1、第 1 页（共 15 页）2016-2017 学年海南省国科园实验学校高三（上）第一次月考数学试卷 （理科）一选择题（每小题 5 分，共 60 分）1已知全集 U=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5，B= 2，3，4，则（ UA）B= （ ）A2，4 B 3 C2 ，4，6 D1，2，3，4，52下列命题中正确的是（ ）A命题“若 xR，则 x20”的否命题为：“若 xR，则 x20”B “sin=1”是“= ”的充分不必要条件C若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则命题“p 且 q”为真命题D命题“对任意 xR，都有 2x0”的否定是“存在 x0R，都有 2x00”3设 xR，则“
2、 |x2|1”是“x 2+x20”的（ ）A既不充分也不必要条件 B充要条件C充分而不必要条件 D必要而不充分条件4函数 y= +ln（x+1）的定义域为（ ）A （，1） （3，+ ） B （ ，13，+） C （ 2，1 D3，+）5下列函数中，既是偶函数又在区间（，0）上单调递增的是（ ）Af（x）= Bf（x）=x 2+1 Cf（x）=x 3Df （ x）=2 x6已知 a=50.2，b=（ ） 3，c=log 3 ，试比较大小（ ）Aabc Ba cb Cba c Dcab7已知 f（x）= ，则 fA1 B0 C1 D28已知函数 f（x）= log2x，在下列区间中，包含 f（x
3、）零点的区间是（ ）A （0，1） B （1，2） C （2，4） D （4，+）9下列求导运算正确的是（ ）A （x ）=1 B （x 2cosx）=2xsinx第 2 页（共 15 页）C （3 x）=3 xlog3e D （log 2x）=10已知点 P（1， ） ，则它的极坐标是（ ）A B C D11函数 的单调递增区间是（ ）A （2，+） B （ ，0） C （4，+） D （，2）12已知函数 y=loga（2ax ）在（ 1，1）上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是（ ）A （0，2） B （1，2） C （1，2 D2，+）二.填空题（每小题 5 分，共 20 分）13
4、如果幂函数 f（x）=x 的图象经过点（ 2， ） ，则 f（8）的值等于 14若偶函数 f（x）对定义域内任意 x 都有 f（x+2）=f（x） ，且当 x（0，1时，f （x）=log2x，则 = 15若直线 y=kx+2 与曲线 y=x3+mx+n 相切于点（1，4） ，则 n= 16已知函数 f（x）= 满足对任意 x1x 2，都有0 成立，则实数 a 的取值范围是 三.解答题17计算：（1）（2）log 2.56.25+lg0.001+ln 18已知集合 A=x|22 x16，B=x|log 3x1（1）分别求 AB， （ RB）A；（2）已知集合 C=x|1xa，若 CA，求实数
5、a 的取值范围19已知函数 f（x）= 第 3 页（共 15 页）（）解不等式 f（x）4；（）当 x（0，2时，f（x）mx2（mR）恒成立，求实数 m 的取值范围20在平面直角坐标系 xoy 中，以原点 o 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系已知直线 l 的方程为 （3cost 4sint）=1（t 为参数） ，圆 C 的参数方程为（ 为参数）（I）求直线 l 的直角坐标方程和圆 C 的普通方程：（II）若点 P 是圆 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离最小值21已知直线 l 经过点 P（ ，1） ，倾斜角 = ，圆 C 的极坐标方程为= cos（ ） （1）写出直线 l
6、 的参数方程，并把圆 C 的方程化为直角坐标方程；（2）设 l 与圆 C 相交于两点 A，B ，求点 P 到 A，B 两点的距离之积22已知函数 g（x）=ax 22ax+b+1（a0）在区间2，3上有最大值 4 和最小值 1设f（x）= （1）求 a、b 的值；（2）若不等式 f（2 x）k2 x0 在 x1，1上有解，求实数 k 的取值范围第 4 页（共 15 页）2016-2017 学年海南省国科园实验学校高三（上）第一次月考数学试卷 （理科）参考答案与试题解析一选择题（每小题 5 分，共 60 分）1已知全集 U=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5，B= 2，3，4，则（ UA）B
7、= （ ）A2，4 B 3 C2 ，4，6 D1，2，3，4，5【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据补集与交集的定义写出对应的集合即可【解答】解：全集 U=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5，所以 UA=2，4，6，又 B=2，3，4，所以（ UA）B=2，4故选：A2下列命题中正确的是（ ）A命题“若 xR，则 x20”的否命题为：“若 xR，则 x20”B “sin=1”是“= ”的充分不必要条件C若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则命题“p 且 q”为真命题D命题“对任意 xR，都有 2x0”的否定是“存在 x0R，都有 2x00”【考点】命题的真假判断与应用【分析】利
8、用命题的否定，复合命题的真假，充要条件判断求解即可【解答】解：对于 A，命题“若 xR，则 x20”的否命题为： “若 xR，则 x20”，所以 A不正确；对于 B， “sin=1”是“= ”的必要不充分条件，所以 B 不正确；对于 C，只有两个命题都是真命题时，命题“p 且 q”为真命题，若命题 p 为真命题，命题 q为假命题，则命题“p 且 q”为真命题，所以 C 不正确；对于 D，命题“对任意 xR，都有 2x0”的否定是“存在 x0R，都有 2x00” ，满足命题的否定形式，所以正确故选：D3设 xR，则“ |x2|1”是“x 2+x20”的（ ）A既不充分也不必要条件 B充要条件C充
9、分而不必要条件 D必要而不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由“|x 2|1”得 1x3，第 5 页（共 15 页）由 x2+x20 得 x1 或 x 2，即“| x2|1”是“x 2+x20”的充分不必要条件，故选：C4函数 y= +ln（x+1）的定义域为（ ）A （，1） （3，+ ） B （ ，13，+） C （ 2，1 D3，+）【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域【解答】解：要使函数有意义，则 得 得 x3，即函数的定义域为3，+） ，故选：D5下列函数
10、中，既是偶函数又在区间（，0）上单调递增的是（ ）Af（x）= Bf（x）=x 2+1 Cf（x）=x 3Df （ x）=2 x【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（，0）上单调递增，得到本题结论【解答】解：选项 A， ，f （x）= =f（x） ，f（x）是偶函数，图象关于 y 轴对称f（x）=x 2， 20，f（x）在（0，+）单调递减，根据对称性知，f（x）在区间（ ，0）上单调递增； 适合题意选项 B，f（x）=x 2+1，是偶函数，在（0，+）上单调递增，在区间（，0）上单调递减，不合题意选项 C，
11、f（x）=x 3 是奇函数，不是偶函数，不合题意选项 D，f（x）=2 x 在（ ，+）单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意故选 A第 6 页（共 15 页）6已知 a=50.2，b=（ ） 3，c=log 3 ，试比较大小（ ）Aabc Ba cb Cba c Dcab【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数函数与对数函数的性质，并与 0、1 比较，容易得出 a、b、c 的大小【解答】解：a=5 0.25 0=1，b=（ ） 3 ，c=log 3 log 31=0，abc故选：A7已知 f（x）= ，则 fA1 B0 C1 D2【考点】分段函数的应用；函数的值【分析】根据已知中函数的
12、解析式，可得 f=f=f（4） ，代入可得答案【解答】解：f（x）= ，f=f=f（4）=log 24=2，故选：D8已知函数 f（x）= log2x，在下列区间中，包含 f（x）零点的区间是（ ）A （0，1） B （1，2） C （2，4） D （4，+）【考点】函数零点的判定定理【分析】可得 f（2）=20，f（4）= 0，由零点的判定定理可得【解答】解：f（x）= log2x，f（2）=2 0，f（4）= 0，满足 f（2）f （4）0，f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C9下列求导运算正确的是（ ）A （x ）=1 B （x 2cosx）=2xsinx第 7 页（共 15 页
13、）C （3 x）=3 xlog3e D （log 2x）=【考点】导数的运算【分析】根据导数的运算公式和运算法则进行判断即可【解答】解：A （x+ ）=1 ，A 错误B （x 2cosx）= 2xsinxx2sinx，B 错误C （3 x）=3 xln3，C 错误D （log 2x）= ，正确故选：D10已知点 P（1， ） ，则它的极坐标是（ ）A B C D【考点】点的极坐标和直角坐标的互化【分析】根据点的直角坐标求出 ，再由 2=cos， =sin，可得 ，从而求得点 P 的极坐标【解答】解：点 P 的直角坐标为 ， = =2再由 1=cos， =sin，可得 ，结合所给的选项，可取 =
14、 ，即点 P 的极坐标为 （2， ） ，故选 C11函数 的单调递增区间是（ ）A （2，+） B （ ，0） C （4，+） D （，2）【考点】复合函数的单调性【分析】由对数式的真数大于 0 求出函数的定义域，然后结合复合函数的单调性求得原函数的增区间【解答】解：由 x24x0，得 x0 或 x4，第 8 页（共 15 页）函数 的定义域为（，0）（4，+） ，当 x（，0）时，内函数 t=x24x 为减函数，而外函数 y= 为（0，+）上的减函数，函数 的单调递增区间是（， 0） 故选：B12已知函数 y=loga（2ax ）在（ 1，1）上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是（ ）A
15、 （0，2） B （1，2） C （1，2 D2，+）【考点】复合函数的单调性；对数函数的图象与性质【分析】复合函数由 t=2ax，y=log at 复合而成再分别分析两个简单函数的单调性，根据复合函数法则判断【解答】解：原函数是由简单函数 t=2ax 和 y=logat 共同复合而成a0，t=2ax 为定义域上减函数，而由复合函数法则和题意得到，y=logat 在定义域上为增函数，a 1又函数 t=2ax0 在（ 1，1）上恒成立，则 2a0 即可a2综上，1a2，故选：C二.填空题（每小题 5 分，共 20 分）13如果幂函数 f（x）=x 的图象经过点（ 2， ） ，则 f（8）的值等于
16、 2 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】求出幂函数的解析式，然后求解函数值即可【解答】解：幂函数 f（x）=x 的图象经过点（2， ） ，所以 =2，解得：= 函数的解析式为：f（x）= f（8）= =2 ，故答案为： 第 9 页（共 15 页）14若偶函数 f（x）对定义域内任意 x 都有 f（x+2）=f（x） ，且当 x（0，1时，f （x）=log2x，则 = 1 【考点】函数奇偶性的性质【分析】先判断函数为周期函数，利用周期性和偶函数得到 f（ ）=f（8 ）=f（ ） ，再利用条件即可求出值【解答】解：偶函数 f（x）对定义域内任意 x 都有 f（ x+2）= f（
17、x） ，f（x+4）=f（x） ，函数 f（x）是以 4 为周期的周期函数，f（ ）=f（8 ）=f（ ） ，x（0，1时，f（x）=log 2x，f（ ）=log 2 =1，故答案为115若直线 y=kx+2 与曲线 y=x3+mx+n 相切于点（1，4） ，则 n= 4 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】把切点坐标代入直线方程即可求出方程的斜率 k，然后对曲线方程求导得到导函数，把切点的横坐标代入导函数中求出的导函数值等于斜率 k，列出关于 m 的方程，求出方程的解得到 m 的值，然后把切点坐标和 m 的值代入曲线方程中即可求出 n 的值【解答】解：把（1，4）代入直线方程得：
18、k=2，求导得：y=3x 2+m，把 x=1 代入得：k=y x=1=3+m=2，解得 m=1，又把（1，4）和 m=1 代入曲线方程得： 11+n=4，即 n=4故答案为：416已知函数 f（x）= 满足对任意 x1x 2，都有0 成立，则实数 a 的取值范围是 【考点】分段函数的应用【分析】由任意 x1x 2，都有 0 成立，得函数为减函数，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系即可第 10 页（共 15 页）【解答】解：f（x）满足对任意 x1x 2，都有 0 成立函数 f（x）在定义域上为减函数，则满足 ，即 ，得 0a ，故答案为：三.解答题17计算：（1）（2）log 2.56.2
19、5+lg0.001+ln 【考点】对数的运算性质【分析】根据对数运算公式 loga（MN ）=log aM+logaN 以及指数、对数的运算性质计算即可【解答】解：（1）原式= +log3（ ）= +0= ；（2）原式=log 2.52.52+lg103+ln + =23+ + =118已知集合 A=x|22 x16，B=x|log 3x1（1）分别求 AB， （ RB）A；（2）已知集合 C=x|1xa，若 CA，求实数 a 的取值范围【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算【分析】 （1）解指数不等式和对数不等式求出集合 A，B，结合集合的交集，交集，补集运算的定义，可得答
20、案（2）分 C=和 C 两种情况，分别求出满足条件的实数 a 的取值范围，综合讨论结果，可得答案【解答】解：（1）集合 A=x|22 x16=1，4，B=x|log3x1 =（3，+） AB=（3，4，CRB=（，3，（C RB）A=（，4；第 11 页（共 15 页）（2）集合 C=x|1xa ，C A，当 a1 时，C=，满足条件；当 a1 时，C ，则 a4，即 1a4，综上所述，a（ ，419已知函数 f（x）= （）解不等式 f（x）4；（）当 x（0，2时，f（x）mx2（mR）恒成立，求实数 m 的取值范围【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用；其他不等式的解法【分析】 （）根据
21、分段函数的表达式，利用分类讨论的思想解解不等式 f（x）4 即可；（）利用参数分离法将不等式恒成立转化为求函数的最值问题，结合基本不等式的性质进行求解即可【解答】解：（）若 x1 ，则由 f（x）4 得（ ） x4 得 x2，此时 2x1，当 x1 时，则由 f（x）4 得 x2+3x4 得4x1，此时 1x1，综上2 x1，即不等式的解集为（ 2，1）（）当 x（0，2时，f（x）mx2（mR）恒成立，等价为当 x（0，2时，x 2+3xmx 2（m R）恒成立，即 x2+3x+2mx，则 mx+ +3 在 x（0，2时成立，x+ +33+2 =3+2 ，当且仅当 x= ，即 x= 时取等号
22、，a3+2 20在平面直角坐标系 xoy 中，以原点 o 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系已知直线 l 的方程为 （3cost 4sint）=1（t 为参数） ，圆 C 的参数方程为（ 为参数）（I）求直线 l 的直角坐标方程和圆 C 的普通方程：（II）若点 P 是圆 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离最小值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程第 12 页（共 15 页）【分析】 （I）利用极坐标与直角坐标的互化方法求直线 l 的直角坐标方程；消去参数得到圆 C 的普通方程：（II）点 P 到直线 l 的距离最小值=dr【解答】解：（I） （3cost 4s
23、int）=1，直线 l 的直角坐标方程为： 3x4y1=0；圆 C 的参数方程为 （ 为参数） ，圆的普通方程为：（x+4） 2+（y3） 2=1；（II）由（I）可知圆心坐标为（ 4，3） ，点 P 到直线 l 的距离最小值=dr= 1=4，点 P 到直线 l 的距离最小值为 421已知直线 l 经过点 P（ ，1） ，倾斜角 = ，圆 C 的极坐标方程为= cos（ ） （1）写出直线 l 的参数方程，并把圆 C 的方程化为直角坐标方程；（2）设 l 与圆 C 相交于两点 A，B ，求点 P 到 A，B 两点的距离之积【考点】直线和圆的方程的应用；点的极坐标和直角坐标的互化【分析】 （1）
24、由已知中直线 l 经过点 ，倾斜角 ，利用直线参数方程的定义，我们易得到直线 l 的参数方程，再由圆 C 的极坐标方程为 ，利用两角差的余弦公式，我们可得 =cos+sin，进而即可得到圆 C 的标准方程（2）联立直线方程和圆的方程，我们可以得到一个关于 t 的方程，由于|t |表示 P 点到A，B 的距离，故点 P 到 A，B 两点的距离之积为|t 1t2|，根据韦达定理，即可得到答案【解答】解：（1）直线 l 的参数方程为即 （t 为参数） 由第 13 页（共 15 页）所以 2=cos+sin得 （2）把得 22已知函数 g（x）=ax 22ax+b+1（a0）在区间2，3上有最大值 4
25、 和最小值 1设f（x）= （1）求 a、b 的值；（2）若不等式 f（2 x）k2 x0 在 x1，1上有解，求实数 k 的取值范围【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数的零点与方程根的关系【分析】 （1）由函数 g（x）=a（x1） 2+1+ba，a0，所以 g（x）在区间2，3上是增函数，故 ，由此解得 a、b 的值（2）不等式可化为 2x+ 2k 2x，故有 kt 22t+1，t ，2，求出 h（t）=t 22t+1 的最大值，从而求得 k 的取值范围【解答】解：（1）函数 g（x）=ax 22ax+b+1=a（x1） 2+1+ba，因为 a0，所以 g（x）在区间2，3上是增函数，故 ，解得 （2）由已知可得 f（x）=x+ 2，所以，不等式 f（2 x）k2 x0 可化为 2x+ 2k2 x，可化为 1+ 2 k，令 t= ，则 kt 22t+1因 x1，1，故 t ，2故 kt 22t+1 在 t ，2上能成立记 h（t）=t 22t+1，因为 t ，2，故 h（t） max =h（2）=1，第 14 页（共 15 页）所以 k 的取值范围是（，1 第 15 页（共 15 页）2017 年 1 月 11 日
