1、导数定义设函数 y=f(x)在点 x0 的某个邻域 N(x0,)内有定义，当自变量 x 在 x0 处有增量x(设 x0+xN(x0,)，函数 y=f(x)相应的增量为y=f(x0+ x)-f(x0).如果当x0 时，函数的增量y 与自变量的增量x 之比的极限 lim y/ x=lim f(x0+x)-f(x0)/x 存在，则称这个极限值为 f(x)在 x0 处的导数或变化率.通常可以记为f(x0)或 f(x)|x=x0.函数的可导性与导函数一般地，假设一元函数 y=f(x )在 点 x0 的某个邻域 N(x0，) 内有定义，当自变量取的增量 x=x-x0 时，函数相应增量为 y=f(x0+x)
2、-f(x0)，若函数增量y 与自变量增量x 之比当x0 时的极限存在且有限，就说函数 f(x)在 x0 点可导，并将这个极限称之为f 在 x0 点的导数或变化率。“点动成线”：若函数 f 在区间 I 的每一点都可导，便得到一个以 I 为定义域的新函数，记作 f(x) 或 y，称之为 f 的导函数，简称为导数.导数的几何意义函数 y=f（x）在 x0 点的导数 f（x0）的几何意义：表示函数曲线在 P0x 导数的几何意义 0，f（x0） 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率） .导数在科学上的应用几何，代数关系密切.在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速
3、度，加速度.如一辆汽车在 10 小时内走了 600 千米，它的平均速度是 60 千米/小时.但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是 60 千米/小时.为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置 s 与时间 t 的关系为s=f （t）那么汽车在由时刻 t0 变到 t1 这段时间内的平均速度是f(t1)-f(t0)/t1-t0当 t1 与 t0 很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在 t0 到 t1 这段时间内的运动变化情况 .自然就把当 t1t0 时的极限 limf(t1)-f(t0)/t1-t0 作为汽车在时刻 t0 的瞬时
4、速度，这就是通常所说的速度.这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程 （如我们驾驶时的限“速” 指瞬时速度）导数是微积分中的重要概念导数另一个定义：当 x=x0 时，f(x0)是一个确定的数。这样，当 x 变化时，f(x) 便是 x的一个函数，我们称他为 f(x)的导函数（derivative function） ，简称导数）.y=f(x)的导数有时也记作 y，即（如右图） ：物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就匀速直线加速度运动为例 位移关于时间的一阶导数是瞬时速度 二阶导数是加速度） 、可以表示曲线在一点的斜率（矢量
5、速度的方向） 、还可以表示经济学中的边际和弹性。以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络” 。有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。注意：1.f(x)0 且 a 不等于 1)(x1/2)=2(x1/2)(-1)(1/x)=-x(-2)(3)导数的四则运算法则( 和、差、积、商)：(uv)=u v(uv)=uv+uv(u/v)=(uv-uv)/ v24复合函数的导数：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数
6、-称为链式法则。5积分号下的求导法d(f(x,t)dt (x), (x)/dx=f(x,(x)(x)-f(x,(x) (x)+f x(x,t)dt (x), (x)导数公式及证明这里将列举五类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）：基本导数公式 1.常函数（即常数）y=c(c 为常数) y=02.幂函数 y=xn,y=nx(n-1)(nQ*) 熟记 1/X 的导数3指数函数(1)y=ax,y=axlna ；(2)熟记 y=ex y=ex 唯一一个导函数为本身的函数4对数函数(1)y=logaX,y=1/xlna (a0 且 a 不等于 1,x0) ；熟记 y=lnx,y=
7、1/x5正弦函数 y=(sinx ）y=cosx6余弦函数 y=（cosx） y=-sinx7正切函数 y=(tanx） y=1/(cosx)2为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：常为零，幂降次，对倒数（e 为底时直接倒数，a 为底时乘以 lna） ，指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以 lna） ；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方） ，割乘切，反分式 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=fg(x),y=fg(x)g(x)fg(x)中 g(x）看作整个变量，而 g(x)中把 x 看作变量2y=u/v,y=(uv-uv)/
8、v23 原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x) 的反函数是 x=g(y） ，则有 y=1/x证：1.显而易见，y=c 是一条平行于 x 轴的直线，所以处处的切线都是平行于 x 的，故斜率为 0。用导数的定义做也是一样的：y=c,y=c-c=0,limx0y/ x=0。2这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到 n 为任意实数的一般情况，只能证其为整数 Q。主要应用导数定义与 N 次方差公式。在得到 y=ex y=ex 和 y=lnx y=1/x 这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。3y=ax,y=a(x+x)-ax=ax(ax-1)y/
9、x=ax(a x-1)/x如果直接令 x0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数 =ax-1 通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：x=loga(1+ )。所以(ax-1)/x=/loga(1+)=1/loga(1+)1/显然，当 x0 时， 也是趋向于 0 的。而 lim0(1+)1/ =e,所以lim01/loga(1+ )1/=1/logae=lna。把这个结果代入 limx0y/x=lim x0ax(ax-1)/x 后得到lim x0y/x=axlna。可以知道，当 a=e 时有 y=ex y=ex。4y=logaxy=loga(x+x)-logax=loga(x+x)/x=l
10、oga(1+x/x)x/xy/x=loga(1+x/x)(x/x)/x因为当 x0 时，x/x 趋向于 0 而 x/x 趋向于 ，所以 limx0loga(1+x/x)(x/x)=logae, 所以有limx0y/x=logae/x。也可以进一步用换底公式limx0y/x=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)(-1)可以知道，当 a=e 时有 y=lnx y=1/x。这时可以进行 y=xn y=nx(n-1)的推导了。因为 y=xn,所以 y=eln(xn)=enlnx,所以 y=enlnx(nlnx)=xnn/x=nx(n-1)。5.y=sinxy=si
11、n(x+x)-sinx=2cos(x+x/2)sin(x/2)y/x=2cos(x+x/2)sin( x/2)/x=cos(x+x/2)sin(x/2)/(x/2)所以 limx0y/x=limx0cos(x+ x/2)limx0sin(x/2)/(x/2)=cosx6类似地，可以导出 y=cosx y=-sinx。7y=tanx=sinx/cosxy=(sinx)cosx-sinx(cosx)/cos2x=(cos2x+sin2x)/cos2x=1/cos2x以及反双曲函数 arshx,archx,arthx 等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与4y=u 土 v,y
12、=u土 v5y=uv,y=uv+uv均能较快捷地求得结果。对于 y=xn y=nx(n-1) ，y=ax y=axlna 有更直接的求导方法。y=xn由指数函数定义可知，y0等式两边取自然对数ln y=n*ln x等式两边对 x 求导，注意 y 是 y 对 x 的复合函数y * (1/y)=n*(1/x)y=n*y/x=n* xn / x=n * x (n-1)幂函数同理可证导数说白了它其实就是曲线一点斜率，函数值的变化率上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了分子也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数，而不是零的话，那么比值会很大，可以认为是无穷大,也就是
13、我们所说的导数不存在。x/x,若这里让 X 趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是 1,所以极限为 1.应用1函数的单调性(1)利用导数的符号判断函数的增减性利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想一般地，在某个区间(a，b) 内，如果 f(x)0，那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增；如果 f(x)0 是 f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如 f(x)=x3 在 R 内是增函数，但 x=0 时 f(x)=0。也就是说，如果已知 f(x)为增函数，解题时就必须写 f(x)0。(2)求函数单调区间的步
14、骤（1.定义最基础求法 2.复合函数单调性 )确定 f(x)的定义域求导数由（或）解出相应的 x 的范围当 f(x)0 时，f(x)在相应区间上是增函数；当 f(x)0 时，f(x) 在相应区间上是减函数2函数的极值(1)函数的极值的判定如果在两侧符号相同，则不是 f(x)的极值点如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值。3求函数极值的步骤确定函数的定义域求导数在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值4函数的最值(1)如果 f(x)在a,b上的
15、最大值（或最小值）是在(a ，b) 内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值） ，它是 f(x)在(a，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的） ，但是最值也可能在a，b 的端点 a 或 b 处取得，极值与最值是两个不同的概念(2)求 f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤求 f(x)在 (a，b) 内的极值将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值5生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题解决这些问题具有非常现实的意义这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题6. 注意事项1函数图像看增减，导数图像看正负。2极大值不一定比极小值大。3极值是局部的性质，最值是整体的性质8.导数应用于求极限
