1、专题四 数列、推理与证明第一讲 等差数列与等比数列1a n与 Sn的关系：S na 1a 2a n，a nError!2等差数列和等比数列等差数列 等比数列定义 ana n1 常数(n2) 常数(n2)anan 1通项公式 ana 1(n1)d ana 1qn1 (q0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2an1 a na n2 (n1) an为等差数列(3)通项公式法：a npnq(p 、q 为常数) an为等差数列(4)前 n 项和公式法：SnAn 2Bn (A、B 为常数) an为等差数列(5)an为等比数列，a n0log aan为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：a a na
2、n2 (n1)2n 1(an0)a n为等比数列(3)通项公式法：a ncq n(c、q 均是不为0 的常数，nN *)a n为等比数列(4)an为等差数列aa n为等比数列(a0 且 a1)性质(1)若 m、n、p 、qN *，且mnpq，则 ama na pa q(2)ana m( nm)d(3)Sm，S 2mS m，S 3mS 2m，仍成等差数列(1)若 m、n、p 、qN *，且mnpq，则 amana paq(2)ana mqnm(3)等比数列依次每 n 项和(S n0)仍成等比数列前 n 项和 Sn na 1 dna1 an2 nn 12(1)q1，S n a11 qn1 q a1
3、 anq1 q(2)q1，S nna 11 (2013江西)等比数列 x,3x3,6x6，的第四项等于 ( )A24 B0 C12 D24答案 A解析 由 x,3x3,6x 6 成等比数列得，(3x3) 2x(6 x6)解得 x13 或 x21(不合题意，舍去 )故数列的第四项为24.2 (2012福建)等差数列a n中，a 1a 510，a 47，则数列 an的公差为 ( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 方法一 设等差数列a n的公差为 d，由题意得Error! 解得Error! d2.方法二 在等差数列a n中， a1a 52a 310，a 35.又 a47，公差 d752.3 (2
4、013辽宁)下面是关于公差 d0 的等差数列a n的四个命题：p1：数列a n是递增数列；p 2：数列na n是递增数列；p3：数列 是递增数列；p 4：数列a n3nd是递增数列ann其中的真命题为 ( )Ap 1，p 2 Bp 3，p 4 Cp 2，p 3 Dp 1，p 4答案 D解析 a na 1(n1)d，d0 ，a na n1 d0，命题 p1 正确nanna 1n(n1)d，na n (n1)a n1 a 12(n1) d 与 0 的大小和 a1 的取值情况有关故数列na n不一定递增，命题 p2 不正确对于 p3： d， ，ann a1n n 1n ann an 1n 1 a1
5、dnn 1当 da 10，即 da 1时，数列 递增，ann但 da 1 不一定成立，则 p3 不正确对于 p4：设 bna n3nd，则 bn1 b na n1 a n3d4d0.数列a n3nd是递增数列， p4 正确综上，正确的命题为 p1，p4.4 (2013重庆 )已知a n是等差数列，a 11，公差 d0，S n为其前 n 项和，若 a1，a 2，a 5成等比数列，则 S8_.答案 64解析 因为 a1，a2，a5 成等比数列，则 a a 1a5，即(1d) 21(14d)，d2.所以2an1(n1) 22n1，S 8 4(115)64.a1 a8825 (2013江苏)在正项等比
6、数列a n中，a 5 ，a 6a 73.则满足 a1a 2a na1a2an12的最大正整数 n 的值为_答案 12解析 由已知条件 a5 ，a6 a73，12即 q q23，整理得 q2q 60，12 12解得 q2，或 q3(舍去)ana 5qn5 2n5 2 n6 ，12a1a 2a n (2n1)，132a1a2an2 5 24 23 2n6 2 ，由 a1a 2a na1a2an可知 2n2 1，n12.题型一 等差(比)数列的基本运算例 1 (2012山东)已知等差数列a n的前 5 项和为 105，且 a102a 5.(1)求数列a n的通项公式；(2)对 任 意 m N*， 将
7、 数 列 an中 不 大 于 72m的 项 的 个 数 记 为 bm.求 数 列 bm的 前 m 项 和 Sm.审题破题 (1)由已知列出关于首项和公差的方程组，解得 a1 和 d，从而求出 an.(2)求出bm，再根据其特征选用求和方法解 (1)设数列a n的公差为 d，前 n 项和为 Tn，由 T5105，a 102a 5，得Error!解得 a17，d7.因此 ana 1(n1)d77(n1) 7n(nN *)(2)对 mN *，若 an7n7 2m，则 n7 2m1 .因此 bm7 2m1 .所以数列b m是首 项为 7，公比为 49 的等比数列，故 Sm b11 qm1 q 71 4
8、9m1 49 772m 148n2 11n2n2 11n 102 .72m 1 748反思归纳 关于等差(等比)数列的基本运算，一般通过其通项公式和前 n 项和公式构造关于 a1 和 d(或 q)的方程或方程组解决，如果在求解 过程中能 够灵活运用等差( 等比)数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识变式训练 1 (2013浙江)在公差为 d 的等差数列a n中，已知 a110，且 a1,2a22,5a 3 成等比数列(1)求 d，a n；(2)若 d0，a 7a14 225.(a7 a142 )当且仅当 a7a 14时取等号(2)根据等差数列的性质，得数列 也
9、是等差数列，根据已知可得这个数列的首项Snna 12 013，公差 d1，故 2 013(2 0131) 11，所以 S2 0132 S11 S2 0132 013013.反思归纳 等差数列和等比数列的 项，前 n 项和都有一些类似的性质，充分利用性质可简化解题过程变式训练 2 (1)数列a n是等差数列，若 0，a110，19a1 a192S20 10(a 10a 11)0，且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比数列b n的第 2 项、第 3 项、第 4 项(1)求数列a n、b n的通项公式；(2)设数列c n对 nN *，均有 a n1 成立，求 c1c 2c 2 013.c1
10、b1 c2b2 cnbn解 (1)a 21d， a514d， a14113d，d0，(14d) 2(1d)(1 13d)，解得 d2.则 an1(n1)22n1.又b 2a 23，b 3a 59，等比数列b n的公比 q 3.b3b2 93b nb 2qn2 33 n2 3 n1 .(2)由 a n1 ，得c1b1 c2b2 cnbn当 n2 时， a n，c1b1 c2b2 cn 1bn 1两式相减，得 a n1 a n 2，cnbnc n2b n23 n1 (n2)而当 n1 时， a 2，c 13.c1b1c nError!c 1c 2c 2 01332 3123 223 2 0123
11、333 2 0133 2 013.6 632 0121 3典例 (12 分)已知数列 a1，a 2，a 30，其中 a1，a 2，a 10 是首项为 1，公差为 1 的等差数列；a 10，a 11，a 20 是公差为 d 的等差数列；a 20，a 21，a 30 是公差为 d2 的等差数列(d0)(1)若 a2040，求 d；(2)试写出 a30 关于 d 的关系式，并求 a30 的取值范围；(3)续写已知数列，使得 a30，a 31，a 40 是公差为 d3 的等差数列， ，依次类推，把已知数列推广为无穷数列提出同(2)类似的问题(2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？规范解
12、答解 (1)由题意可得 a1010，a 201010d40，d3. 3 分(2)a30a 2010d 210(1d d2)10 (d0) 5 分(d 12)2 34当 d(，0)(0 ，)时 ，a307.5 ， ) 7 分(3)所给数列可推广为无穷数列 an，其中 a1，a2，a10 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，当 n1 时，数列 a10n，a10n1 ，a10(n1) 是公差为 dn的等差数列 8 分研究的问题可以是：试写出 a10(n1) 关于 d 的关系式，并求出 a10(n1) 的取值范围研究的结论可以是：由 a40a 3010d 310(1dd 2d 3)， 9 分依次类推
13、可得 a10(n1) 10(1 dd n)Error! 11 分当 d0 时，a 10(n1) 的取值范围为(10， ) 12 分评分细则 (1)列出关于 d 的方程给 1 分；(2)求 a30 的范围时没有注明 d0 扣 1 分阅卷老师提醒 本题从具体数列入手，先确定 d，然后利用函数思想求 a30 的范围，最后通过观察寻求一般规律，将结论进 行推广，要求熟 练掌握数列的基本知 识，灵活运用数列性质1 已知等比数列a n的公比为正数，且 a3a74a ，a 22，则 a1 等于 ( )24A1 B. C2 D.222答案 A解析 设数列a n的公比为 q(q0)，由 a20，知 a40，a5
14、0，由于 a3a7a ，所以 a 4a25 25，从而 a52a 4，q2，故 a1 1.24a2q 222 已知a n为等差数列，a 1a 3a 5105，a 2a 4a 699，以 Sn表示数列 an的前 n 项和，则使得 Sn取得最大值的 n 是 ( )A21 B20 C19 D18答案 B解 析 设 数 列 an的 公 差 是 d，则 a2 a4 a6 (a1 a3 a5) 3d 99 105 6，即 d 2.又 3a3105，所以 a335.所以 ana 3(n3)d412n.令 an0 得 n0)的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若S23a 22，S 43a 42，则 q_.
15、答案 32解析 方法一 S 4S 2a 3a 43a 22a 3a 43a 42，将 a3a 2q，a4a 2q2 代入得，3a22a 2qa 2q23a 2q22，化 简得 2q2q30，解得 q (q1 不合题意，舍去)32方法二 设等比数列a n的首项为 a1，由 S23a 22，得a1(1q) 3a 1q2.由 S43a 42，得 a1(1q)(1q 2)3a 1q32.由得 a1q2(1q)3a 1q(q21) q0，q .326 (2013安徽)如图，互不相同的点 A1，A 2，A n，和 B1，B2，B n分别在角 O 的两条边上，所有 AnBn相互平行，且所有梯形 AnBnBn
16、1 An1 的面积均相等设 OAna n，若 a11，a 22，则数列a n的通项公式是_答案 a n 3n 2解析 由已知 S 梯形 AnBnBn1 An1S 梯形 An1 Bn1 Bn2 An2 ，SOB n1 An1 S OBnAnSOB n2 An2 SOB n1 An1 ，即 SOB nAnS OBn2 An22SOB n1 An1由相似三角形面积比是相似比的平方知 OA OA 2OA ，即 a a 2a2n 2n 2 2n 1 2n 2n 2，2n 1因此a 为等差数列且 a a 3(n1) 3n2，2n 2n 21故 an .3n 2专题限时规范训练一、选择题1 (2013课标全
17、国 )等比数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 S3a 210a 1，a 59，则 a1 等于( )A. B C. D13 13 19 19答案 C解析 设等比数列a n的公比 为 q，由 S3a 210a 1 得 a1a 2a 3a 210a 1，即a39a 1，q29，又 a5a 1q49，所以 a1 .192 等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 2S4S 5S 6，则数列 an的公比 q 的值为 ( )A2 或 1 B1 或 2C2 D1答案 C解析 方法一 若 q1，则 S44a 1，S55a 1，S66a 1，显然不满足 2S4S 5S 6，故 A、D 错若 q1，则 S4S
18、 60，S 5a 50，不满足条件，故 B 错，因此选 C.方法二 经检验 q1 不适合，则由 2S4S 5S 6，得 2(1q 4)1q 51q 6，化 简得q2q20，q1(舍去)，q2.3 已知a n为等差数列，a 2a 8 ，则 S9 等于 ( )43A4 B5 C6 D7答案 C解析 a n为等差数列，a 2a 8a 1a 9 ，43S 9 6.9a1 a92 94324 一个由实数组成的等比数列，它的前 6 项和是前 3 项和的 9 倍，则此数列的公比为( )A2 B3 C. D.12 13答案 A解析 等比数列中，S 69S 3，S 6S 38S 3， q 38，q2.S6 S3
19、S35 已知两个等差数列a n和 bn的前 n 项和分别为 An和 Bn，且 ，则使得 为AnBn 7n 45n 3 anbn整数的正整数 n 的个数是 ( )A2 B3 C4 D5答案 D解析 由等差数列的前 n 项和及等差中项，可得 anbn12a1 a2n 112b1 b2n 1 122n 1a1 a2n 1122n 1b1 b2n 1 A2n 1B2n 1 72n 1 452n 1 3 14n 382n 2 7 (nN *)，7n 19n 1 12n 1故 n1,2,3,5,11 时， 为整数anbn6 已知a n为等差数列，其公差为2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，S n
20、为a n的前 n 项和，nN *，则 S10 的值为 ( )A110 B90C90 D110答案 D解析 a 3a 12da 14，a 7a 16da 112， a9a 18da 116，又a 7 是 a3 与a9 的等比中项，(a 112) 2 (a14)( a116) ，解得 a120.S 101020 109(2) 110.127 已知数列a n满足 1log 3anlog 3an1 (nN )，且 a2a 4a 69，则 log (a5a 7a 9)13的值是 ( )A. B C5 D515 15答案 D解析 由 1log 3anlog 3an1 得 3， an为等比数列，公比为 3.
21、an 1ana 5a 7a 927(a 2a 4a 6)2793 5，log (a5a 7a 9)log 355.13 138 设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 S150，S 160，得 a80.由 S16 0，S16，S17，Sn0.又S9a9 S10a10 S8a8S8S7S60，a6a7a80. ，故 最大S8a8S7a7S6a6 S8a8二、填空题9 (2013课标全国)若数列 an的前 n 项和 Sn an ，则 an的通项公式是23 13an_.答案 (2) n1解析 当 n1 时，a 11；当 n2 时，anS nS n1 an an1 ，23 23故 2，故 an
22、(2) n1 .anan 110(2013课标全国)等差数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 S100，S 1525，则 nSn的最小值为_答案 49解析 由题意知 a1a 100，a 1a 15 .103两式相减得 a15a 10 5d，103d ，a13.23nS nn f(n) ，(na1 nn 12 d) n3 10n23f(n) n(3n 20)13令 f(n) 0 得 n0( 舍)或 n .203当 n 时，f( n)是单调递增的；203当 0a1a9，求 a1 的取值范围解 (1)因为数列 an的公差 d1，且 1，a1，a3 成等比数列，所以 a 1(a 12)，21即 a
23、a 120，解得 a1 1 或 a12.21(2)因为数列a n的公差 d1，且 S5a1a9，所以 5a110a 8a 1，21即 a 3a 1100，解得5a 12.2114已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1 ，且 2Sn2S n 12a n1 1(n2，nN *)数列14bn满足 b1 ，且 3bnb n1 n(n2，nN *)34(1)求证：数列a n为等差数列；(2)求证：数列b na n为等比数列；(3)求数列b n的通项公式以及前 n 项和 Tn.(1)证明 2S n2S n1 2a n1 1(n2，nN *)，当 n2 时，2a n2a n1 1 ，可得 ana n1
24、 .12数列a n为等差数列(2)证明 a n为等差数列，公差 d ，12a na 1(n1) n .12 12 14又 3bnb n1 n(n2)，b n bn1 n(n2)，13 13b na n bn1 n n13 13 12 14 bn1 n13 16 14 (bn1 n )13 12 34 bn1 (n1) 13 12 14 (bn1 a n1 )，13又 b1a 1 0，12对 nN *，bna n0，得 (n2)bn anbn 1 an 1 13数列b na n是首项为 ，公比 为 的等比数列12 13(3)解 由(2)得 bna n n1 ，12(13)b n n1 (nN *)n2 14 12(13)b 1a 1b 2a 2b na n ，121 (13)n1 13b 1b 2b n(a 1a 2 a n) .341 (13)nT n .n24 341 (13)nT n (nN *)n24 341 (13)n
