，y 3）在抛物线上，且 2x2=x1+x3，则有（ ）A|FP 1|+|FP2|=|FP3| B|FP 1|2+|FP2|2=|FP3|2C 2|FP2|=|FP1|+|FP3| D|FP 2|2=|FP1|FP3|11F 是椭圆 C： + =1 的右焦点，P 为 C 上一动点，点 A 坐标为（1，1） ，则|PA|+|PF|的最小值为（ ）A4 + B4
4、 C2 D12已知 P、Q 分别在射线 y=x（x 0）和 y=x（x0）上，且POQ 的面积为 1， （0 为原点），则线段 PQ 中点 M 的轨迹为（ ）A双曲线 x2y2=1 B双曲线 x2y2=1 的右支C半圆 x2+y2=1（x0） D一段圆弧 x2+y2=1（x ）二、填空题：（每小题 5 分，共 4 小题，共 20 分）13直线 y=x 被圆 x2+（y2） 2=4 截得的弦长为 14椭圆 +y2=1 的弦被点（ ， ）平分，则这条弦所在的直线方程是 15在ABC 中，已知 B（ 5，0） ，C（5，0） ，且 sinCsinB= sinA，则点 A 的轨迹方程为 16以下 4
5、种说法一个命题的否命题为真，它的逆命题也一定为真； 是 的充要条件；在ABC 中， “B=60” 是“ A，B，C 三个角成等差数列”的充要条件；“am 2bm 2”是“ab” 的充分必要条件其中判断错误的有 三、解答题：（共 6 小题，共 70 分）17设 p：方程 x2+mx+1=0 有两个不等的实根，q：方程 2x2+2（m2）x+ =0 无实根，当“p或 q 为真，p 且 q 为假” 时，求 m 的取值范围18已知线段 AB 的端点 B 的坐标是（4，3） ，端点 A 在圆（x+1） 2+y2=4 上运动，求线段 AB的中点轨迹方程19已知圆 C：（x 1） 2+y2=9 内有一点 P
6、（2，2） ，过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A，B 两点（1）当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程；（2）当弦 AB 被点 P 平分时，求直线 l 的方程20如图，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P（1，2） ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）均在抛物线上（）写出该抛物线的方程及其准线方程；（）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率21设 F1、F 2 分别为椭圆 C： =1（ab0）的左、右焦点，过 F2 的直线 l 与椭圆 C相交于 A、B 两点，直线 l 的倾斜角为 60，F 1 到直线 l 的距离
7、为 2 （1）求椭圆 C 的焦距；（2）如果 =2 ，求椭圆 C 的方程22设 F1、F 2 分别是椭圆的左、右焦点，坐标分别是（2，0） 、 （2，0） ，椭圆离心率为 60角的正弦值（1）求椭圆的标准方程；（2）若 P 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值；（3）设过定点 M（0，2 ）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B，且AOB 为锐角（其中 O为坐标原点） ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围2016-2017 学年四川省成都市金堂中学高三（上）12 月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题 5 分，共 12 小题，总分 60 分）1已知命题 p：xR
8、，使 tanx=1，其中正确的是（ ）Ap：x R，使 tanx 1 Bp：x R，使 tanx1C p：xR，使 tanx1 Dp：x R，使 tanx1【考点】命题的否定【分析】根据命题“ xR，使 tanx=1”是特称命题，其否定为全称命题，将“”改为“ ”， “=“改为“”即可得答案【解答】解：命题“ xR，使 tanx=1”是特称命题命题的否定为：xR ，使 tanx1 故选 C2已知ABC 的周长为 20，且顶点 B （0，4） ，C （0，4） ，则顶点 A 的轨迹方程是（ ）A （x0） B （x 0）C （x0） D （x0）【考点】椭圆的定义【分析】根据三角形的周长和定点，
9、得到点 A 到两个定点的距离之和等于定值，得到点 A 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在 y 轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点【解答】解：ABC 的周长为 20，顶点 B （0，4） ，C （0，4） ，BC=8，AB+AC=20 8=12，128点 A 到两个定点的距离之和等于定值，点 A 的轨迹是椭圆，a=6，c=4b 2=20，椭圆的方程是故选 B3p ：log 2a0 是 q： 1 的（ ）A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】分别求出关于 p，q 为真时的 a 的范围，结合集合的包含关系判断即可【解答】
10、解：由 log2a0 ，解得：a1，故 p：a1 ；由 1，解得：a1 或 a0，故 q：a1 或 a0 ，故 p：log 2a0 是 q： 1 的充分不必要条件，故选：A4抛物线 x=4y2 的焦点坐标是 （ ）A （ ，0） B （1，0） C （0， ） D （0，1 ）【考点】抛物线的简单性质【分析】化简抛物线方程为标准方程，然后求解即可【解答】解：抛物线 x=4y2 的标准方程为：y 2= x 它的焦点坐标是（ ，0） 故选：A5设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=4x+2y 的最大值为（ ）A12 B10 C8 D2【考点】简单线性规划【分析】1作出可行域 2 目标函数
11、 z 的几何意义：直线截距 2 倍，直线截距去的最大值时 z也取得最大值【解答】解：本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线 y=1 与 x+y=3 的交点（2，1）时，z 取得最大值 106若直线 xy+1=0 与圆（xa） 2+y2=2 有公共点，则实数 a 取值范围是（ ）A 3，1 B1，3 C 3，1 D （ ，3 1，+）【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据直线 xy+1=0 与圆（xa） 2+y2=2 有公共点，可得圆心到直线 xy+1=0 的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数 a 取值范围【解答】解：直线 xy+1=0 与圆
12、（xa） 2+y2=2 有公共点圆心到直线 xy+1=0 的距离为|a +1|23 a 1故选 C7设双曲线 的渐近线方程为 3x2y=0，则 a 的值为（ ）A4 B3 C2 D1【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意， ，即可求出 a 的值【解答】解：由题意， ，a=2，故选：C8试在抛物线 y2=4x 上求一点 P，使其到焦点 F 的距离与到 A（2，1）的距离之和最小，则该点坐标为（ ）A B C D【考点】抛物线的简单性质【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当 P，A 和焦点三点共线且点 P 在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横
13、坐标的值从而得到答案【解答】解：y 2=4xp=2，焦点坐标为（1，0）依题意可知当 A、P 及 P 到准线的垂足 Q 三点共线时，距离之和最小如图，故 P 的纵坐标为 1，然后代入抛物线方程求得 x= ，则该点坐标为：（ ，1） 故选 A9设椭圆的两个焦点分别为 F1、F 2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F 1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A B C D【考点】椭圆的简单性质【分析】设点 P 在 x 轴上方，坐标为 ，根据题意可知|PF 2|= ，|PF 2|=|F1F2|，进而根据 求得 a 和 c 的关系，求得离心率【解答】解：设点 P 在 x 轴上方，
14、坐标为 ，F 1PF2 为等腰直角三角形|PF 2|=|F1F2|，即 ，即故椭圆的离心率 e=故选 D10已知抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，点 P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，P 3（x 3，y 3）在抛物线上，且 2x2=x1+x3，则有（ ）A|FP 1|+|FP2|=|FP3| B|FP 1|2+|FP2|2=|FP3|2C 2|FP2|=|FP1|+|FP3| D|FP 2|2=|FP1|FP3|【考点】抛物线的简单性质【分析】把 2x2=x1+x3 等式两边同时加 p 整理成 进而根据抛物线的定义可得 2|FP2|=|FP1|+|FP3|【解答】解
15、：2x 2=x1+x3， ，由抛物线定义可得 2|FP2|=|FP1|+|FP3|故选 C11F 是椭圆 C： + =1 的右焦点，P 为 C 上一动点，点 A 坐标为（1，1） ，则|PA|+|PF|的最小值为（ ）A4 + B4 C2 D【考点】椭圆的简单性质【分析】设椭圆的左焦点为 F，连接 PF、AF ，根据椭圆的定义得|PA|+|PF|=4+（|PA|PF|） ，结合图形可得当 P、 A、F三点共线，且 P 在 FA 延长线上时，|PA|PF|取得最小值，利用两点之间距离公式，则不难求出这个最小值【解答】解：设椭圆的左焦点为 F，连接 PF、AF点 P 在椭圆 + =1 上运动，|P
16、F |+|PF|=2a=4由此可得|PA|+|PF |=|PA|+（4 |PF|）=4+（|PA |PF|）当 P、 A、F 三点共线，且 P 在 FA 延长线上时，|PA|PF|取得最小值|PA| |PF|的最小值为：|AF|= =由此可得|PA|+|PF |的最大值为 4故选：B12已知 P、Q 分别在射线 y=x（x 0）和 y=x（x0）上，且POQ 的面积为 1， （0 为原点），则线段 PQ 中点 M 的轨迹为（ ）A双曲线 x2y2=1 B双曲线 x2y2=1 的右支C半圆 x2+y2=1（x0） D一段圆弧 x2+y2=1（x ）【考点】轨迹方程【分析】利用中点坐标公式，结合P
17、OQ 的面积为 1， （0 为原点） ，求出轨迹方程，即可求出线段 PQ 中点 M 的轨迹【解答】解：设 M（x，y） ，P （x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2）易知 x0 由中点坐标公式可得， 2x=x1+x22y=y 1+y2式中 y1=x1，y 2=x2代入可得：2y=x 1x2由相加可得 x1=x+y再代入中得 x2= x1OQ= x2，所以三角形 OPQ 面积 S=x1x2=1 即（x+y ） （x y）=1化简得 x2y2=1 （x 0）故选 B二、填空题：（每小题 5 分，共 4 小题，共 20 分）13直线 y=x 被圆 x2+（y2） 2=4 截得的弦长为 【考点】直线
18、与圆相交的性质【分析】确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线 y=x 的距离，利用垂径定理构造直角三角形，即可求得弦长【解答】解：圆 x2+（y2） 2=4 的圆心坐标为（0，2） ，半径为 2圆心到直线 y=x 的距离为直线 y=x 被圆 x2+（y2） 2=4 截得的弦长为 2 =故答案为：14椭圆 +y2=1 的弦被点（ ， ）平分，则这条弦所在的直线方程是 2x +4y3=0 【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】设这条弦的两端点为 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，斜率为 k，则 ，两式相减再变形得 ，再由弦中点为（ ， ） ，求出 k，由此能求出这条弦所在的直线方程【解
19、答】解：设这条弦的两端点为 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，斜率为 k，则 ，两式相减再变形得 ，又弦中点为（ ， ） ，故 k= ，故这条弦所在的直线方程 y = （x ） ，整理得 2x+4y3=0故答案为：2x+4y3=015在ABC 中，已知 B（ 5，0） ，C（5，0） ，且 sinCsinB= sinA，则点 A 的轨迹方程为 （ x3） 【考点】轨迹方程【分析】根据正弦定理，得点 A 到 B 的距离与点 A 到点 C 的距离之差为 8，由此可得点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点、实轴长为 8 的双曲线的右支，且右顶点除外，结合双曲线的基本概念即可算出所求轨迹方程
20、【解答】解：ABC 中，sinC sinB= sinA，由正弦定理，得|AB|AC|= |BC|B（5，0 ） ，C （5，0） ，得|BC|=10|AB|AC|=6 ，点 A 在以 B、C 为焦点、实轴长为 6 的双曲线的右支， （右顶点除外）可得 c=5，a 2=9，b 2=c2a2=16所求点 A 的轨迹方程为： （x 3） 故答案为： （ x3） 16以下 4 种说法一个命题的否命题为真，它的逆命题也一定为真； 是 的充要条件；在ABC 中， “B=60” 是“ A，B，C 三个角成等差数列”的充要条件；“am 2bm 2”是“ab” 的充分必要条件其中判断错误的有 【考点】命题的真假
21、判断与应用【分析】，一个命题的否命题与它的逆命题真假是等价的；， ， 不能推出 ；，在ABC 中， “B=60”2B=A+C“；“ A，B，C “B=60”；，依据“am 2bm 2”可知 m20 “ab”，但由“ab”不能推出“am 2bm 2”，因为 m2 可能为0【解答】解：对于，一个命题的否命题与它的逆命题真假等价的，故正确；对于， ， 不能推出 ，故错；对于，在ABC 中， “B=60”2B=A+C“；“A，B，C “B=60”，故正确；对于，依据“am 2bm 2”可知 m20 “ab”，但由 “ab”不能推出“am 2bm 2”，因为 m2 可能为 0，故错故答案为：三、解答题：
22、（共 6 小题，共 70 分）17设 p：方程 x2+mx+1=0 有两个不等的实根，q：方程 2x2+2（m2）x+ =0 无实根，当“p或 q 为真，p 且 q 为假” 时，求 m 的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】当“p 或 q 为真，p 且 q 为假”时，命题 p， q 一真一假，进而可得满足条件的 m 的取值范围【解答】解：若方程 x2+mx+1=0 有两个不等的实根，则=m 240，解得：m2，或 a2，即命题 p：m2，或 a 2，若方程 2x2+2（m2）x+ =0 无实根，则=4（m 2） 240，解得：1m3，当“p 或 q 为真，p 且 q 为假”时，命题 p，q
23、一真一假，当 p 真 q 假时，m2，或 m3，当 p 假 q 真时，1m2，综上可得：m2，或 1 m2，或 m3，18已知线段 AB 的端点 B 的坐标是（4，3） ，端点 A 在圆（x+1） 2+y2=4 上运动，求线段 AB的中点轨迹方程【考点】轨迹方程【分析】利用 M、N 为 AB、PB 的中点，根据三角形中位线定理得出： MNPA 且MN= PA=1，从而动点 M 的轨迹为以 N 为圆心，半径长为 1 的圆最后写出其轨迹方程即可【解答】解：圆（x+1） 2+y2=4 的圆心为 P（ 1，0） ，半径长为 2，线段 AB 中点为 M（x，y）取 PB 中点 N，其坐标为（ ， ） ，
24、即 N（ ， ）M、 N 为 AB、PB 的中点，MNPA 且 MN= PA=1动点 M 的轨迹为以 N 为圆心，半径长为 1 的圆所求轨迹方程为：19已知圆 C：（x 1） 2+y2=9 内有一点 P（2，2） ，过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A，B 两点（1）当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程；（2）当弦 AB 被点 P 平分时，求直线 l 的方程【考点】直线和圆的方程的应用【分析】 （1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线 l 的方程；（2）当弦 AB 被点 P 平分时，求出直线的斜率，即可写出直线 l 的方程；【解答】解：（1）已知圆 C：（x1）
25、2+y2=9 的圆心为 C（1，0） ，因为直线 l 过点 P，C ，所以直线 l 的斜率为 2，所以直线 l 的方程为 y=2（x 1） ，即 2xy2=0（2）当弦 AB 被点 P 平分时，lPC，直线 l 的方程为 ，即 x+2y6=020如图，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P（1，2） ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）均在抛物线上（）写出该抛物线的方程及其准线方程；（）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率【考点】抛物线的应用【分析】 （I）设出抛物线的方程，把点 P 代入抛物线求得 p 则抛物线的方程可得
26、，进而求得抛物线的准线方程（II）设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB，则可分别表示 kPA 和 kPB，根据倾斜角互补可知 kPA=kPB，进而求得 y1+y2 的值，把 A，B 代入抛物线方程两式相减后即可求得直线 AB的斜率【解答】解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为 y2=2px点 P（1 ，2）在抛物线上2 2=2p1，得 p=2故所求抛物线的方程是 y2=4x准线方程是 x=1（II）设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB则 ，PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补k PA=kPB由 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）在抛
27、物线上，得 y12=4x1（1）y 22=4x2（2）y 1+2=（y 2+2）y 1+y2=4由（1）（2）得直线 AB 的斜率21设 F1、F 2 分别为椭圆 C： =1（ab0）的左、右焦点，过 F2 的直线 l 与椭圆 C相交于 A、B 两点，直线 l 的倾斜角为 60，F 1 到直线 l 的距离为 2 （1）求椭圆 C 的焦距；（2）如果 =2 ，求椭圆 C 的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】 （1）利用点到直线的距离公式即可得出；（2）由（1）可得：y= （x 2） ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 与椭圆方程联立可得根与系数的关系，由于 =2 ，可得 x1=6
28、2x2联立解出即可得出【解答】解：（1）由题意可得：直线 l 的方程为：y= （xc ） ，F 1 到直线 l 的距离为 2 ， =2 ，解得 c=2椭圆 C 的焦距 =2c=4（2）由（1）可得：y= （x 2） ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 联立 ，化为：（4b 2+12）x 2（12b 2+48）x +（8b 2+48b4）=0，x 1+x2= ，x 1x2= =2 ，2 x1=2（x 22） ，可得 x1=62x2联立解得 b2=5，a 2=b2+c2=9椭圆 C 的方程为 22设 F1、F 2 分别是椭圆的左、右焦点，坐标分别是（2，0） 、 （2，0） ，椭圆
29、离心率为 60角的正弦值（1）求椭圆的标准方程；（2）若 P 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值；（3）设过定点 M（0，2 ）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B，且AOB 为锐角（其中 O为坐标原点） ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程【分析】 （1）根据椭圆焦点及离心率求得焦点在 x 轴的椭圆标准方程（2）运用数量积的坐标运算，及函数思想，求得最值（3）运用设而不求法及数量积为负，求得直线 l 的斜率取值范围【解答】解：（1）由题知椭圆焦点在 x 轴，故设椭圆方程为 （a b0） 椭圆离心率为 60角的正弦值， =又 c=2，且 b2=a2c2，a 2= ，椭圆标准方程为：（2）设椭圆上动点 P（m，n） ，则，则 =（2m） （2m ）+n 2=则 的最大值为 ，最小值为 （3）由题知斜率不存在时，不符合题意故设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，直线 l 的方程为 y=kx+2，得（ 3+12k2）x 2+48kx+32=00，得 ，AOB 为锐角，则又=（ 1+k2）x 1x2+2k（x 1+x2）+4= +4 +40化简得：114k 20 即故直线 l 的斜率 k 的取值范围为 或 2017 年 1 月 20 日
