1、- 1 -2015 届高三年级第三次四校联考数 学 （ 文 ） 试 题一、选择题(51260 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1.设全集为 R，集合 A= ，B= ，则4|2xR41|xA)(BCRA. B. C. D.2,1,22,2.已知复数 为虚数单位 ，则 的共轭复数是iz1()zA. B. C. D.i iii13.若等比数列 满足 ， ，则公比 na203140aqA. B. C. D.244.若椭圆 的离心率为 ，则双曲线 的渐近线方程为)(2byx112byaxA. B. C. D.3x3yx5.
2、已知命题 使 ；命题 ，下列是真命题的是 :p,xR2x:(0,)tansi2qxA. B. C. D.()q()pp()pq6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.3831683647.在面积为 的 内部任取一点 ，则 的面积大于SABCPBC的概率为4A. B. C. D.143941698.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是A. 2016 B. 2 C. D. 1219.已知函数 ，则函数 的13,(),()logxf()yfx大致图象是10.在半径为 的球面上有 三点，如果 ， ，则球心 到平面 的距离cm10CBA, 38AB06CBOABC为
3、A. B. C. D.2c4cm6cm811.已知函数 的部分图象如图所示，)2|,0)(2os()( xf则 取得最小值时 的集合为6yA. B. Zkx, Zkx,3C. D.,62,212.已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线的焦点， 在抛物线上且满足Ayx42 BP，当 取最大值时，点 恰好在以 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为PBmPA,A B C D215211215二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上)13.已知向量 ， ，若 ，则 . )(xa)(bba/x14.设变量 满足约束条件 ，则 的最小值是 .
4、y,82013yx1y15.设数列 满足 ，点 对任意的 ，都有向量na42),(naPN，则数列 的前 项和 . ),1(PnaS16.已知函数 ，若函数 有且仅有两个零点，)0(3xf bxfxg21)(则实数 的取值范围是 .b三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分 12 分) 在 ABC 中，内角 所对的边分别为 . CBA, cba,AxyOBxyODxyOyCxO17123 xoy- 2 -若 . BAsin42cos4A（1）求角 C 的大小； （2）已知 ，ABC 的面积为 .
5、求边长 的值 .sia8c18. (本小题满分 12 分)如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题(满分 12 分)的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊，记为 ，已知甲、乙两组的平均成绩相同.x（1）求 的值，并判断哪组学生成绩更稳定;（2）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和 低于 20 分的概率.19. (本小题满分 12 分) 如图， 是圆 的直径，点 在圆 上,矩形 所ABOCODCBE在的平面垂直于圆 所在的平面, ， 4AB1（1）证明：平面 平面 ；DE（2）当三棱锥 的体积最大时，求点 到平面A的距离20. (本小题满分 12 分) 已知点 ,点
6、 是圆 C： 上的任意一点,，线段 的垂直01(AP2(1)8xyPA平分线与直线 交于点 . E（1）求点 的轨迹方程；（2）若直线 与点 的轨迹有两个不同的交点 和 ，且原点 总在以ykxmQOQ为直径的圆的内部，求实数 的取值范围21. (本小题满分 12 分)设函数 ， .xfln(Rk(1) 若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求 的单调递减区间和极小值（其)y)(,ef 02x)(xf中 为自然对数的底数） ；e（2）若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围.021x2121xffk请考生在（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分作答时用 2
7、B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑22(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲 如图所示,已知圆 外有一点 ,作圆 的切线 , 为切点,过 的中点 ,作割线 ,交圆于OPPMPNAB、 两点,连接 并延长,交圆 于点 ,连接 交圆 于点 ,若 .ABACBODC(1)求证: ;MB(2)求证:四边形 是平行四边形.CD23(本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，圆 C 的参数方程为：xy以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系1cos()inxy为 参 数 Ox（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 的极坐标方程是 ，射线 与圆 C
8、 的交点l2sin()3:3OM为 O、P，与直线 的交点为 Q，求线段 的长lP24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 = ， Rx.不等式 的解集为 .(fx|2|()6fx（1）求 ； M（2）当 时，证明: ,ab3|3|ab2015 四校三联文科数学试题答案一选择题 1-6 CABADB 7-12DBDCBC二填空题 13. 或 14. 15. 16. 212n210b三解答题17.解：（）由条件得 =2（2 ）BAsin4cosBA即 = = 2 分BAsin4)co(2)sin( 2化简得 , 4 分)( 043A又 6 分CBA（）由已知及正弦定理得
9、8 分b又 SABC=8，C= ， 得 10 分412 8sinCa24a由余弦定理 得 . 12 分bcco218. （1） 2 分 ，甲 1049x ，乙 10419xx x又 -()()10( 22222 ）（）甲S4 分 5198 ）（）乙 甲组成绩比乙组稳定。 6 分 2乙甲 BCEO011甲 乙9 91 1 8 9x 2（18 题图）（19 题图）（22 题图）- 3 -（2）记甲组 4 名同学为：A 1，A 2， A3，A 4；乙组 4 名同学为：B 1，B 2，B 3， B4；分别从甲乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为：(A 1,B1)，(A 1,B2)，(A 1,B3)，
10、(A 1,B4)(A2,B1)， (A2,B2)，(A 2,B3)，(A 2,B4)，(A 3,B1)，(A 3,B2)，(A 3,B3)，(A 3,B4)，(A 4,B1)，(A 4,B2)，(A 4,B3)，(A 4,B4)，共 16 个基本事件，其中得分之和低于 20 分的共 6 个基本事件， 10 分 得分之和低于 20 分的概率是： . 12 分8P19 （1）证明： 是直径， 1 分，ABAC又四边形 为矩形, , ,DCEDEB/ACE ， 平面 4 分又 平面 ，平面 平面 6 分（2）由知 DESVACACDEC31DECA213， 8 分，BA61 4)(22B当且仅当 时
11、等号成立 9 分，当 三棱锥 体积最大为 10 分，2CADE34此时， ， 3)(122AD221ESAE设点 到平面 的距离为 ，则 CEh343hSVADEDC12 分32h20.解：解：（1）由题意知 ， ，,2EPACEP2CEACAE 的轨迹是以 C、A 为焦点的椭圆，其轨迹方程为： 4 分21xy（2）设 ，则将直线与椭圆的方程联立得： ，12,(,)()PxyQ、 2kmx消去 y,得： 240kxkm6 分20,1(*);mk212124,kmxxk因为 O 在以 PQ 为直径的圆的内部，故 7 分120,0,OPQy即而21212(),1kykx由 9 分21220mk得：
12、 , 且满足（*）式2,3k23M 的取值范围是 12 分6(,)21 解：（1）由条件得 2 分)(xf21k)0(x曲线 在点 处的切线与直线 垂直，此切线的斜率为 0)(fy,e即 ，有 ，得 4 分0e02k = ，由 得 ，由 得 .)(xf1x)(0)(xfex)(xfe 在（0， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增，当 时 取得极小值ee.2ln)(f故 的单调递减区间为（0， ） ，极小值为 . 6 分xe2（2）条件等价于对任意 ， 恒成立，（*）021x21)()(xfxf设 ，)(xhfkln（*）等价于 在（0，+）上单调递减. 9 分)(x由 0 在（0，+）上恒成
13、立， 10 分)(x12k得 = 恒成立，k4)(2x)(x- 4 - ( 对 ， 仅在 时成立) ，k410)(xh12故 的取值范围是 ，+） . 12 分22.证明:(1) 是圆 的切线, 是圆 的割线, 是 的中点,PMONABONPM , ,N2 P又 , ,BA , 即 . , , ,CCAB . 5 分P(2) , ,即 ,NDNADCPMD , , ,M/ BPM 是圆 的切线, ,O ,即 ,BA , 四边形 PMCD 是平行四边形. 10 分C/23.解：（1）圆 C 的普通方程为 ，又 ，2(1)xycosxsiny所以圆 C 的极坐标方程为 5 分cos（2）设 ，则有 解得1(,)P33,1设 ，则有 ,解得2(,)Q(sincos)3,2所以 10 分P24.解:(1) 等价于|2|6x或 或 解得624x3x5 分3,M(2) 当 时，即 时，要证 ，即证,ab3,ab33ab22)3()(ab222222()()()(69)9a30所以 10 分3ab
