高三数学第二轮复习教案.doc

1、高三数学第二轮复习教案第 5 讲 解析几何问题的题型与方法（二）七、强化训练1、已知 P 是以 、 为焦点的椭圆 上一点，若 1F2 )0(12bayx 021PF，则椭圆的离心率为 （ ） tan21（A） （B） （C） （D） 3231352、已知ABC 的顶点 A（3，1） ，AB 边上的中线所在直线的方程为 6x+10y59=0，B 的平分线所在直线的方程为：x4y +10=0，求边 BC 所在直线的方程。3、求直线 l2：7x y+4=0 到 l1：x+y2=0 的角平分线的方程。4、已知三种食物 P、Q、R 的维生素含量与成本如下表所示。现在将 xkg 的食物 P 和 ykg 的

2、食物 Q 及 zkg 的食物 R 混合，制成 100kg 的混合物.如果这 100kg 的混合物中至少含维生素 A44 000 单位与维生素 B48 000 单位，那么 x，y，z 为何值时，混合物的成本最小？5、某人有楼房一幢，室内面积共 180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18m2，可住游客 5 名，每名游客每天住宿费为 40 元；小房间每间面积为 15 m2，可住游客 3 名，每名游客每天住宿费为 50 元.装修大房间每间需 1000 元，装修小房间每间需 600 元.如果他只能筹款 8000 元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最

3、大收益？6、已知ABC 三边所在直线方程 AB：x6=0，BC：x2y8=0，CA：x+2y=0，求此三角形外接圆的方程。7、已知椭圆 x2+2y2=12，A 是 x 轴正方向上的一定点，若过点 A，斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长食物 P 食物 Q 食物 R维生素 A（单位/k g） 400 600 400维生素 B（单位/k g） 800 200 400成本（元/kg） 6 5 4为 ，求点 A 的坐标。3148、已知椭圆 （ab0）上两点 A、B，直线 上有两点 C、D，且 ABCD 是12yx kxyl:正方形。此正方形外接圆为 x2+y22y 8=0 ，求椭圆方程和直线 的方程。9

4、、求以直线 为准线，原点为相应焦点的动椭圆短轴 MN 端点的轨迹方程。:l10、若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为 ，求椭圆的方程。1211、已知直线 与椭圆 相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在直xy )0(12bayx线 上。02:xl（）求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的右焦点关于直线 的对称点的在圆 上，求此椭圆的方程。l 42yx12、设 A（x 1，y 1）为椭圆 x2+2y2=2 上任意一点，过点 A 作一条直线 ，斜率为 ，又设 d 为原l12yx点到直线 的距离，r 1、r 2 分别为点 A 到椭圆两焦点的

5、距离。求证： 为定值。l dr2113、 某工程要将直线公路 l 一侧的土石，通过公路上的两个道口 A 和 B，沿着道路 AP、BP 运往公路另一侧的 P 处，PA=100m，PB=150m ，APB=60，试说明怎样运土石最省工？14、已知椭圆 （ab0） ，P 为椭圆上除长轴端点外的任一点，F 1、F 2 为椭圆的两个焦12yx点， （1）若 ， ，求证：离心率 ；（2）若 ，求证：21FP21 cose 21P的面积为 。21tan2b15、在 RtABC 中，CBA=90，AB=2，AC= 。DO AB 于 O 点，OA=OB，DO=2，曲线 E2过 C 点，动点 P 在 E 上运动，

6、且保持| PA |+| PB |的值不变。（1）建立适当的坐标系，求曲线 E 的方程；（2）过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、N 且 M 在 D、N 之间，设 ，M试确定实数 的取值范围。16、 （2004 年北京春季高考） 已知点 A（2，8） ， 在抛物线 上，BxyCxy()()12， ， ， ypx2的重心与此抛物线的焦点 F 重合（如图） 。ABCOAFMxC（I）写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标；（II）求线段 BC 中点 M 的坐标；（III）求 BC 所在直线的方程。八、参考答案1、解：设 c 为为椭圆半焦距， 021PF 21PF又 21tan21)

7、(2221PFac解得： 3595)(2aceac选（D） 。说明：垂直向量的引入为解决解析几何问题开辟了新思路。求解此类问题的关键是利用向量垂直的充要条件：“ ”，促使问题转化，然后利用数形结合解决问题。0ba2、解：设 B（a， b） ，B 在直线 BT 上，a4b+10=0 又 AB 中点 在直线 CM 上，21,3M点 M 的坐标满足方程 6x+10y59=0 059126ba解、组成的方程组可得 a=10，b=5 B（10， 5） ，又由角平分线的定义可知，直线 BC 到 BT 的角等于直线 BT 到直线 BA 的角，又 76ABk41T BTABCTk1 ，92kBC 所在直线的方

8、程为 即 2x+9y65=0。)10(95y3、解法一：设 l2 到 l1 角平分线 l 的斜率为 k，k 1=1，k 2=7。 ，解之得 k=3 或 ，由图形可知 k0，k171k=3，又由 解得 l1 与 l2 的交点 ，042yx 49,Q由点斜式得 即 6x+2y3=0。4139y解法二：设 l2 到 l1 的角为 ，则 ，所以角 为锐角，而 ，由二倍角公3421ktg 21式可知 或 为锐角，3421tg2tt ，kt7k=3 等同解法一。解法三：设 l：（x +y2）+ （7xy+4）=0 即（1+7 ）x+（1）y+（42）=0。 ，由解法一知 ，1713k ，代入化简即得：6x

9、+2y3=0。5解法四：用点到直线的距离公式，设 l 上任一点 P（x， y） ，则 P 到 l1 与 l2 的距离相等。 整理得：6x+2y3=0 与 x3y+7=0，又 l 是 l2 到 l1 的角的平分线，0|47|2| k0，x3y+7=0 不合题意所以所求直线 l 的方程为 6x+2y3=0。4、分析：由 x+y+z=100，得 z=100xy，所以上述问题可以看作只含 x，y 两个变量.设混合物的成本为 k 元，那么 k=6x+5y+4（ 100x y）=2x+y+400，于是问题就归结为求 k 在已知条件下的线性规划问题。解：已知条件可归结为下列不等式组：。480)10(4280

10、640yxyxx即 。402yx在平面直角坐标系中，画出不等式组所表示的平面区域，这个区域是直线x+y=100，y=20，2x y =40 围成的一个三角形区域 EFG（包括边界） ，即可行域，如图所示的阴影部分。设混合物的成本为 k 元，那么 k=6x+5y+4（100x y）=2x+y+400。作直线 ：2x+y =0，把直线 向右上方平移至 位置时，直线经过可行域上的点 E，且与原点的距离0l0l1l最小，此时 2x+y 的值最小，从而 k 的值最小。由 得 04203yx即点 E 的坐标是（30，20） 。所以， =230+20+400=480（元） ，此时 z=1003020=50。

11、最 小 值k答：取 x=30，y =20，z=50 时，混合物的成本最小，最小值是 480 元。5、解：设隔出大房间 x 间，小房间 y 间时收益为 z 元，则 x、y 满足。，x，yN ，806101xy且 z=200x+150y。所以 ，x，y N ，4035作出可行域及直线 ：200x+150y=0，即l 4x+3y=0。（如图 4） 。把直线 向上平移至 的位置时，直线经过可行域0l1l 上的点B，且与原点距离最大.此时， z=200x+150y 取最大值.但解 6x+5y=60 与 5x+3y=40 联立的方程组得到 B（， ） 。由于点 B 的坐标不是整数，而 x，yN，所以可行域

12、内的点 B 不是最优解。726图 4为求出最优解，同样必须进行定量分析。因为 4 +3 = 37.1，但该方程的非负整数解（1，11） 、 （4，7） 、 （7，3）均不在可行720670域内，所以应取 4x+3y=36.同样可以验证，在可行域内满足上述方程的整点为（0，12）和（3，8）.此时z 取最大值 1800 元. 。6、解：解方程组可得 A（6， 3） 、B（6，1） 、C（4，2）设方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0，则：024)1(32FED解之得：D= ，E=4，F=30 。所以所求的ABC 的外接圆方程为： 。03421yx7、分析：若直线 y=kx+b 与圆锥曲线 f（x

13、 ，y）=0 相交于两点 P（x 1，y 1） 、Q （x 2、y 2） ，则弦 PQ 的长度的计算公式为 ，而。|1|1| 2221kkPQ，因此只要把直线 y=kx+b 的方程代入圆锥曲线 f（x，y）=0 方程，2121214)(| xxx消去 y（或 x） ，结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。解：设 A（x 0，0） （x 00） ，则直线 的方程为 y=xx 0，设直线 与椭圆相交于 P（x 1，y 1） ，l lQ（x 2、y 2） ，由 ，可得 3x24x 0x+2x0212=0， 12y， ，则34021x3201 2020212121 3648964)(| xxxx

14、x ，即|34212 2032x 02=4，又 x00，x 0=2，A （2，0）8、解：圆方程 x2+y22y 8=0 即 x2+（y 1） 2=9 的圆心 O（0，1） ，半径 r=3。设正方形的边长为 p，则 ，r2 ，23p又 O是正方形 ABCD 的中心，O到直线 y=x+k 的距离应等于正方形边长 p 的一半即 ，由点到直线的距离公式可知 k=223或 k=4。（1）设 由 4:2xyCDAB082yx得 A（3，1）B（0，2） ，又点 A、B 在椭圆 上，12baa 2=12，b 2=4，椭圆的方程为 。142yx（2）设 AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为（0，4）

15、 ， （3，1）代入椭圆方程得 ，此时 b2a 2（舍去） 。16,5822b a综上所述，直线 方程为 y=x+4，椭圆方程为 。l 14yx9、分析：已知了椭圆的焦点及相应准线，常常需要运用椭圆的第二定义：椭圆上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率 e，而该题中短轴端点也是椭圆上的动点，因此只要运用第二定义结合 a、b、c 的几何意义即可。解：设 M（x，y ） ，过 M 作 于 A， ， ，l2|yxO2|xMA ，ex2又过 M 作 轴于 O，因为点 M 为短轴端点，则 O必为椭圆中心，x ， ，cO| 2| yxa ，2yxae 化简得 y2=2x，22x短轴端点的轨迹方

16、程为 y2=2x（x 0） 。10、解：若椭圆的焦点在 x 轴上，如图，四边形 B1F1B2F2 是正方形，且 A1F1= ，由椭圆的2几何意义可知， 解之得： ，此时椭圆的方程为 ，同理焦点也21bca,b a yx可以在 y 轴上，综上所述，椭圆的方程为 或 。12yx12x11、解：（1）设 A、B 两点的坐标分别为 得1).,(),( 221byaxyxBA则则， 02)( 22 baxba根据韦达定理，得 ,2)(,221211 baxybax 线段 AB 的中点坐标为（ ） 22,ba由已知得 22222 )(,0cacba 故椭圆的离心率为 。e（2）由（1）知 从而椭圆的右焦点

17、坐标为 设 关于直线 的对称,cb),0(bF)0,(b02:yxl点为 ,2120),( 000 ybxxy且则解得 b54300且由已知得 4,)(, 22220 byx故所求的椭圆方程为 148212、分析：根据椭圆的第二定义，即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数 e（0e1）的点的轨迹是椭圆，椭圆 上任一点 P（x 1，y 1）到左焦点 F1 的距离|PF 1|=a+ex1，到右焦点 F2 的12byax距离|PF 2|=aex 1；同理椭圆 上任一点 P（x 1，y 1）到两焦点的距离分别为 a+ey1 和 aey 1，2这两个结论我们称之为焦半径计算公式，它们在椭圆中有着广泛

18、的运用。解：由椭圆方程 可知 a2=2，b 2=1 则 c=1，2yx离心率 ，e由焦半径公式可知， 。21211121)( xeaxear 又直线 的方程为：l即 x1x+2y1y2=0，)(211yxy由点到直线的距离公式知， ，214yxd又点（x 1，y 1）在椭圆上，2y 12=2=x12， ，21212121 4)(4xxyd 为定值。42121 xr13、解：以直线 l 为 x 轴，线段 AB 的中点为原点对立直角坐标系，则在 l 一侧必存在经 A 到 P 和经B 到 P 路程相等的点，设这样的点为 M，则。|MA|+|AP|=|MB|+|BP|，即 |MA|MB|=|BP|AP

19、|=50，750|AM 在双曲线 的右支上。162yx故曲线右侧的土石层经道口 B 沿 BP 运往 P 处，曲线左侧的土石层经道口 A 沿 AP 运往 P 处，按这种方法运土石最省工。相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可找到典型的范例，你知道吗？14、分析： 的两个顶点为焦点，另一点是椭圆上的动点，因此 ，21FP aPF2|1|F1F2|=2c，所以我们应以 为突破口，在该三角形中用正弦定理或余弦定理，结合椭圆的定义即可证得。证明：（1）在 中，由正弦定理可知 ，则。21FPsin|i|)(sin| 2121PFFsin|)sin(221c si)i(ac 2c

20、oscs2sinis)(2 ace（2）在 中由余弦定理可知。21FP |2|)|(|2cos|)( 211121 PFPFPFc )|)(os|221a 2cos1cs41| 221 bPF tan2cos1in2sin|21 bbPFSFP15、解： （1）建立平面直角坐标系， 如图所示 . | PA |+| PB |=| CA |+| CB | = 2)(2动点 P 的轨迹是椭圆 .1,2cba曲线 E 的方程是 2yx（2）设直线 L 的方程为 ， 代入曲线 E 的方程 ，得k 22yx068)1(2kxk设 M1（ ， 则),(,2yNy.126,8,0)1(4)(12kxki） L

21、 与 y 轴重合时， ii） L 与 y 轴不重合时，由得 又 ，.23k 21xDNMN 或 ,012x,012x0 1 ， 21)(1221 )(3)(64)( 2221 kkx而 ,32k .8)1(62 ,36)(42k ， ，1310.13,10,2 的取值范围是 ,316、分析：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。解：（I）由点 A（2，8）在抛物线 上，有 解得 。ypx282pp16所以抛物线方程为 ，焦点 F 的坐标为（8，0） 。23（II）如图，由 F（8，0）是 的重心，M 是 BC 的中点，所以 F 是线段 AM 的定比分点，且ABC设点 M 的坐标为 ，则AF2()xy0，解得 所以点 M 的坐标为 。1210x， xy0014， )41(则（III）由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上，所以 BC 所在的直线不垂直于 x 轴。设 BC 所成直线的方程为 。)0(14ky由 消 x 得 。ykx4132()ky234()所以 由（II）的结论得 解得 。yk12 12k4因此 BC 所在直线的方程为 即 。yx4()0xy