1、2017-2018 学年度第一学期期末检测试题高三数学2018.2第一部分、 填空题1. 若集合 ， ，则 _。=|10,0)圆 没有焦点， 则双曲线离心率的取值范围 是_。2+26+5=011. 已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为()=sin+142 (12)+(57)0) 2:22+22=1(0,1) 2椭圆 “相似”。1(1) 求经过点 ，且与椭圆 “相似”的椭圆 的方程；( 2,1) 1:22+2=1 2(2) 若 ，椭圆 的离心率为 ， 在椭圆 上，过 的直线 交椭圆 于 两点，且 ，=4 122 2 1 , =若 的坐标为 ，且 ，求直线 的方程； (0,2) =2 若直线 的
2、斜率之积为 ，求实数 的值。, -12 19. 已知函数 ()=,()=+,(1) 若 ，且函数 的图像是函数 图像的一条切线，求实数 的值；(-1)=0 () () (2) 若不等式 对任意 恒成立，求 实数 的取值范围；()2+ (0,+) (3) 若对任意实数 ，函数 在 上总有零点，求实数 的取值范围。 ()=()() (0,+) 20. 已知各项都是正数的数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 ， 2=2+ 1=12。2+1=+(1) 求数列 的通项公式；、(2) 设数列 满足 ，求和 ； =+2 c1+c2+c(3)是否存在正整数 ，使得 成等差数列？若存在，求出所有 满足要求的,
3、() ,，若不存在，请说明理由。,2017-2018 学年度第一学期期末检测试题高三数学2018.2第二部分（加试部分）21.B已知 ，若点 在矩阵 对应变换作用下得到点 ，求矩阵 的逆矩阵, (1,1) =2 3 (3,5) 。1C在直角坐标系 中，直线 的参数方程是： （ 是参数， 是常数）。以 为极点， =+22=22 轴 正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 。 =6cos(1) 求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； (2) 若直线 与曲线 相交于 两点，且 ，求实数 的值。 , |=2 22. 扬州大学数学系有 6 名大学生要去甲、乙两所中学 实习，每名大学生都被随
4、机分配到两所中学的其中一所。(1) 求 6 名大学生至少有 1 名被分配到甲校学习的概率；(2) 设 分别表示分配到甲、乙两所中学的大学生人数， 记 ，求随机 变量 的分布列和, =| 数学期望值 。()23. 二进制规定：每个二进制数由若干个 0、1 组成，且最高位数字必须为 1.若在二进制中， 是所有 位二进制数构成的集合， 对于 ， 表示 和 对应位置上数字不同的位置 ,(,) 个数。例如当 时 ，当 时 ，3=100,3=101(3,3)=1 3=100,3=111(3,3)=2(1) 令 ，求所有满足 ，且 的 的个数；5=10000 55 (5,5)=2 5(2)给定 ，对于集合
5、中所有 ，求 的和。(2) (,)扬州市 20172018 学年度第一学期期末调研测试试题高 三 数 学 参 考 答 案 2018.2第一部分1. 2 3. 4. 5.6220946. 7. 8. 9. 10. 314,51373(1,)211. 12. 13.14. (2,)132(,215. 证明：在直三棱柱 中，四边形 是平行四 边形，所以 2 分1ABC1BC1/BC在 中， 分别为 的中点，故 ，所以 ，.4 分,DE,/DE1/又 平面 ， 平面 ，1BC11所以 平面 .7 分/在平面 内，过 作 于 ，1A1AF因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面DE1BDE11ABDF，所
6、以 平面 ， .11 分1B又 平面 ，所以 ，1在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，所以 ，1ACAC1AE因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，1F1B11BD1B因为 平面 ，所以 。 .14 分B1DE注：作 时要交代在平面内作或要交代垂足点，否则扣 1 分116 解： 因为 SABC= ，又 AB=6，BC=5，所以 ，2 分sin92ABC 3sin5B又 ，所以 ， 3 分B(0,)24co15当 cosB= 时， 452 4cos3625135 分当 cosB= 时，452 4cos3625109ACBABC所以 或.7 分1309注：少一解的扣 3 分 由 为锐角三角形得
7、 B 为锐角，所以 AB=6，AC= ，BC=5，13所以 ，625cos13A又 ，所以 ， 9 分(0,)2sincos1A所以 ， ， 12 分sin231A=2235()()1-=-所以.14 分5co()cos2sin666App+-17. 解：因为 MN 与扇形弧 PQ 相切于点 S，所以 OSMN.在 OSM 中，因 为 OS=1，MOS= ，所以 SM= ，RTAta在 OSN 中，NOS= ，所以 SN= ，232n()3所以 ， .4 分ta1tan()MN其中 6 分62 因为 ，所以 ，3tan10令 ，则 ，3tan10t()t所以 ， . .8 分4(2)MNt由基
8、本不等式得 ， 10 分3()23t当且仅当 即 时取“=” . .12 分4t2t此时 ，由于 ，故 . . .13 分tan363答： ，其中22(tan1)tan()MN62当 时， 长度的最小值为 千米 .14 分3MN23注：第问中最小值对但定义域不对的扣 2 分18解： 设椭圆 的方程为 ，代入点 得 ，2E1xym(,)2m所以椭圆 的方程为 3 分224因为椭圆 的离心率为 ，故 ，所以椭圆1E2ab221:Exyb又椭圆 与椭圆 “相似”，且 ，所以 椭圆 ，2m8设 ，120(,)(,)(,)AxyBPxy方法一：由题意得 ，所以椭圆 ，将直 线 ，b21:Ey:2lykx
9、代入椭圆 得 ，21:8E()80kx解得 ，故 ，2,0kxx214,yy所以 5 分2284(,)1A又 ，即 为 中点，所以 ， 6 分PBAP2281(,)k代入椭圆 得 ，2:3Exy22)31即 ，即 ，所以4200k(0k01k所以直线 的方程为 8 分l321yx方法二：由题意得 ，所以 椭圆 ，b2:8Ey2:3Exy设 ，则 ，(,)0,2AxB(,4)P代入椭圆得 ，解得 ，故 6 分228()3y120x所以 ，301k所以直线 的方程为 8 分l 2yx方法一： 由题意得 ，2222018,bybxyb，即 ，012yx011xy，则 ，解得 12 分APB0121(
10、,)(,)xy012()xy所以 220101()()xyb则 22 22001100114()()xyyb22()()xyyx所以 ，即 ，所以 .16 分2228bb()5方法二：不妨设点 在第一象限，设直线 ，代入椭圆 ，P:0OPykx22:8Exyb解得 ，则 ，021xk021y直线 的斜率之积为 ，则直线 ，代入椭圆 ，,OA1:Ayxk221:xyb解得 ，则12bkx12byk，则 ，解得 ，APB0121(,)(,)xxy012()xy所以 220101)()xyb则 22 2200110011)4()xyyb22()( )xyyx所以，2 2222228(1)()(111
11、bkbkb b 即 ，即 ，所以24(519解：（1）由 知， 的图象直线过点 ，()0g)gx(,0)设切点坐标为 ，由 得切线方程是0,Txy(fe0()xye此直线过点 ，故 ，解得 ，()001)x0所以 .3 分(0)1af（2）由题意得 恒成立，2,(0)xme令 ，则 ，再令 ，则 ，2(),)x 2xme()2xnxme()2xne故当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，0ln(nl,()0从而 在 上有最小值 ，(),)l)l0所以 在 上单调递增， .6 分mx所以 ，即 .8 分(0)1注：漏掉等号的扣 2 分（3）若 ， 在 上单调递增，a()()xFxfge
12、ab(0,)故 在 上总有零点的必要条件是 ，即 ， 10 分()f0,(0F1b以下证明当 时， 在 上总有零点。1b()()f,)若 ，0a由于 ， ，且 在 上连续()0F()()0bbaaFee()Fx0,)故 在 上必有零点； 12 分x,ba若 ， ，0a()10由（2）知 在 上恒成立，22xe(,)x取 ，则0b0()()abFeb2() 1)0aab由于 ， ，且 在 上连续(1()Fx,)故 在 上必有零点，)x0,)综上得：实数 的取值范围是 。 .16 分b(,)20. 解：（1） ， ，2nnSa211nnSa-得： ，即1()()0na因为 是正数数列，所以 ，即
13、，n10n1n所以 是等差数列，其中公差为 1，a在 中，令 ，得2nnSa所以 2 分由 得 ，1nnba12nb所以数列 是等比数列，其中首项为 ，公比 为 ，12所以 . 5 分1(),2nnb即注：也可累乘求 的通项n（2） ，裂 项得7 分21()nncS 112()nnc所以 9 分12 1()nnc（3）假设存在正整数 ，使得 成等差数列，则 ，即,pqr,pqrb2prqb，2pr因为 ，所以数列 从第二项起 单调递减，1112nnnbn当 时， ，rq若 ，则 ，此时无解；q2r若 ，则 ，因为 从第二项起递减，故 ，所以 符合要314rnb4r1,34pqr求11 分若 ，
14、则 ，即 ，不符合要求，此时无解；q142q1q当 时，一定有 ，否则若 ，则 ，即2pp2p2421pqPbp，矛盾，pqb所以 ，此时 ，令 ，则 ，所以 ，12rp1m1mr1mp，2m综上得：存在 或 ， ， 满足要,34pq1212q12r求16 分第二部分（加试部分）答案21A解：因为 ，即 ，即 ，解得 ，1352135xy235xy12xy所以 ，5 分2法 1：设 ，则 ，即 ，7 分1abcdA12103abcdA2130acbd解得 ，所以 .10 分213bcd123法 2：因为 ，且 ，1dbabcac21det()313A所以 .10 分1123A注：法 2 中没有
15、交待逆矩阵公式而直接写结果的扣 2 分B解：（1）因为直 线 的参数方程是: ( 是参数) ，l2xmty所以直线 的普通方程为 -2 分l 0x因为曲线 的极坐标方程为 ，故 ，所以C6cos26cos26xy所以曲线 的直角坐标方程是 -5 分2(3)9y(2)设圆心到直线 的距离为 ，则 ，ld1又 ， -8 分32md所以 ，即 或 -10 分41722解： 记 “6 名大学生中至少有 1 名被分配到甲学校实习” 为事件 ，则 .A613()=24P-答：6 名大学生中至少有 1 名被分配到甲学校实习的概率为3 分634 所有可能取值是 0,2,4,6，记“6 名学生中恰有 名被分到甲
16、学校 实习”为事件 ( )，则i iA01,6， ，365(0)(21CPA，2426644152)()3CPA，1515156(4)( ， 7 分006060 1)()232PA所以随机变量 的概率分布为：0 2 4 6P51615316132所以随机变量 的数学期望.9 分 5()024+328E答：随机变量 的数学期望 .10 分5823解（ 1）因为 ，所以 为 5 位数且与 有 2项不同，5(,)2Mab5a又因为首项为 1，故 与 在后四项中有两项不同，所以 的个数为 .3 分b46C（2）当 =0 时， 的个数为 ；(,)nn01nC当 =1 时， 的个数为 ，ab当 =2 时， 的个数为 ，(,)nn21n当 时， 的个数为 ，(,)1nMabnb1nC设 的和为 ， 则 ， .6 分S0211()nnC倒序得 ，1210()nn倒序相加得 ，即 ，0 12()nn 2()nS所以 的和为(,)nMab2()n
