1、2017 届山东省威海市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足（1+i）z=2i，则 z 的虚部是（ ）A1 B1 Ci Di2若集合 ，B=x|x |3，则集合 AB 为（ ）Ax |5x3 B x|3x2 Cx|5 x3 Dx|3x23命题 p：若 =0，则 =0；命题 q：x 00，使得 x01lnx0=0，则下列命题为真命题的是（ ）Ap q Bp（q） C （p ）（q） D （p）q4已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）
2、A2 B C1 D 25函数 的一条对称轴为（ ）A B C D6已知实数 x，y 满足 ，则 z=3xy 的最大值为（ ）A 5 B1 C3 D47设 m，n 是不同的直线， ， 是不同的平面，下列四个命题为真命题的是（ ）若 m ， nm ，则 n ； 若 ，n，m ，则 nm；若 m ， n，m n，则 ；若 m ， n，m n，则 A B C D8已知双曲线 与抛物线 y2=8x 的准线交于点 P，Q，抛物线的焦点为F，若PQF 是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B C D9偶函数 f（x）满足 f（x1）=f（x +1） ，且当 x1，0时，f （x）= x，则函数g（ x）
3、=f（x）lgx 在 x（0，10）上的零点个数是（ ）A10 B9 C8 D710已知 Rt ABC，两直角边 AB=1，AC=2，D 是ABC 内一点，且DAB=60，设 （，R ） ，则 =（ ）A B C3 D二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11函数 y= 的定义域是 12已知 =（2，m） ， =（1，1） ， =| + |则实数 m 的值为 13直线 3x+4y=b 与圆 x2+y22x2y+1=0 相交，则 b 的取值范围为 14某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 15观察下列等式，按此规律，第 n 个等式的右边等于 三、解答题：本大题
4、6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b， c，且满足（）求角 C 的值；（）若 a=5，ABC 的面积为 ，求 sinB 的值17为监测全市小学生身体形态生理机能的指标情况，体检中心从某小学随机抽取 100 名学生，将他们的身高（单位：厘米）数据分成如下 5 个组：100， 110） ， 110，120） ，140，150） ，并绘制成频率分布直方图（如图所示） （）若该校共有学生 1000 名，试估计身高在100，130）之间的人数；（）在抽取的 100 名学生中，按分层抽样的方法从身高为：100，110） ，13
5、0， 140） ， 140，150） 3 个组的学生中选取 7 人参加一项身体机能测试活动，并从这 7 人中任意抽取 2 人进行定期跟踪测试，求这 2 人取自不同组的概率18已知各项均为正数的数列a n满足 a1=1， （）求数列a n的通项公式；（）若数列 ，求数列b n前 n 项和 Tn19空间几何体 ABCDEF 如图所示已知面 ABCD 面 ADEF，ABCD 为梯形，ADEF 为正方形，且 ABCD，ABAD，CD=4，AB=AD=2 ，G 为 CE 的中点（）求证：BG面 ADEF；（）求证：CB面 BDE；（）求三棱锥 EBDG 的体积20已知椭圆 C 的离心率为 ，F 1，F
6、2 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上任意一点，PF 1F2 的周长为 ，直线 l：y=kx +m（k0）与椭圆 C 相交于A，B 两点（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 l 与圆 x2+y2=1 相切，过椭圆 C 的右焦点 F2 作垂直于 x 轴的直线，与椭圆相交于 M，N 两点，与线段 AB 相交于一点（与 A，B 不重合） 求四边形 MANB 面积的最大值及取得最大值时直线 l 的方程21已知函数 f（x ）=x 2+alnxx（a0） ，g（x）=x 2（）求函数 f（x）的单调区间；（）若对于任意的 a（1，+） ，总存在 x1，x 21，a ，使得 f（x 1）f（x 2）g（
7、 x1） g（x 2）+m 成立，求实数 m 的取值范围2017 届山东省威海市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足（1+i）z=2i，则 z 的虚部是（ ）A1 B1 Ci Di【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由（1+i）z=2i，得 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由（1+i）z=2i ，得 = ，则 z 的虚部是：1故选：A2若集合 ，B=x|x |3，则集合 AB 为（ ）Ax |5x3 B x|
8、3x2 Cx|5 x3 Dx|3x2【考点】并集及其运算【分析】分别化简集合 A，B ，再由并集的含义即可得到【解答】解：集合 =x|5x 2，B=x|x|3 =x|3x 3，则 AB=x |5x3故选：C3命题 p：若 =0，则 =0；命题 q：x 00，使得 x01lnx0=0，则下列命题为真命题的是（ ）Ap q Bp（q） C （p ）（q） D （p）q【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假【分析】先判断命题 p，q 的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案【解答】解：若 =0，则 = ，故命题 p 为假命题；当 x0=1 时，x 01lnx0=0，故命题 q 为真命
9、题，故 pq，p（q） ， （p）（q ）均为假命题；（p）q 为真命题，故选：D4已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）A2 B C1 D 2【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算变量 a 的值并输出，依次写出每次循环得到的a， i 的值，当 i=11 时，满足条件，计算即可得解【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：a i 是否继续循环循环前 2 1第一圈 2 是第二圈1 3 是第三圈 2 4 是第 9 圈 2 10 是第 10 圈 11 是故最后输出的 a 值为 故选：B5函数 的一条对称轴
10、为（ ）A B C D【考点】弧长公式；二倍角的余弦【分析】利用倍角公式可得函数 y= cos（2x ）+ ，由 2x =k，k Z，解得对称轴方程，k 取值为1 即可得出【解答】解： = = cos（2x ）+ ，令 2x =k，k Z，解得对称轴方程为： x= + ，k Z，当 k=1 时，一条对称轴为 x= 故选：D6已知实数 x，y 满足 ，则 z=3xy 的最大值为（ ）A 5 B1 C3 D4【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据 z 的几何意义，利用数形结合即可得到 z 的最大值【解答】解：不等式组 ，对应的平面区域如图：由 z=3xy 得 y=3xz，平移
11、直线 y=3xz，则由图象可知当直线 y=3xz 经过点 A 时直线 y=3xz 的截距最小，此时 z 最大，为 3xy=3，解得 ，即 A（1，0） ，此时点 A 在 z=3xy，解得 z=3，故选：C7设 m，n 是不同的直线， ， 是不同的平面，下列四个命题为真命题的是（ ）若 m ， nm ，则 n ； 若 ，n，m ，则 nm；若 m ， n，m n，则 ；若 m ， n，m n，则 A B C D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】，若 m，nm，则 n 或 n； ，若 ，nn，又m，则 nm；，若 m，n，m n，则 、 不一定垂直；，若 n，mnm ，又m ，则 【解
12、答】解：对于，若 m，nm，则 n 或 n，故错； 对于，若 ，nn ，又m，则 nm，故正确；对于，若 m，n，mn ，则 、 不一定垂直，故错；对于，若 n，mn m，又m ，则 ，故正确故选：C8已知双曲线 与抛物线 y2=8x 的准线交于点 P，Q，抛物线的焦点为F，若PQF 是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意，x= 2，等边三角形的边长为 ，将（2， ）代入双曲线，可得方程，即可求出 m 的值【解答】解：由题意，x= 2，等边三角形的边长为 ，将（2， ）代入双曲线 ，可得 =1， ，故选：B9偶函数 f（x）满足 f（x1）=
13、f（x +1） ，且当 x1，0时，f （x）= x，则函数g（ x）=f（x）lgx 在 x（0，10）上的零点个数是（ ）A10 B9 C8 D7【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理【分析】根据已知条件推导函数 f（x ）的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求解【解答】解：f（x1）=f（x+1）f（ x）=f（x+2） ，原函数的周期 T=2 又f（ x）是偶函数，f（ x）=f（x） 又当 x1， 0时，f（x）=x，x 0，1时，f（x ）=x ，函数的周期为 2，原函数的对称轴是 x=1，且 f（ x）=f（x +2） 设 y1=f（x ）
14、，y 2=lgx，x=10，y 2=1函数 g（x ）=f（x）lgx 在（0，10）上的零点的个数如图：即为函数 y1=f（x） ，y 2=lgx 的图象交点的个数为 9 个函数 g（x ）=f（x）lgx 有 9 个零点故选：B10已知 Rt ABC，两直角边 AB=1，AC=2，D 是ABC 内一点，且DAB=60，设 （，R ） ，则 =（ ）A B C3 D【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】建立平面直角坐标系，分别写出 B、C 点坐标，由于DAB=60，设 D点坐标为（m， ） ，由平面向量坐标表示，可求出 和 【解答】解：如图以 A 为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴，
15、以 AC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 B 点坐标为（1，0） ，C 点坐标为（0，2） ，DAB=60，设 D 点坐标为（m， ） ，=（1，0）+ （0，2）=（，2）=m，= ，则 = 故选：A二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11函数 y= 的定义域是 （1，2） 【考点】对数函数的定义域【分析】无理式被开方数大于等于 0，对数的真数大于 0，分母不等于 0，解答即可【解答】解：要使函数有意义，须 解得1x2，即函数的定义域为（1 ，2）故答案为：（1，2）12已知 =（2，m） ， =（1，1） ， =| + |则实数 m 的值为 3 【考点
16、】平面向量的坐标运算【分析】根据向量的数量积公式和向量的模得到关于 m 的方程，解得即可【解答】解： =（2，m） ， =（1，1） ， =| + |， =2+m，| + |= ，2+m= ，解得 m=3，故答案为：313直线 3x+4y=b 与圆 x2+y22x2y+1=0 相交，则 b 的取值范围为 （2，12） 【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件建立不等式关系进行求解即可【解答】解：圆的标准方程为（x1） 2+（y 1） 2=1，则圆心坐标为（1，1） ，半径 r=1，则若直线 3x+4y=b 与圆 x2+y22x2y+1=0 相交，则圆心到直线的
17、距离 d= = 1，即|b7|5 ，则5 b7 5 ，即 2b12 ，故答案为：（2，12）14某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的棱柱，代入柱体体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的棱柱，底面面积为：S=22=4，底面周长为：C=2（2+ ）=4+4 ，高 h=4，故几何体的表面积为：2S+Ch= ；故答案为： 15观察下列等式，按此规律，第 n 个等式的右边等于 3n 22n 【考点】归纳推理【分析】由图知，第 n 个等式左边是 n
18、 个奇数的和，第一个奇数是 2n1，由等差数列的求和公式计算出第 n 个等式的和，即可得结果【解答】解：由图知，第 n 个等式的等式左边第一个奇数是 2n1，故 n 个连续奇数的和故有 n =n（3n 2）=3n 22n故答案为 3n22n三、解答题：本大题 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b， c，且满足（）求角 C 的值；（）若 a=5，ABC 的面积为 ，求 sinB 的值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】 （）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合 sinB0 ，可得： ，进而可求C 的
19、值（）由已知利用三角形面积公式可求 b，由余弦定理得 c，进而利用正弦定理可求 sinB 的值【解答】 （本小题满分 12 分）解：（）由正弦定理， ，可整理变形为： ，由 A=（B +C） ，可得：sinA=sin（B+C ）所以： ，整理得： ，因为 sinB0，所以 ，可得： ， ， （）由已知 a=5， ，得 ，由余弦定理得 c2=a2+b22abcosC=21，故 ，可得： 17为监测全市小学生身体形态生理机能的指标情况，体检中心从某小学随机抽取 100 名学生，将他们的身高（单位：厘米）数据分成如下 5 个组：100， 110） ， 110，120） ，140，150） ，并绘制成
20、频率分布直方图（如图所示） （）若该校共有学生 1000 名，试估计身高在100，130）之间的人数；（）在抽取的 100 名学生中，按分层抽样的方法从身高为：100，110） ，130， 140） ， 140，150） 3 个组的学生中选取 7 人参加一项身体机能测试活动，并从这 7 人中任意抽取 2 人进行定期跟踪测试，求这 2 人取自不同组的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】 （）由频率分布图中小矩形面积之和为 1 的性质，先求出 a=0.030，从而求出身高在110，130）之间的频率，由此能求出身高在110，130）之间的人数（）该学校学生身高在
21、100，110） ，130，140） ，140，150）内的频率分别是 0.05，0.2，0.1，这三个组的人数分别为 5 人， 20 人，10 人，共 35 人，这三个组分别为 A 组，B 组，C 组从 A 组抽取人数 1 人，B 组抽取 4 人，C 组抽取 2 人，利用列举法能求出任意抽取 2 人，这 2 人取自不同身高组的概率【解答】 （本小题满分 12 分）解：（）由 （0.005+0.035+a+0.020+0.010）10=1，解得 a=0.030所以身高在110，130 ）之间的频率为：（0.035+0.030）10=0.65，所以身高在110，130 ）之间的人数为：0.651
22、00=65 人（）估计该学校学生身高在100，110） ，130，140） ，140，150）内的频率分别是 0.05，0.2，0.1，所以这三个组的人数分别为 5 人，20 人，10 人，共 35 人记这三个组分别为 A 组，B 组，C 组则 A 组抽取人数为 ；B 组抽取人数为 ；C 组抽取人数为 ，设“任意抽取 2 人，这 2 人取自不同身高组”为事件 M，则所有的基本事件空间为：共 21 个元素，事件 M 包含的基本事件有：（A 1，B 1） ， （A 1，B 2） ， （A 1，B 3） ， （A 1，B 4） ， （A 1，C 1） ， （A 1，C 2） ， （B 1，C 1）
23、，（B 1，C 2） ，（B 2，C 1） ， （B 2，C 2） ， （B 3，C 1） ， （B 3，C 2） ， （B 4，C 1） ， （B 4，C 2） ，共 14 个，所以这 2 人取自不同组的概率 18已知各项均为正数的数列a n满足 a1=1， （）求数列a n的通项公式；（）若数列 ，求数列b n前 n 项和 Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】 （） 由数列的递推公式，可得所以数列a n为等比数列，且公比，首项 a1=1，（）根据错位相减法，即可求出数列的数列b n前 n 项和 Tn【解答】解：（ I） ，因为数列a n各项均为正数，所以 an+10，所以 an=2a
24、n+1，所以数列a n为等比数列，且公比 ，首项 a1=1所以 ；（） ，得，所以 19空间几何体 ABCDEF 如图所示已知面 ABCD 面 ADEF，ABCD 为梯形，ADEF 为正方形，且 ABCD，ABAD，CD=4，AB=AD=2 ，G 为 CE 的中点（）求证：BG面 ADEF；（）求证：CB面 BDE；（）求三棱锥 EBDG 的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】 （）取 ED 中点 H，连接 HG、AH，推导出 AHGB 为平行四边形，从而AHBG ，由此能证明 BG面 ADEF（）推导出 BDBC ，EDAD，ED BC ，由
25、此能证明 BC面 BDE（）三棱锥 EBDG 的体积 VEBDG=VEBDCV_GBDC，由此能求出结果【解答】 （本小题满分 12 分）证明：（）取 ED 中点 H，连接 HG、AH，因为 G、H 分别为 EC、ED 的中点，所以 HGCD 且 ；因为 ABCD 且所以 ABHG，且 AB=HG，所以 AHGB 为平行四边形，所以 AHBG ；因为 BG面 PBC，AH面 PBC，所以 BG面 ADEF；（）在直角梯形 ABCD 中，由题意得 ，在 RtABD 中，由题意得所以BDC 中 ，由勾股定理可得 BDBC由 ADEF 为正方形，可得 EDAD由面 ABCD面 ADEF，得 ED面
26、ABCDBC面 ABCD，所以 EDBC 所以 BC面 BDE（）因为 DE平面 BDC，DE=2 ，G 到到平面 BDC 的距离 d= =1，SBDC = = =4，所以三棱锥 EBDG 的体积20已知椭圆 C 的离心率为 ，F 1，F 2 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上任意一点，PF 1F2 的周长为 ，直线 l：y=kx +m（k0）与椭圆 C 相交于A，B 两点（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 l 与圆 x2+y2=1 相切，过椭圆 C 的右焦点 F2 作垂直于 x 轴的直线，与椭圆相交于 M，N 两点，与线段 AB 相交于一点（与 A，B 不重合） 求四边形 MANB 面积
27、的最大值及取得最大值时直线 l 的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】 （）根据椭圆的离心率及PF 1F2 的周长求出 a、b 即可；（）由已知求出 MN 的长度，然后，由直线和圆相切得到 m，k 的关系，再联立直线方程和椭圆方程，求出 A，B 的横坐标，代入四边形面积公式，利用基本不等式求得最值，并得到使四边形 ACBD 的面积有最大值时的 m，k 的值，从而得到直线 l 的方程【解答】解：（ I）设椭圆的方程为 ，由题可知，解得 ，所以椭圆 C 的方程为 （ II）令 ，解得 ，所以|MN|=1，直线 l 与圆 x2+y2=1 相切可得 ，即 k2+1=m2，联立直线与椭圆的方程，整理得（1
28、+4k 2）x 2+8kmx+4m24=0所以 将 k2+1=m2 代入可得 当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 所以，当 时，四边形 MANB 的面积具有最大值 ，直线 l 方程是或 21已知函数 f（x ）=x 2+alnxx（a0） ，g（x）=x 2（）求函数 f（x）的单调区间；（）若对于任意的 a（1，+） ，总存在 x1，x 21，a ，使得 f（x 1）f（x 2）g（ x1） g（x 2）+m 成立，求实数 m 的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】 （）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，得到函数的单调区间即可；（）令 F（x）=f（x）g（x）=x 2+al
29、nxxx2=alnxx，x1，a 原问题等价于：对任意的 a（1，+） ，总存在 x1，x 21，a，使得 F（x 1）F （x 2）m 成立，即 F（x） maxF（x） minm，根据函数的单调性求出 m 的范围即可【解答】解：（）f（x ）的定义域为（0，+） ， 令 2x2x+a=0， =1 8a（1）当=18a0，即 时，2x 2x+a0 恒成立，即 f（x ）0 恒成立，故函数 f（x ）的单增区间为（ 0，+） ，无单减区间 （2）当0，即 时，由 2x2x+a=0 解得 或i）当 时，0x 1x 2，所以当 或 时 f（x）0当 时 f（x ）0（3）当 a0 时，所以当 时
30、f（x ）0，当 时 f（x）0；综上所述：当 时，函数 f（x）的单增区间为（ 0，+） ，无单减区间当 时，函数 f（x ）的单增区间为 和，单减区间为 当 a0 时，函数 f（x ）的单增区间为 ，单减区间为（）令 F（x）=f（x）g（x）=x 2+alnxxx2=alnxx，x1，a 原问题等价于：对任意的 a（1，+） ，总存在 x1，x 21，a ，使得 F（x 1）F（x 2）m 成立，即 F（x） maxF（x） minm ，a（1，+） ，x 1，a ，F （ x）0，F（x）在 x1，a上单调递增，F（x）F（x） maxF（x） min=F（a）F（1）=alna a+1，即 alnaa+1m 对任意的 a（1 ，+）恒成立，令 h（a）=alnaa+1，a（1，+） ，只需 h（a） minm，h（a）=lna，a（1，+） ，h（a）0，h（a ）在 a（1，+）上单调递增，h（a）h（1）=0，所以 m02017 年 2 月 10 日
