1、2017 届广东省汕头市潮师高级中学高三上学期期中考试理科数学试卷一、单选题（共 12 小题）1已知集合 ， ，则 （ ）A BC D2已知复数 ，其中 为虚数单位，则复数 的共轭复数 所对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限3执行如图所示的程序框图，如果输入 ，则输出 的值为（ ）A6 B8 C10 D124已知 ， 则 的值是（ ）A B C D5已知随机变量 服从正态分布 , 且 , 则 （ ）A0.84 B0.68 C0.32 D0.166已知下列四个命题：若直线 和平面 内的无数条直线垂直，则 ；：若 ，则 ， ；：若 ，则 ， ；：在 中，若 ，则 其中真命题
2、的个数是（ ）A1 B2 C3 D47如果 ， ， 是抛物线 ： 上的点，它们的横坐标依次为 ， ， ， 是抛物线 的焦点，若 ，则 （ ）A BC D8等比数列 中， ，函数 ，则 （ ）A B C D9若 ，则（ ）A BC D10已知边长为 的菱形 中， ，沿对角线 折成二面角 为 的四面体 ，则四面体的外接球的表面积为（ ）A B C D11设 满足约束条件 若目标函数 的最大值为 35，则 的最小值为（ ）A2 B3 C4 D512如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）A BC D二、填空题（共 4 小题）13.一个总体中有 6
3、0 个个体，随机编号 0，1，2，59，依编号顺序平均分成 6 个小组，组号依次为1，2，3，6现用系统抽样方法抽取一个容量为 6 的样本，若在第 1 组随机抽取的号码为 3，则在第5 组中抽取的号码是 14. 的展开式中， 的系数为 （用数字填写答案）15.已知 是 的中线， ， ，则 的最小值是 .16.已知函数 则函数 的零点个数为 个三、解答题（共 7 小题）17.如图，在 中，点 在边 上， ， ， , .（）求 的长；（）求 的面积18.已知二次函数 的图象经过坐标原点，其导函数为 ，数列 的前 项和为 ，点 在函数 的图象上（1）求数列 的通项公式；（2）设 ， 是数列 的前 项
4、和，求使得 对所有 都成立的最小正整数.19.从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间 ， ， 内的频率之比为 （）求这些产品质量指标值落在区间 内的频率；（）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取 3 件，记这 3 件产品中质量指标值位于区间 内的产品件数为 ，求 的分布列与数学期望20.如图，四棱柱 的底面 是菱形， ， 底面 ，（）证明：平面 平面 ；（）若 ，求二面角 的余弦值21.已知函数 , （）若曲线 在点 处的切线斜率为 ，求实数 的值；（）当 时，证明： .22.在平面直角坐标系
5、 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ， .（）求曲线 的直角坐标方程；（）在曲线 上求一点 ，使它到直线 ： （ 为参数， ）的距离最短，并求出点的直角坐标.23.设函数 （）当 时，求不等式 的解集；（）若对任意 ，不等式 的解集为空集，求实数 的取值范围答案部分1.考点：集合的运算试题解析： ， ， ，故选 D.答案：D2.考点：复数综合运算试题解析： , ，所对应的点为 ，在第四象限，故选 D.答案：D3.考点：算法和程序框图试题解析：执行程序：输入 ， ，进入循环；， ，判断条件 ，否，进入循环；， ，判断条件 ，否，进入循环；， ，判断条件
6、，否，进入循环；， ，判断条件 ，否，进入循环；， ，判断条件 ，是，跳出循环；输出 ，所以选 C.答案：C4.考点：诱导公式试题解析： ，故选 A.答案：A5.考点：正态分布试题解析： 服从正态分布 , 且 ,则 ， ， ,故选 B.答案：B6.考点：全称量词与存在性量词试题解析： ：直线 与平面 内任意直线垂直才垂直于面，直线 和平面 内的无数条直线垂直不能得到 ，命题错误；： ，命题成立；：由 ，解得 ，所以不存在这样的 ，使得 ，命题错误；：当 都是锐角时， ，可得 ，当 为钝角， 为锐角时，由 ，可得，则 ， 也成立，命题正确.故真命题的个数为 2 个，选 B.答案：B7.考点：抛物
7、线试题解析： 的横坐标为 ， ，选 A.答案：A8.考点：等比数列函数求导运算试题解析： ，则 ，故选 C.答案：C9.考点：对数与对数函数试题解析： ， 为减函数， ，A 错误；，B 错误； ，C 错误；函数 为减函数，则有，故选 D.答案：D10.考点：空间几何体的表面积与体积试题解析：设外接球的球心为 ，则 到 的距离相等， ，过 分别做面、面 的垂线，垂直分别为 ， ，则 为 的中心，取 中点 连接 ，则 ， ，连接 则 ，在 中， ， ， ，即外接球的半径为 ，表面积为 ，选 D.答案：D11.考点：均值定理线性规划试题解析：画出可行域如图所示，目标函数 可化为直线 ， ，所以当直线
8、过 时， 有最大值，所以 ，解得 ， ，所以选 D.答案：D12.考点：空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图试题解析：如图，三视图的还原图为正方体中的四面体 ，其中 ， ， ， 为等腰三角形，取 中点 ，连接 ，即为三角形的高， ，所以该四面体的表面积为 ，故选 A.答案：A13.考点：抽样试题解析： ，第一组抽取的号码为 3，则第五组抽取的号码为 .答案：4314.考点：二项式定理与性质试题解析： ，通项为， 时，系数为 ， 时，系数为， 时，系数为 ， 时，系数为 ，所以 的系数为 .答案：-4015.考点：余弦定理数量积的应用试题解析：，又 ， ， ，由余弦定理所以 ，所以
9、 的最小值为 1.答案：116.考点：零点与方程试题解析：令 即 ，令 ，在同一坐标系中画出函数的和 图象如图所示，两个函数有两个交点，所以 有两个零点.答案：217.考点：解斜三角形试题解析：（）解法一：在 中，因为 ，设 ，则 在 中，因为 ， ， ，所以 在 中，因为 ， ， ，由余弦定理得 因为 ，所以 ，即 解得 所以 的长为 .解法二： 在 中，因为 ，设 ，则 在 中，因为 ， ， ，所以 所以 在 中，因为 ， ， ，由余弦定理得 所以 解得 所以 的长为 .（）解法一：由（）求得 ， 所以 ，从而 所以解法二：由（）求得 ， 因为 ，所以 为等腰三角形因为 ，所以 所以 底边
10、 上的高 所以答案：见解析18.考点：数列综合应用试题解析：（1）设函数 ，则 ，由 ，得 ，所以 .又因为点 在函数 的图象上，所以 .当 时， .当 时， ，所以， （2）由（1）知，故 因此，要使 恒成立，则 需满足 即可， ，所以满足要求的最小正整数 为 10.答案：见解析19.考点：概率综合试题解析：（）设区间 内的频率为 ，则区间 ， 内的频率分别为 和 依题意得 ，解得 所以区间 内的频率为 （）从该企业生产的该种产品中随机抽取 3 件，相当于进行了 3 次独立重复试验，所以 服从二项分布 ，其中 由（）得，区间 内的频率为 ，将频率视为概率得 因为 的所有可能取值为 0，1，2
11、，3，且 ， ， 所以 的分布列为：所以 的数学期望为 （或直接根据二项分布的均值公式得到 ）答案：见解析20.考点：立体几何综合试题解析：（）证明：因为 平面 ，平面 ，所以 因为 是菱形，所以 因为 ，所以 平面 因为 平面 ，所以平面 平面 （）解法一：因为 平面 ， ，以 为原点， ， ， 方向为 ， ，轴正方向建立如图所示空间直角坐标系因为 ， ，所以 ， ， 则 ， ， ， ，所以 ， 设平面 的法向量为 ，因为 ， ，所以令 ，得 同理可求得平面 的法向量为所以 因为二面角 的平面角为钝角，所以二面角 的余弦值为 解法二：由（）知平面 平面 ，连接 与 交于点 ，连接 ， ，因为
12、 ， ，所以 为平行四边形因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 为平行四边形且 因为平面 平面 ，过点 作 于 ，则 平面 过点 作 于 ，连接 ，则 所以 是二面角 的平面角的补角在 中， 在 中，因为 ，所以 因为 ， ，所以 因为 ，所以 为直角三角形所以 所以 所以 所以二面角 的余弦值为 答案：见解析21.考点：导数的综合运用试题解析：（）解：因为 ，所以 .因为曲线 在点 处的切线斜率为 ，所以 ，解得 .（）证法一：因为 , ，所以 等价于当 时， 要证 ，只需证明 .以下给出二种思路证明 思路 1：设 ，则 .设 ，则 所以函数 在 上单调递增因为 ， ，所以函数 在 上有唯一零
13、点 ，且 .因为 ，所以 ，即 .当 时， ；当 时， ，所以当 时， 取得最小值 .所以 .综上可知，当 时， .思路 2：先证明 设 ，则 因为当 时， ，当 时， ，所以当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递增所以 所以 （当且仅当 时取等号） 所以要证明 ，只需证明 下面证明 设 ，则 当 时， ，当 时， ，所以当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递增所以 所以 （当且仅当 时取等号） 由于取等号的条件不同，所以 综上可知，当 时， .答案：见解析22.考点：极坐标方程曲线参数方程试题解析：（）解：由 ， ，可得 因为 ， ，所以曲线 的普通方程为 （或 ） （）解法一：
14、因为直线的参数方程为 （ 为参数， ） ，消去 得直线 的普通方程为 因为曲线 ： 是以 为圆心，1 为半径的圆，设点 ，且点 到直线 ： 的距离最短，所以曲线 在点 处的切线与直线 ： 平行即直线 与 的斜率的乘积等于 ，即 因为 ，解得 或 所以点 的坐标为 或 由于点 到直线 的距离最短，所以点 的坐标为 解法二：因为直线 的参数方程为 （ 为参数， ） ，消去 得直线 的普通方程为 因为曲线 是以 为圆心，1 为半径的圆，因为点 在曲线 上，所以可设点 所以点 到直线 的距离为因为 ，所以当 时， 此时 ，所以点 的坐标为答案：见解析23.考点：绝对值不等式试题解析：（）解：当 时，
15、等价于 当 时，不等式化为 ，无解；当 时，不等式化为 ，解得 ；当 时，不等式化为 ，解得 综上所述，不等式 的解集为 （）因为不等式 的解集为空集，所以 以下给出两种思路求 的最大值.思路 1：因为 ，当 时，当 时，当 时， 所以 思路 2：因为 ，当且仅当 时取等号所以 因为对任意 ，不等式 的解集为空集，所以 以下给出三种思路求 的最大值.思路 1：令 ，所以 当且仅当 ，即 时等号成立所以 所以 的取值范围为 思路 2：令 ，因为 ，所以可设 ，则 ，当且仅当 时等号成立所以 的取值范围为 思路 3：令 ，因为 ，设 则 问题转化为在 的条件下，求 的最大值利用数形结合的方法容易求得 的最大值为 ，此时 所以 的取值范围为 答案：见解析
