1、第 1 页（共 29 页）2016-2017 学年湖北省华中师范大学高三（下）2 月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1已知集合 A=x|x24， xR，B=x |（x+3） （x1）0，则 A（ RB）=（ ）A （ ，3 ） （1，2 ） B 3，1 C （1，2 ） D （2，12已知 x，y 满足 ，则 3x2y 的最大值为（ ）A 4 B8 C11 D133函数 的一个单调递增区间是（ ）A B C D4我国南宋时期的数学九章中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行下列算法的程序
2、框图时，若输入的 n=4，x=2，则输出 V 的值为（ ）A15 B31 C63 D1275在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别是 a，b，c，向量，且 则 B 的值是（ ）第 2 页（共 29 页）A B C D6偶函数 f（x）在（0， +）上递增，a=f （log 2 ）b=f（ ）c=f（log 32） ，则下列关系式中正确的是（ ）Abc Bacb Ccab Dcba7下列命题中真命题的个数是（1） “ ”的否定是“ xR，x 22sinx5”；（2） “AOB 为钝角” 的充要条件是 “ ”；（3）函数 的图象的对称中心是 （ ）A0 B1 C2 D38一个几何体的三视图如
3、图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C D9设 ，直线 x=1，x=1，y=0，y=e 围成的区域为 M，曲线 y=f（x）与直线 x=1， y=0 围成的区域为 N，在区域 M 内任取一点 P，则 P点在区域 N 的概率为（ ）A B C D10如图，在矩形 ABCD 中， ，将 ACD 沿折起，使得 D 折起的位置为 D1，且 D1 在平面 ABC 的射影恰好落在 AB 上，则直线 D1C 与平面 ABC 所成角的正弦值为（ ）第 3 页（共 29 页）A B C D11点 M 是抛物线 x2=2py（p 0）的对称轴与准线的交点，点 F 为抛物线的焦点，P 在抛物线上，在 PFM 中
4、，sinPFM=sinPMF ，则 的最大值为（ ）A B1 C D12设 f（x） =（x2） 2ex+aex，g （x ）=2a |x2|（e 为自然对数的底数） ，若关于x 方程 f（x）=g（x）有且仅有 6 个不等的实数解则实数 a 的取值范围是（ ）A （ ，+） B （ e，+） C （1，e ） D （1， ）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13若复数 z 满足（1i）z=1 5i，则复数 z 的虚部为 14已知 ，则的值为 15设 ，将函数 y=f（x）的图象上所有点向右平移 个单位得到函数 y=g（x）的图象，若函数 g（x）的最大值为 g（
5、） ，则为 16过点 P（1，1）作圆 C：（xt） 2+（y t+2） 2=1（t R）的切线，切点分别为A，B ，则 的最小值为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.第 4 页（共 29 页）17设数列a n的前 n 项和为 Sn，且 an 与 2Sn 的等差中项为 1（1）求数列a n的通项；（2）对任意的 nN*，不等式 恒成立，求实数 的取值范围18PM2.5 是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解某市空气质量情况，从去年每天的 PM2.5 值的数据中随机抽取 40 天的数据，其频率分布直方图如图所示现将 PM2.5 的值划分为如下
6、等级PM2.5 0，100 ） 100，150 ） 150，200 ） 200，250 等级 一级 二级 三级 四级用频率估计概率（1）估计该市在下一年的 360 天中空气质量为一级天气的天数；（2）在样本中，按照分层抽样的方法抽取 8 天的 PM2.5 值的数据，再从这 8个数据中随机抽取 5 个，求一级、二级、三级、四级天气都有的概率；（3）如果该市对环境进行治理，治理后经统计，每天 PM2.5 值 X 近似满足XN，则治理后的 PM2.5 值的均值比治理前大约下降了多少？19已知四棱锥 SABCD 的底面为平行四边形，且 SD平面ABCD，AB=2AD=2SD ，DCB=60 ，M ，N
7、 分别为 SB，SC 的中点，过 MN 作平面MNPQ 分别与线段 CD，AB 相交于点 P，Q，且 （1）当 时，证明：平面 MNPQ平面 SAD；（2）是否存在实数 ，使得二面角 MPQB 为 60？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由第 5 页（共 29 页）20已知椭圆 的左焦点为 F，不垂直于 x 轴且不过 F 点的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点（1）如果直线 FA，FB 的斜率之和为 0，则动直线 l 是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由（2）如果 FAFB，原点到直线 l 的距离为 d，求 d 的取值范围21已知 f（ x）=
8、sinx + mx（m0） （1）若 f（x）在0，+ ）上单调递增，求实数 m 的取值范围；（2）当 a1 时，x0，+）不等式 sinxcosxe ax2 是否恒成立？请说明理由请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑选修 4-4：参数方程与极坐标系22在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数，） 在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l的方程为 （1）求直线 l 的直角坐标方程；（2）若 P 为曲线 C 上一点，Q 为 l 上一点，求|PQ|的最小值选修
9、4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=|x+ 1|+|x+m|第 6 页（共 29 页）（1）若函数 f（x）的最小值为 2，求 m 的值；（2）当 x1，1时，不等式 f（x）2x+3 恒成立，求 m 的取值范围第 7 页（共 29 页）2016-2017 学年湖北省华中师范大学高三（下）2 月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1已知集合 A=x|x24， xR，B=x |（x+3） （x1）0，则 A（ RB）=（ ）A （ ，3 ） （1，2 ） B 3，1 C
10、 （1，2 ） D （2，1【考点】交、并、补集的混合运算【分析】分别求出关于 A、B 的不等式，求出 B 的补集，从而求出其和 A 的交集即可【解答】解：A=x|x 24，x R=x|2x2，B=x|（x+3） （x1）0 =x|x1 或 x3，则 RB=x|3x1，故 A（ RB）=x|2x1，故选：D2已知 x，y 满足 ，则 3x2y 的最大值为（ ）A 4 B8 C11 D13【考点】简单线性规划【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值【解答】解：由已知得到可行域如图：设 z=3x2y，得到 y= ，第 8 页（共 29 页）当此直线经过图中 A（3， 1）时在 y 轴
11、的截距最小，z 最大，所以 z 的最大值为 33+2=11；故选 C3函数 的一个单调递增区间是（ ）A B C D【考点】正弦函数的图象【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得f（x）的一个增区间【解答】解：对于函数 =3cos（ 2x）=3cos （2x ） ，令 2k2x 2k，求得 k x k+ ，可得函数的增区间为k ，k+ ，k Z，令 k=1，可得选项 A 正确，故选：A第 9 页（共 29 页）4我国南宋时期的数学九章中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行下列算法的程序框图时，若输入的 n=4，x=2，则输出 V 的值为（ ）A15 B31 C63
12、 D127【考点】程序框图【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 v 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：输入的 x=2，n=4，故 v=1，i=3，v=12+1=3i=2，v=32+1=7i=1，v=72+1=15i=0，v=152+1=31i=1，跳出循环，输出 v 的值为 31，故选：B5在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别是 a，b，c，向量，且 则 B 的值是（ ）A B C D【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据余弦定理，可用 a，b，c 表示 cosC，cosA，从而可求出 ，这样带入 即可求出 cosB 的值，进而得出 B
13、 的值第 10 页（共 29 页）【解答】解：在ABC 中，由余弦定理，； = ；又 ； ； ； 故选 B6偶函数 f（x）在（0， +）上递增，a=f （log 2 ）b=f（ ）c=f（log 32） ，则下列关系式中正确的是（ ）Abc Bacb Ccab Dcba【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】函数 f（x）为 R 上的偶函数，可得 a=f（log 2 ）=f（log 23） ，利用对数函数的单调性及其 f（x）的单调性即可得出【解答】解：函数 f（x ）为 R 上的偶函数，a=f（log 2 ）=f（log 23） ，0log 32 log23 ，函数 f（x）在（0，+）上递增
14、，f（ log32）f（log 23）f（ ） ，cab故选：C7下列命题中真命题的个数是（1） “ ”的否定是“ xR，x 22sinx5”；（2） “AOB 为钝角” 的充要条件是 “ ”；第 11 页（共 29 页）（3）函数 的图象的对称中心是 （ ）A0 B1 C2 D3【考点】命题的真假判断与应用【分析】 （1）根据含有量词命题的否定定义判定；（2）根据向量的夹角与数量积的关系判定；（3）由 y=tanx 的对称中心为（ ，0） ，kZ 判定【解答】解：对于（1） ， “ ”的否定是“xR，x 22sinx5”，正确；对于（2） ， “AOB 为钝角”的充要条件是“ ”且 不共线，
15、故错；对于（3） ，y=tanx 的对称中心为（ ，0） ，kZ ，由 2x+ = ，k Z，得 x= ，故错故选：B8一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C D【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥 PABC，过点 P 作 PD底面 ABC，垂足 D 在 AC 的延长线上，且 BDADAC=CD=1， BD=2，PD=2即可得出第 12 页（共 29 页）【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥 PABC，过点 P 作 PD底面 ABC，垂足 D 在 AC 的延长线上，且 BDADAC=CD=1，BD=2，PD=2该几何体的体积 V= =
16、 故选：A9设 ，直线 x=1，x=1，y=0，y=e 围成的区域为 M，曲线 y=f（x）与直线 x=1， y=0 围成的区域为 N，在区域 M 内任取一点 P，则 P点在区域 N 的概率为（ ）A B C D【考点】几何概型【分析】根据题意，画出曲线 y=f（x ）与直线 x=1，y=0 围成的区域为 N（阴影部分） ，以及直线 x=1，x=1，y=0，y=e 围成的区域为 M，计算阴影面积与正方形面积比即可【解答】解：如图，S N= 11+ exdx= +ex| = +e1=e ，SM=2e，P 点在区域 N 的概率为 = = ，故选：A第 13 页（共 29 页）10如图，在矩形 AB
17、CD 中， ，将 ACD 沿折起，使得 D 折起的位置为 D1，且 D1 在平面 ABC 的射影恰好落在 AB 上，则直线 D1C 与平面 ABC 所成角的正弦值为（ ）A B C D【考点】直线与平面所成的角【分析】设 D1 在平面 ABC 的射影为 O，求出 D1O= ，即可求出直线 D1C 与平面 ABC 所成角的正弦值【解答】解：设 D1 在平面 ABC 的射影为 O，由题意，CB 平面 D1CB， CDD 1B，D 1C= ，BC=1，D 1B= ， =AB2，D 1BD 1A，由等面积可得 D1O =1 ，D 1O= ，第 14 页（共 29 页）直线 D1C 与平面 ABC 所成
18、角的正弦值为 = ，故选：B11点 M 是抛物线 x2=2py（p 0）的对称轴与准线的交点，点 F 为抛物线的焦点，P 在抛物线上，在 PFM 中，sinPFM=sinPMF ，则 的最大值为（ ）A B1 C D【考点】抛物线的简单性质【分析】由正弦定理求得丨 PM 丨= 丨 PF 丨，根据抛物线的定义，则 =，sin= ，则 取得最大值时，sin 最小，此时直线 PM 与抛物线相切，将直线方程代入抛物线方程，=0，求得 k 的值，即可求得 的最大值【解答】解：过 P 作准线的垂线，垂足为 B，则由抛物线的定义可得|PF|=|PB|，由 sinPFM=sinPMF ，则PFM 中由正弦定理
19、可知：则丨 PM 丨= 丨 PF 丨，|PM|= |PB| = ，设 PM 的倾斜角为 ，则 sin= ，当 取得最大值时，sin 最小，此时直线 PM 与抛物线相切，设直线 PM 的方程为 y=kx ，则 ，即 x22pkx+p2=0，=4p 2k24p2=0，k=1，即 tan=1，第 15 页（共 29 页）则 sin= ，则 的最大值为 = ，故选：C12设 f（x） =（x2） 2ex+aex，g （x ）=2a |x2|（e 为自然对数的底数） ，若关于x 方程 f（x）=g（x）有且仅有 6 个不等的实数解则实数 a 的取值范围是（ ）A （ ，+） B （ e，+） C （1，
20、e ） D （1， ）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】f（x）=g（x） ，即（x2） 2ex+aex=2a|x2|，利用二次方程根的分布研究方法，即可得出结论【解答】解：f（x）=g（ x） ，即（x2） 2ex+aex=2a|x2|，x=2，a=0 时，x=2 为函数的零点，不合题意；x2，令 t=|x2|ex，则 t2+a=2at，x2，t=（x2）e x，t=（x 1）e x，在（2 ，+）上单调递增；x2，t=（2 x）e x，t=（1x）e x，在（，1）上单调递增， （1，2）上单调递第 16 页（共 29 页）减，关于 x 方程 f（x）=g（x）有且仅有 6 个不等的
21、实数解，t （0 ，e） ，令 y=t22at+a，则 ，1a 故选 D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13若复数 z 满足（1i）z=1 5i，则复数 z 的虚部为 2 【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z 得答案【解答】解：由（1i）z=15i，得 ，则复数 z 的虚部为： 2故答案为：214已知 ，则的值为 2 2017 【考点】二项式定理的应用【分析】分别令 x=1、x= 1，求得 a0+a2+a4+a2016 和 a1+a3+a7+a2017 的值，再利用平方差公式求得 的值【解答】解：已知 ，
22、令 x=1 可得 a0+a1+a2+a3+a2016+a2017= ，第 17 页（共 29 页）x=1 可得 a0a1+a2a3+a2016a2017= ，则 =（ a0+a2+a4+a2016 ）+（a 1+a3+a7+a2017 ）（ a0+a2+a4+a2016 ）（ a1+a3+a7+a2017 ）= = =（3 1） 2017=22017，故答案为：2 201715设 ，将函数 y=f（x）的图象上所有点向右平移 个单位得到函数 y=g（x）的图象，若函数 g（x）的最大值为 g（ ） ，则为 【考点】函数 y=Asin（x+ ）的图象变换【分析】利用函数 y=Asin（x+ ）的
23、图象变换规律，辅助角公式化简 g（x）的解析式，再利用正弦函数的最值求得 的值，可得 的值【解答】解：把 的图象上所有点向右平移 个单位得到函数 y=g（x ）=3sin 2cos=3sin（ ）2cos（ ）= sin（ ） cos（ ）= sin（ ）的图象，其中，cos= ，sin= ，故当（ ）=2k+ ，k Z 时，即 x=4k+2+ 时，函数 g（x ）的最大值为 g（） ，故 =4k+2+ ，则 =cos（4k+2 + + ）=cos（2+ ）第 18 页（共 29 页）=sin2=2sincos=2 = ，故答案为： 16过点 P（1，1）作圆 C：（xt） 2+（y t+2）
24、 2=1（t R）的切线，切点分别为A，B ，则 的最小值为 【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据直线与圆相切的性质可求 PA=PB，及APB ，然后代入向量数量积的定义可求 的最小值【解答】解：圆 C：（xt） 2+（y t+2） 2=1 的圆心坐标为（t，t2） ，半径为 1，PC= = ，PA=PB= ，cosAPC= ，cosAPB=2（ ） 21=1 ， =（ PC21） （1 ）= 3+PC2+ = ， 的最小值为 故答案为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17设数列a n的前 n 项和为 Sn，且 an 与 2Sn 的等差
25、中项为 1（1）求数列a n的通项；（2）对任意的 nN*，不等式 恒成立，求实数 的取值范围【考点】数列与不等式的综合；数列的求和第 19 页（共 29 页）【分析】 （1）通过等差中项的性质可知 an+2Sn=2，进而整理可知数列a n是首项为 、公比为 的等比数列，计算即得结论；（2） = 9n1，根据等比数列的求和公式，再根据题意可得 （1 ） ，根据数列的单调性即可求出【解答】解：（1）a n 是 2Sn 和 1 的等差中项，a n+2Sn=2，S n=1 an，当 n=1 时，a 1=1 a1，解得 a1= ，当 n2 时，S n1=1 an1，两式相减得：a n=1 an1+ a
26、n1，a n= an1，数列a n是首项为 、公比为 的等比数列，a n=2（ ） n；（2）由（1）可得 = 9n1， + + = （1+9+9 2+9n1）= ，不等式 恒成立，则有 ，即 （1 ） ，第 20 页（共 29 页）令 f（n）= （1 ） ，则 f（n ）在 N*上递增，f（ n）f （1）=3，实数 的取值范围（，318PM2.5 是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解某市空气质量情况，从去年每天的 PM2.5 值的数据中随机抽取 40 天的数据，其频率分布直方图如图所示现将 PM2.5 的值划分为如下等级PM2.5 0，100 ） 100，150 ） 150，200 ）
27、 200，250 等级 一级 二级 三级 四级用频率估计概率（1）估计该市在下一年的 360 天中空气质量为一级天气的天数；（2）在样本中，按照分层抽样的方法抽取 8 天的 PM2.5 值的数据，再从这 8个数据中随机抽取 5 个，求一级、二级、三级、四级天气都有的概率；（3）如果该市对环境进行治理，治理后经统计，每天 PM2.5 值 X 近似满足XN，则治理后的 PM2.5 值的均值比治理前大约下降了多少？【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；频率分布直方图【分析】 （1）该市在下一年的 360 天中空气质量为一级天气的概率为0.125+0.125=0.25，即可估计该市在下一年的
28、360 天中空气质量为一级天气的天数；（2）按照分层抽样的方法从一级、二级、三级、四级的 PM2.5 值的数据的比值为：10：10：15 ：5=2 ：2：3：1，确定基本事件的个数，即可得出结论；（3）求出该市维持现状不变，该市 PM2.5 值，治理后的 PM2.5 值的均值即可第 21 页（共 29 页）得出结论【解答】解：（1）由题意，该市在下一年的 360 天中空气质量为一级天气的概率为 0.125+0.125=0.25，天数为 90 天；（2）按照分层抽样的方法从一级、二级、三级、四级的 PM2.5 值的数据的比值为：10：10：15 ：5=2 ：2：3：1，从这 8 个数据中随机抽取
29、 5 个，共有 =56 种，一级、二级、三级、四级天气都有，有 3 种情况，一级天气 2 个，其余 1 个；二级天气 2 个，其余 1 个；三级天气 2 个，其余 1 个；共有 C22C32C21C11+C21C32C21C11+C22C33C21C11=24 种，故概率为 = ；（3）如果该市维持现状不变，则该市 PM2.5 值约为 E（Y ）=250.125+750.125+1250.375+1750.25+2250.125=131.25，治理后的PM2.5 值的均值 E（X ）=115，治理后的 PM2.5 值的均值比治理前大约下降了 16.2519已知四棱锥 SABCD 的底面为平行四
30、边形，且 SD平面ABCD，AB=2AD=2SD ，DCB=60 ，M ，N 分别为 SB，SC 的中点，过 MN 作平面MNPQ 分别与线段 CD，AB 相交于点 P，Q，且 （1）当 时，证明：平面 MNPQ平面 SAD；（2）是否存在实数 ，使得二面角 MPQB 为 60？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面平行的判定【分析】 （1）推导出 MNBC ，MNBC，从而 MN平面 SAD，再求出 MQ平面 SAD，由此能证明平面 MNPQ平面 SAD第 22 页（共 29 页）（2）连结 BD，交 PQ 于点 R，则 BC平面 MNPQ，从而 P
31、QBCAD，推导出AD平面 SBD，PQ平面 SBD，则MRB 为二面角 MPQB 的平面角，从而MRB=60，过 M 作 MEDB 于 E，则 MESD ，从而 ME平面 ABCD，由此能求出结果【解答】证明：（1）M，N 分别是 SB，SC 的中点， MNBC，由底面 ABCD 为平行四边形，得 ADBC，MNBC，又 MN平面 SAD，MN平面 SAD，= ，Q 为 AB 的中点， MQSA，又 MQ平面 SAD，MQ 平面 SAD，MNMQ=M ，平面 MNPQ平面 SAD解：（2）连结 BD，交 PQ 于点 R，MNBC，BC平面 MNPQ，又平面 MNPQ平面 ABCD=PQ，PQ
32、 BCAD，在ABCD 中，AB=2AD ，DCB=60 ，ADDB ，又 SD平面 ABCD，SDAD ，且 SDDB=D ，AD平面 SBD，PQ 平面 SBD，MRB 为二面角 MPQB 的平面角，MRB=60 ，过 M 作 MEDB 于 E，则 MESD，ME平面 ABCD，设 AD=SD=a， M 为 SB 的中点，ME= ，DE= ，在 RtMER 中，ME= ， MRB=60，RE= ，DR=DERE= ， = ，PQAD， 第 23 页（共 29 页）20已知椭圆 的左焦点为 F，不垂直于 x 轴且不过 F 点的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点（1）如果直线 FA，F
33、B 的斜率之和为 0，则动直线 l 是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由（2）如果 FAFB，原点到直线 l 的距离为 d，求 d 的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】 （1）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，直线 AB 的方程为：y=kx+b 联立，整理得（2k 2+1）x 2+4kbx+2（b 21）=0，由 kFA+kFB=0，可得 b 与 k的关系，即可；（2）由（1）得 =（x 1+1） （x 2+1）+（kx 1+b）（kx 2+b）由=0 及求出 b 的范围又 d= = =即可求解，【解答】解：（1）设 A（x 1，y
34、1） ，B（x 2，y 2） ，直线 AB 的方程为：y=kx+b联立 ，整理得（2k 2+1）x 2+4kbx+2（b 21）=0，=8（2k 2+1b2）0，第 24 页（共 29 页）kFA+kFB= （kx 2+b） （x 1+1）+（kx 1+b） （x 2+1）=2kx 1x2+（k+b） （x 1+x2）+2b=2k（k+b） =0b=2k，直线 AB 的方程为：y=kx+2k ，则动直线 l 一定经过一定点（ 2，0） （2）由（1）得 =（x 1+1） （x 2+1）+（kx 1+b）（kx 2+b）=（ k2+1） 代入得恒成立又 d= = = ，d 的取值范围（0， ）
35、21已知 f（ x）=sinx + mx（m0） （1）若 f（x）在0，+ ）上单调递增，求实数 m 的取值范围；（2）当 a1 时，x0，+）不等式 sinxcosxe ax2 是否恒成立？请说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；第 25 页（共 29 页）（2）问题转化为不等式 eax x10 对 x0，+）恒成立，构造函数M（x）=e x x1，根据函数的单调性判断即可【解答】解：（1）由题意得 f（x ）=cosx+ m，设 g（ x）=cosx + m，则 g（x）=sinx+x ，令
36、h（x）=sinx+x，则 h（ x）=cosx+10，故 h（x）在0，+）递增，故 g（x）g（0）=0，故 g（ x）在0，+）递增，即 g（x）g（0）=1m，故要使 f（x ）在0，+）递增，则 1m0，即 m1，故 m 的范围是 m1；（2）由（1）可得，x0，+）时，sinxx 且 cosx+ m1m，即 cosx1 ，故 sinxcosxx （1 ） ，故若x0，+） ，不等式 x（1 ）e ax2 恒成立，则不等式 sinxcosxe ax2，x 0，+）恒成立，要使不等式 x（1 ） eax2，x 0，+）恒成立，即使不等式 eax x10 对 x0，+）恒成立，构造函数
37、M（ x）=e x x1，第 26 页（共 29 页）则 M（x）=e xx1，令 m（x ）=e xx1，则 m（x）=e x1，当 x0，+）时，m （x）0，故 m（x）在0，+）递增，故 m（x ） m（0 ）=0 ，故 M（x）0，即 M（x）在0，+）递增，故 M（ x）M（0）=0，故 ex x10 恒成立，当 a1 时，e axe x，即x 0，+）不等式 eax x10 恒成立，故 a1 时，x0，+）不等式 sinxcosxe ax2 恒成立请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑选修
38、 4-4：参数方程与极坐标系22在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数，） 在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l的方程为 （1）求直线 l 的直角坐标方程；（2）若 P 为曲线 C 上一点，Q 为 l 上一点，求|PQ|的最小值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】 （1）直线 l 的方程转化为 + =4 ，由此能求出直线 l 的直角坐标方程（2）点 P（8tan 2，8tan）到直线 l 的距离 d= =4 （tan） 2+3 ，由此能求出当 tan= 时，|PQ |取得最小值第 27 页（共 29 页）【解答】解：（1）
39、直线 l 的方程为 即 + =4 ，直线 l 的直角坐标方程为 ，即 x+y+8=0（2）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数， ） P 为曲线 C 上一点，Q 为 l 上一点，点 P（8tan 2，8tan ）到直线 l 的距离：d= =4 |（tan+ ） 2+ |=4 （tan ） 2+3 ，当 tan= 时，|PQ|取得最小值 3 选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=|x+ 1|+|x+m|（1）若函数 f（x）的最小值为 2，求 m 的值；（2）当 x1，1时，不等式 f（x）2x+3 恒成立，求 m 的取值范围【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法【分析】 （1）求出 f（x）的最小值，得到 |m1|=2，解出 m 的值即可；（2）问题转化为2x2m 2，即可求 m 的取值范围【解答】解：（1）f（x） =|x+1|+|x+m|（x+1）（x+m）|=|m1|，当且仅当（x+1） （x+m）0 时取等号，f（ x） min=|m1|，由|m1|=2 ，解得：m=3 或 m=1；（2）当 x1，1时，不等式 f（x）2x+3，即 x+1+|x+m|2x+3，x 2x+m x +2，第 28 页（共 29 页）2x2m2，x1，1，0m2第 29 页（共 29 页）2017 年 5 月 16 日
