1、2017 届山东省烟台市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求1已知集合 A=x|log2x1，B=y|y=2 x，x 0，则 AB=（ ）A Bx|1x2 Cx|1x 2 Dx|1x 22设 ，则 a，b，c 关系正确的是（ ）Ab a c Babc Cb c a Dcba3已知 m，n 是两条不同直线， ， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A若 m ，n ，则 mn B若 ， ，则 C若 m，m，则 D若 m，n，则 mn4已知函数 的最小正周期为 ，则该函数的图象是（ ）A关于
2、直线 对称 B关于点 对称C关于直线 对称 D关于点 对称5已知 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x+2y 的最大值为（ ）A6 B8 C10 D126已知 、 为平面向量，若 + 与 的夹角为 ， + 与 的夹角为 ，则=（ ）A B C D7已知正实数 x，y 满足 ，若 x+2ym 2+2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A（2 ，4） B（4，2） C（ ，24，+） D（，42，+）8已知函数 f（x）=x ln|x|，则 f（x）的图象大致为（ ）A B C D9若曲线 Cl：x 2+y22x=0 与曲线 C2：（x1）（y mxm）=0 有四个不同的交点，则实数 m 的
3、取值范围是（ ）A B C D10已知函数 f（x ）= ，若函数 g（x ）=f （x ） m 恰有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）A（， ） B（，1） C（ ，1） D（1，+）二、填空题：本大题共有 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分11已知等比数列a n中， a2=1，则其前三项和 S3 的取值范围是 12若某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 13函数 的部分图象如图所示，将f（x）的图象向左平移 个单位后的解析式为 14如图，已知双曲线 C： =1（a 0，b 0）的右顶点为 A，O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P
4、，Q，若PAQ=60 ，且=3 ，则双曲线的离心率为 15如果定义在 R 上的函数 f（x）对任意两个不等的实数 x1，x 2 都有 x1f（x 1）+x2f（x 2）x 1f（x 2）+x 2f（x 1），则称函数 f（x ）为“Z 函数” 给出函数：y= x3+1；y=2 x； ； 以上函数为“Z 函数”的序号为 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75 分16（12 分）已知ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别是 a，b ，c ，且（1）求角 A 的大小；（2）若 ，求ABC 面积的最大值17（12 分）已知等差数列a n的首项 a1=1，a 2 为整数，且 a36，8（1）求数列
5、a n的通项公式；（2）设 ，S n=b1+b2+bn，问是否存在最小的正整数 n，使得Sn108 恒成立？若存在，求出 n 的值；若不存在，说明理由18（12 分）如图，已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，ADC=90 ，ABCD，AD=DC= AB= ，平面 PBC平面 ABCD（1）求证：ACPB；（2）在侧棱 PA 上是否存在一点 M，使得 DM平面 PCB？若存在，试给出证明；若不存在，说明理由19（12 分）随着旅游业的发展，玉石工艺品的展览与销售逐渐成为旅游产业文化的重要一环某 工艺品厂的日产量最多不超过 15 件，每日产品废品率 p与日产量 x（件）之间近似
6、地满 足关系式 ，（日产品废品率= ）已知每生产一件正品可赢利 2 千元，而生产一件废品亏损 1 千元（1）将该厂日利润 y（千元）表示为日产量 x（件）的函数；（2）当该厂的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是多少？20（13 分）已知函数 f（x ）= （m，nR ）在 x=1 处取到极值 2（1）求 f（x）的解析式；（2）设函数 g（x）=lnx + ，若对任意的 x11，1，总存在 x21，e，使得g（ x2）f（x 1）+ ，求实数 a 的取值范围21（14 分）已知点 P 是椭圆 C 上任一点，点 P 到直线 l1：x= 2 的距离为 d1，到点 F（1，0）的距离为 d2
7、，且 = 直线 l 与椭圆 C 交于不同两点A、B （A ，B 都在 x 轴上方），且OFA+OFB=180（1）求椭圆 C 的方程；（2）当 A 为椭圆与 y 轴正半轴的交点时，求直线 l 方程；（3）对于动直线 l，是否存在一个定点，无论OFA 如何变化，直线 l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由2017 届山东省烟台市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求1已知集合 A=x|log2x1，B=y|y=2 x，x 0，则 AB=（ ）A Bx
8、|1x2 Cx|1x 2 Dx|1x 2【考点】交集及其运算【分析】先分别求出集合 A 和 B，由此能求出 AB【解答】解：集合 A=x|log2x1=x |0x2，B=y|y=2x，x0= y|y1，AB=x |1x2故选：C【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2设 ，则 a，b，c 关系正确的是（ ）Ab a c Babc Cb c a Dcba【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解【解答】解： ，a=3 0.23 0=1，0=log1b=$log_3，log 31=0，a ，b ，c 关系为 abc故选：B【点评】本题
9、考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用3已知 m，n 是两条不同直线， ， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A若 m ，n ，则 mn B若 ， ，则 C若 m，m，则 D若 m，n，则 mn【考点】平面与平面平行的判定【分析】通过举反例可得 A、B 、C 不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得 D 正确，从而得出结论【解答】解：A、m，n 平行于同一个平面，故 m， n 可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故 A 错误；B、， 垂直于同一个平面 ，故 ， 可能相交，可能平行，故 B 错误；C、 ， 平行与同一条直线 m
10、，故 ， 可能相交，可能平行，故 C 错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故 D 正确故选 D【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题4已知函数 的最小正周期为 ，则该函数的图象是（ ）A关于直线 对称 B关于点 对称C关于直线 对称 D关于点 对称【考点】正弦函数的对称性【分析】通过函数的周期求出 ，利用正弦函数的对称性求出对称轴方程，得到选项【解答】解：依题意得 ，故 ，所以， = = 0，因此该函数的图象关于直线 对称，不关于点 和点 对称，也不关于直线 对称故选 A【点评】本题考查正弦函数的图象与性质，基本知识的
11、考查5已知 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x+2y 的最大值为（ ）A6 B8 C10 D12【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件 画出平面区域，如图所示A（4 ，0 ），化目标函数 z=3x+2y 为 ，由图可知，当直线 过点 A 时，目标函数取得最大值z max=34+20=12故选：D【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题6已知 、 为平面向量，若 + 与 的夹角为 ， + 与 的夹角为 ，则=（ ）A B C D【考点】
12、平面向量数量积的运算【分析】根据题意，画出平行四边形表示向量 = ， = ， = ，利用正弦定理即可求出【解答】解：如图所示：在平行四边形 ABCD 中， = ， = ， = ，BAC= ，DAC= ，在ABC 中，由正弦定理得， = = = 故选：D【点评】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了正弦定理的应用问题，是综合题目7已知正实数 x，y 满足 ，若 x+2ym 2+2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A（2 ，4） B（4，2） C（ ，24，+） D（，42，+）【考点】基本不等式【分析】若 x+2ym 2+2m 恒成立，只需求解 x+2y 的最小值即可利用“ 乘 1 法”
13、与基本不等式的性质即可得出【解答】解：由题意：正实数 x，y ， ，那么：x+2y=（x +2y）（ ）=4+ 4 =8，当且仅当 x=y= 时取等号x+2y 的最小值是 8可得：8m 2+2m，解得：4m2故选：B【点评】本题考查了恒成立问题的转化为求解不等式本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质，属于基础题8已知函数 f（x）=x ln|x|，则 f（x）的图象大致为（ ）A B C D【考点】函数的图象【分析】去绝对值，化为分段函数，根据导数和函数单调性关系即可求出【解答】解：当 x0 时， f（x）=x lnx，f（x）=1 = ，当 0x1 时，f（x ）0，函数 f（x ）单调
14、递减，当 x1 时，f（x ）0，函数 f（x ）单调递增，当 x0 时，f（x）=xln （ x），f（x）=1 0 恒成立，f（ x）在（，0）上单调递增，故选：A【点评】本题考查了导数和函数单调性关系，需要分类讨论，属于中档题9若曲线 Cl：x 2+y22x=0 与曲线 C2：（x1）（y mxm）=0 有四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是（ ）A B C D【考点】曲线与方程【分析】把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，直线过定点（1，0），当直线 ymxm=0 与圆相切时，根据圆心到直线的距离 d= =r=1，求出 m 的值，数形结合求出实数 m 的取值范围【解答】解：由题意
15、可知曲线 C1：x 2+y22x=0 表示一个圆，化为标准方程得：（x1） 2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径 r=1；C2：（x 1）（ymxm）=0 表示两条直线 x=1和 ymxm=0，由直线 ymxm=0 可知：此直线过定点（1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：当直线 ymxm=0 与圆相切时，圆心到直线的距离 d= =r=1，化简得：m 2= ，m= 则直线 ymxm=0 与圆相交时，m ，故选 A【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题10已知函数 f（x ）= ，若函数 g（x ）=f （x ） m
16、 恰有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）A（， ） B（，1） C（ ，1） D（1，+）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】二次函数 y=x22mx 最多只能有两个零点，要使函数 g（x ）=f （x ） m 恰有 3 个零点，所以 y=2xm 在区间（0，+）必须有一个零点，二次函数 y=x22mx（x0）有 2 个零点，结合图象，求出实数 m 的取值范围【解答】解：二次函数 y=x22mx 最多只能有两个零点，要使函数 g（x ）=f （x ）m 恰有 3 个零点，所以 y=2xm 在区间（0，+）必须有一个零点，所以 m1，当 m1 时，二次函数 y=x22mx 与横轴的
17、负半轴交点有两个（0，0）和（2m，0），故原函数有 3 个零点，综上，实数 m 的取值范围是：（1，+）故选：D【点评】本题主要考查了函数零点的判定定理，以及分段函数零点的处理方法，同时考查了转化的思想，属于基础题二、填空题：本大题共有 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分11已知等比数列a n中， a2=1，则其前三项和 S3 的取值范围是 （，13，+） 【考点】等比数列的前 n 项和【分析】根据等比数列的性质和第 2 项等于 1，得到第 1 项与第 3 项的积为 1，然后分两种情况：当公比 q 大于 0 时，得到第 1 项和第 3 项都大于 0，然后利用基本不等式即可求出第 1 项
18、和第 3 项之和的最小值，即可得到前 3 项之和的范围；当公比 q 小于 0 时，得到第 1 项和第 3 项的相反数大于 0，利用基本不等式即可求出第 1 项和第 3 项相反数之和的最小值即为第 1 项和第 3 项之和的最大值，即可得到前 3 项之和的范围，然后求出两范围的并集即可【解答】解：由等比数列的性质可知：a 22=a1a3=1，当公比 q0 时，得到 a10，a 30，则 a1+a32 =2 =2，所以 S3=a1+a2+a3=1+a1+a31+2=3；当公比 q0 时，得到 a10，a 30，则（a 1）+（a 3）2 =2 =2，即 a1+a32，所以S3=a1+a2+a3=1+
19、a1+a31+（ 2）= 1，所以其前三项和 s3 的取值范围是（， 13，+）故答案为：（，13，+）【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用基本不等式求函数的最值，是一道中档题12若某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 12 【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图复原几何体为一三棱锥，底面三角形一边为 6，此边上的高为4，三棱锥的高为 3，根据椎体体积公式计算即可【解答】解：由三视图复原几何体为一三棱锥，底面三角形一边为 6，此边上的高为 4，三棱锥的高为 3，所以 V= Sh= =12，故答案为 12【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能
20、力，三视图复原几何体是解题的关键13函数 的部分图象如图所示，将f（x）的图象向左平移 个单位后的解析式为 y=2sin2x 【考点】函数 y=Asin（x+ ）的图象变换【分析】由函数的图象求出 T，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式再根据函数 y=Asin（x+ ）的图象变换规律，可得结论【解答】解：由函数的图象可得 T= （ ）= ，可得：T= ，=2再根据点（ ，2）在函数图象上，可得：2sin（2 +）=2，2 +=2k+ ，kZ，解得：=2k ，kZ ，函数 f（x ）=2sin（2x ）把函数 f（x ）=2sin（2x ）的图象向左平移 个单位，可得 y=2
21、sin2（x+ ）=2sin2x 的图象，故答案为：y=2sin2x 【点评】本题主要考查由函数 y=Asin（x+ ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题14如图，已知双曲线 C： =1（a 0，b 0）的右顶点为 A，O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P，Q，若PAQ=60 ，且=3 ，则双曲线的离心率为 【考点】双曲线的简单性质【分析】确定QAP 为等边三角形，设 AQ=2R，则 OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论【解答】解：因为PAQ=60且 =3 ，所以QAP 为等边三角形，设 AQ=2R，则 OP=
22、R，渐近线方程为 y= x，A（ a，0），取 PQ 的中点 M，则 AM=由勾股定理可得（2R） 2R2=（ ） 2，所以（ab） 2=3R2（a 2+b2）在OQA 中， = ，所以 7R2=a2结合 c2=a2+b2，可得 e= = 故答案为：【点评】本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题15如果定义在 R 上的函数 f（x）对任意两个不等的实数 x1，x 2 都有 x1f（x 1）+x2f（x 2）x 1f（x 2）+x 2f（x 1），则称函数 f（x ）为“Z 函数” 给出函数：y= x3+1；y=2 x； ； 以上函数为“Z 函数”的序号为
23、， 【考点】函数与方程的综合运用；函数的值【分析】利用已知条件推出函数的单调性，然后判断即可【解答】解：定义在 R 上的函数 f（x）对任意两个不等的实数 x1，x 2 都有x1f（x 1）+x 2f（x 2）x 1f（x 2）+x 2f（x 1），可得：x 1f（x 1）f（x 2）x 2f（x 1） f（x 2），即（x 1x2）f（x 1）f（x 2）0，函数 f（x ）为“Z 函数” 就是增函数y= x3+1；是减函数，不是“Z 函数”y=2 x；是增函数，是“Z 函数” ；表示增函数，不是“Z 函数” 函数是增函数，是“Z 函数”故答案为：【点评】本题考查函数的新定义，函数的单调性的
24、应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75 分16（12 分）（2016 秋烟台期末）已知ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别是a， b，c ，且 （1）求角 A 的大小；（2）若 ，求ABC 面积的最大值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由同角三角函数基本关系，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式可得 ，结合范围 A（0，），可求 A 的值（2）由余弦定理，基本不等式可求 bc12，进而利用三角形面积公式可求最大值【解答】（本题满分为 12 分）解：（1）因为 ，由同角三角函数基本关系和正弦定理得， ，（1 分）整理得：
25、，又 A+B=C，所以 sin（A+B）=sinC，所以 又 A（0，），所以 （2）由余弦定理得： ，即：b 2+c2bc=12，（8 分）所以 12=b2+c2bc2bcbc=bc，当且仅当 时取等号，（10 分）所以 ，即ABC 面积的最大值为 （12 分）【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题17（12 分）（2016 秋烟台期末）已知等差数列a n的首项 a1=1，a 2 为整数，且 a36，8（1）求数列a n的通项公式；（2）设 ，S n=b1+b2+bn
26、，问是否存在最小的正整数 n，使得Sn108 恒成立？若存在，求出 n 的值；若不存在，说明理由【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（1）设等差数列a n的公差为 d，由 a1=1，a 2 为整数，可知 d 为整数，又 a3=1+2d6，8知，解得 d，可得an（2）利用等比数列的求和公式、不等式的解法即可得出【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为 d，由 a1=1，a 2 为整数，可知 d 为整数，又 a3=1+2d6，8知，d=3 （2 分）所以 an=3n2 （2）由（1）知， ，于是 （9 分）要使 恒成立，只需 ，（10 分）解得 n8 或 n9（舍），（11 分）所以
27、存在最小的正整数 n=8 使得 Sn108 恒成立（12 分）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12 分）（2016 秋烟台期末）如图，已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，ADC=90，ABCD，AD=DC= AB= ，平面 PBC平面 ABCD（1）求证：ACPB；（2）在侧棱 PA 上是否存在一点 M，使得 DM平面 PCB？若存在，试给出证明；若不存在，说明理由【考点】直线与平面平行的性质；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）取 AB 的中点 E，连结 CE，推导出四边形 AECD
28、 是正方形，从而CEAB，由勾股定理得 ACCB，从而 AC平面 PBC，由此能证明 ACPB（2）当 M 为侧棱 PA 的中点时，取 PB 的中点 N，连接 DM，MN ，CN 推导出四边形 MNCD 为平行四边形，从而 DMCN，由此能证明 DM平面 PCB【解答】证明：（1）取 AB 的中点 E，连结 CE，ABCD， ，DCAE，DC=AE ，四边形 AECD 是平行四边形又ADC=90，四边形 AECD 是正方形，CEABCAB 为等腰三角形，且 ，AC 2+CB2=AB2，ACCB，平面 PBC平面 ABCD，平面 PBC平面 ABCD=BC，AC CB ，AC平面 ABCDAC平
29、面 PBC又PB平面 PBC，ACPB解：（2）当 M 为侧棱 PA 的中点时，DM平面 PCB（7 分）证明：取 PB 的中点 N，连接 DM，MN，CN在PAB 中，MN 为中位线，MN AB， 由已知 ABCD，所以 MNCD又 ，四边形 MNCD 为平行四边形 DMCN（10 分）又 DM平面 PCB，CN 平面 PCB，DM 平面 PCB（12 分）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的点的位置的确定与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（12 分）（2016 秋烟台期末）随着旅游业的发展，玉石工艺品的展览与销售逐渐成为旅游产业文化的重要一环某 工
30、艺品厂的日产量最多不超过 15件，每日产品废品率 p 与日产量 x（件）之间近似地满 足关系式，（日产品废品率= ）已知每生产一件正品可赢利 2 千元，而生产一件废品亏损 1 千元（1）将该厂日利润 y（千元）表示为日产量 x（件）的函数；（2）当该厂的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）利用每日产品废品率 p 与日产量 x（件）之间近似地满足关系式，即可将该厂日利润 y（千元）表示为日产量x（件）的函数；（2）分段求出函数的最值，即可得出结论【解答】解：（1）由题意可知，当 1x 9 时， （2 分）当 10x15 时， ，所以该厂日利润
31、 （2）当 1x9 时，令 ，解得 x=6（x=18 删），当 1x6 时，y0，函数单调递增，当 6x9 时，y0，函数单调递减，而 x=6 时，y max=6，（8 分）当 10x15 时，令 ，解得 x=10，（9 分）当 10x15 时，y0 ，函数单调递减，所以当 x=10 时， ， （11 分）由于 ，所以当该厂的日产量为 10 件时，日利润最大，为 千元（12分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查分段函数，考查导数知识的运用，确定函数的解析式是关键20（13 分）（2016广州模拟）已知函数 f（x）= （m，n R）在 x=1 处取到极值 2（1）求 f（x）的解析
32、式；（2）设函数 g（x）=lnx + ，若对任意的 x11，1，总存在 x21，e，使得g（ x2）f（x 1）+ ，求实数 a 的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值【分析】（1）利用函数的求导公式计算函数的导数，根据函数在 x=1 处取到极值得出函数在 x=1 处的导数为 0，再把 x=2 代入函数，联立两式求出 m，n 的值即可已知函数 f（x）= （m，nR）在 x=1 处取到极值 2（2）由（1）知 f（x ）的定义域为 R，且 f（x）= f（x）故 f（x）为奇函数f（ 0）=0，x0 时，f（x ）0，f（x）= 2 当且仅当 x=1 时取
33、“=”故f（x）的值域为2，2从而 f（x 1）+ 依题意有 g（x） 最小值 【解答】解：（1） （2 分）由 f（x）在 x=1 处取到极值 2，故 f（1）=0，f（1）=2 即 ，解得 m=4，n=1，经检验，此时 f（x）在 x=1 处取得极值故 （2）由（1）知 f（x ）的定义域为 R，且 f（x）= f（x）故 f（x）为奇函数f（ 0）=0，x0 时，f（x ）0，f（x）= 2 当且仅当 x=1 时取“=”故 f（x）的值域为2，2从而 f（x 1）+ 依题意有 g（x） 最小值 函数 g（x ）=lnx+ 的定义域为（0，+），g（x）=当 a1 时，g（x）0 函数 g
34、（x）在1 ，e 上单调递增，其最小值为 g（1）=a1 合题意；当 1ae 时，函数 g（x ）在1，a）上有 g（x）0，单调递减，在（a，e上有 g（x）0 ，单调递增，所以函数 g（x）最小值为 f（a）=lna +1，由 lna+1，得 0a 从而知 1a 符合题意当 ae 时，显然函数 g（x ）在1，e 上单调递减，其最小值为 g（e ）=1+ 2 ，不合题意（11 分）综上所述，a 的取值范围为 a （12 分）【点评】本题考查导数的性质的应用，考查一个函数小于另一个函数时，小于它的最小值要会利用函数的导数判断函数的单调性21（14 分）（2014松江区三模）已知点 P 是椭圆
35、 C 上任一点，点 P 到直线l1：x=2 的距离为 d1，到点 F（1，0）的距离为 d2，且 = 直线 l 与椭圆 C交于不同两点 A、B（A，B 都在 x 轴上方），且OFA+OFB=180（1）求椭圆 C 的方程；（2）当 A 为椭圆与 y 轴正半轴的交点时，求直线 l 方程；（3）对于动直线 l，是否存在一个定点，无论OFA 如何变化，直线 l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）设 P（x，y），得 ，由此能求出椭圆 C 的方程（2）由已知条件得 kBF=1，BF：y= 1（x+1）=x1，代入 ，得：3x2+4
36、x=0，由此能求出直线 l 方程（3）B 关于 x 轴的对称点 B1 在直线 AF 上设直线 AF 方程：y=k（x+1），代入，得： ，由此能证明直线 l 总经过定点M（2，0）【解答】（1）解：设 P（x ，y），则 ，（2 分），化简得： ，椭圆 C 的方程为： （2）解：A（0，1），F（1，0）， ，OFA +OFB=180，k BF=1，BF：y=1（x+1）=x1代入 ，得：3x 2+4x=0， ，代入 y=x1 得 ， （8 分）， ， （10 分）（3）证明：由于OFA+ OFB=180，所以 B 关于 x 轴的对称点 B1 在直线 AF上设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），B 1（x 2， y2）设直线 AF 方程：y=k（x+1），代入 ，得： ， （13 分）， ，令 y=0，得： ，y1=k（x 1+1），y 2=k（x 2+1），=， （15 分）直线 l 总经过定点 M（2，0）（16 分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线总过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用
