2018年湖北省孝感市高三上学期第一次统考数学（理）试题（图片版）.rar

书书书孝感市２０１７—２０１８学年度高中三年级第一次统一考试理科数学参考答案一、选择题（每小题５分，共６０分）１．Ｄ ２．Ｃ ３．Ｄ ４．Ｂ ５．Ｄ ６．Ｂ ７．Ａ ８．Ｂ ９．Ｂ １０．Ｃ １１．Ｂ １２．Ｄ二、填空题（每小题５分，共２０分）（对而不全的不给分）１３．槡槡３２＋６２１４．槡５２－３ １５．１５８１６．９三、解答题（共６大题，共７０分）１７．（１）∵ｆ（ｘ）＝槡３２（１＋ｃｏｓ２ｘ）＋１２ｓｉｎ２ｘ＝ｓｉｎ（２ｘ＋π３）＋槡３２……２分∴Ｔ＝２π２＝π……３分令２ｋπ＋π２≤２ｘ＋π３≤２ｋπ＋３π２得ｋπ＋π１２≤ｘ≤ｋπ＋７π１２故ｆ（ｘ）的单调递减区间为［ｋπ＋π１２，ｋπ＋７π１２］（ｋ∈Ｚ）……５分（２）∵ｆ（Ａ２－π６）＝ｓｉｎＡ＋槡３２槡＝３∴ｓｉｎＡ＝槡３２……７分Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ＝槡３２ｂ槡＝２３∴ｂ＝４……９分又∵ｃｏｓＡ＝±１２……１０分∴ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡ＝１２或２８∴ａ槡＝２３或槡２７……１２分１８．（１）∵ａｎ＋１＝２Ｓ槡ｎ∴（ａｎ＋１）２＝４Ｓｎ∴（ａｎ－１＋１）２＝４Ｓｎ－１（ｎ≥２）两式相减得ａ２ｎ－ａ２ｎ－１＋２（ａｎ－ａｎ－１）＝４ａｎ∴ａ２ｎ－ａ２ｎ－１＝２（ａｎ＋ａｎ－１）∵ａｎ＞０∴ａｎ－ａｎ－１＝２（ｎ≥２）……３分∴｛ａｎ｝是公差为２的等差数列∵ａ１＋１＝２Ｓ槡１＝２ａ槡１∴ａ１＝１……４分理科数学参考答案 第１页∴ａｎ＝１＋２（ｎ－１）＝２ｎ－１……６分（２）∵｛ｂｎ｝为等比数列，ｂ１＝ａ１＋１＝２，ｂ３＝ａ４＋１＝８∴ｑ＝２，ｂｎ＝２ｎ……８分∴Ｔｎ＝１·２１＋３·２２＋５·２３＋…＋（２ｎ－１）２ｎ……９分２Ｔｎ＝１·２２＋３·２３＋５·２４＋…＋（２ｎ－１）２ｎ＋１∴－Ｔｎ＝２１＋２３＋２４＋２５＋…＋２ｎ＋１－（２ｎ－１）２ｎ＋１＝２＋２３（１－２ｎ－１）１－２－（２ｎ－１）２ｎ＋１＝（３－２ｎ）２ｎ＋１－６∴Ｔｎ＝（２ｎ－３）２ｎ＋１＋６……１２分G21G22G23G24G25G24 G21G26 G27１９．（１）如图，取ＡＥ的中点为Ｏ，取ＢＣ的中点为Ｆ，连接Ｄ′Ｏ和ＯＢ，Ｄ′Ｆ和ＯＦ由题意知：ＡＤ＝ＤＥ＝２，ΔＡＤ′Ｅ是等腰三角形Ｄ′Ｂ＝Ｄ′Ｃ，ΔＤ′ＢＣ是等腰三角形则有Ｄ′Ｏ⊥ＡＥ，Ｄ′Ｆ⊥ＢＣ……２分Ｏ，Ｆ分别为ＡＥ和ＢＣ的中点，ＡＢ⊥ＢＣ可得：ＯＦ⊥ＢＣ，而Ｄ′Ｆ⊥ＢＣ，ＯＦ∩Ｄ′Ｏ＝Ｏ，所以ＢＣ⊥面Ｄ′ＯＦ，可得ＢＣ⊥Ｄ′Ｏ，……４分而Ｄ′Ｏ⊥ＡＥ，ＢＣ，ＡＥ平面ＡＢＣＥ，且ＢＣ与ＡＥ不平行所以Ｄ′Ｏ⊥平面ＡＢＣＥ……５分而Ｄ′Ｏ平面Ｄ′ＡＥ，所以平面ＡＤ′Ｅ⊥平面ＡＢＣＥ……６分（２）几何法：由（１）知ＯＦ⊥ＢＣ，Ｄ′Ｆ⊥ＢＣ，ＯＦ面ＡＢＣＤ，Ｄ′Ｆ面Ｄ′ＢＣ从而二面角Ｄ′－ＢＣ－Ａ＝∠Ｄ′ＦＯ……８分由（１）知Ｄ′Ｏ⊥平面ＡＢＣＥ，可得Ｄ′Ｏ⊥ＯＦ，△Ｄ′ＯＦ为直角三角形Ｏ、Ｆ分别为ＡＢ和ＢＣ的中点，从而ＯＦ＝１２（ＡＢ＋ＥＣ）＝３２△ＢＣＥ为直角三角形，ＥＣ＝１２ＥＢ可得∠ＥＢＣ＝π６而∠ＡＢＣ＝π２，从而∠ＡＢＥ＝π３由题意知：ＡＢ＝ＢＥ＝２，从而ＡＥ＝２……９分△ＡＤ′Ｅ为等腰三角形，且ＡＤ′＝ＥＤ′＝２Ｏ为ＡＥ的中点，且ＯＤ′⊥ＡＥ，ＯＤ′＝ＡＤ′２－ＡＯ槡２槡＝３……１０分ＯＦ＝３２，ＯＤ′槡＝３，可得Ｄ′Ｆ＝（３２）２槡＋３＝槡２１２ｓｉｎ∠Ｄ′ＦＯ＝Ｄ′ＯＤ′Ｆ＝槡２７７，从而二面角Ｄ′－ＢＣ－Ａ的正弦值为槡２７７……１２分理科数学参考答案 第２页G21G22G23G24G25G24 G21G26G27G28G29向量法：如图，取ＡＥ的中点Ｏ为坐标原点，以ＯＤ′为ｚ轴过点Ｏ作ＢＣ的平行线为ｘ轴，过点Ｏ作ＡＢ的平行线为ｙ轴建立如图所示空间直角坐标系，……７分△ＢＣＥ为直角三角形，ＥＣ＝１２ＥＢ可得∠ＥＢＣ＝π６而∠ＡＢＣ＝π２，从而∠ＡＢＥ＝π３由题意知：ＡＢ＝ＢＥ＝２，从而ＡＥ＝２……８分△ＡＤ′Ｅ为等腰三角形，且ＡＤ′＝ＥＤ′＝２Ｏ为ＡＥ的中点，且ＯＤ′⊥ＡＥ，ＯＤ′＝ＡＤ′２－ＡＯ槡２槡＝３……９分由（１）知，ＯＤ′⊥平面ＡＢＣ，可得：Ｏ（０，０，０），Ｄ′（０，０，槡３），Ｃ（槡３２，３２，０），Ｂ（－槡３２，３２，０）可得平面ＡＢＣ的法向量为→ＯＤ′＝（０，０，槡３）设向量ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）为平面Ｄ′ＢＣ的法向量则有→ＢＣ＝（槡３，０，０），→ＣＤ′＝（－槡３２，－３２，槡３），ｎ·→ＢＣ槡＝３ｘ＝０ｎ·→ＣＤ′＝－槡３２ｘ－３２ｙ槡＋３ｚ{＝０，解得：ｎ＝（０，槡２３，３）……１１分ｃｏｓ＜ｎ，→ＯＤ′＞＝ｎ·→ＯＤ′ｎ·→ＯＤ′＝槡３３槡２１·槡３＝槡２１７从而二面角Ｄ′－ＢＣ－Ａ的正弦值为槡２７７……１２分２０．（１）由题意知，（槡２６３，１）在椭圆上，则：２４９ａ２＋１ｂ２＝１ｃａ＝１２ａ２－ｂ２＝ｃ２∴ａ＝２ｂ槡＝３ｃ{＝１……３分∴椭圆的方程为ｘ２４＋ｙ２３＝１……４分（２）①当ＡＭ的斜率不存在时，Ｓ△ＡＭＮ＝３……５分②当ＡＭ的斜率存在时，设ＡＭ：ｙ＝ｋ（ｘ－１）理科数学参考答案 第３页ｙ＝ｋ（ｘ－１）３ｘ２＋４ｙ２{＝１２（３＋４ｋ２）ｘ２－８ｋ２ｘ＋４ｋ２－１２＝０，Δ＝４（３６＋３６ｋ２）＞０设Ｍ的坐标为（ｘ１，ｙ１），则：ｘ０＋ｘ１＝８ｋ２３＋４ｋ２，ｘ０ｘ１＝４ｋ２－１２３＋４ｋ２……７分ＡＭ＝１＋ｋ槡２ｘ０－ｘ１＝１２（ｋ２＋１）３＋４ｋ２……８分点Ｎ到ＡＭ的距离ｄ＝２ｋ１＋ｋ槡２……９分∴Ｓ△ＡＭＮ＝１２ＡＭｄ＝１２·１２（ｋ２＋１）３＋４ｋ２·２ｋ１＋ｋ槡２＝１２ｋｋ２槡＋１３＋４ｋ２＝１２（ｋ２＋１）ｋ槡２３＋４ｋ２＝１２１６＋８ｋ２＋９ｋ４＋ｋ槡２＜３……１１分综上可知：Ｓ△ＡＭＮ的最大值为３……１２分２１．（１）ａ＝１时，ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－２ｘ＋１２ｘ２，ｆ′（ｘ）＝１ｘ－２＋ｘ……１分∴ｆ′（２）＝１２，又∵ｆ（２）＝ｌｎ２－２∴ｆ（ｘ）在（２，ｆ（２））处的切线方程为ｙ－（ｌｎ２－２）＝１２（ｘ－２）即ｙ＝１２ｘ＋ｌｎ２－３……３分（２）ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－（ａ＋１）ｘ＋１２ａｘ２定义域为（０，＋∞）ｆ′（ｘ）＝１ｘ－（ａ＋１）＋ａｘ＝ａｘ２－（ａ＋１）ｘ＋１ｘ＝（ａｘ－１）（ｘ－１）ｘ……４分令ｆ′（ｘ）＝０，则ｘ＝１或１ａ若ａ≤０，则ｆ（ｘ）在（０，１）单调递增，（１，＋∞）单调递减若０＜ａ＜１，则ｆ（ｘ）在（０，１）单调递增，（１，１ａ）单调递减，（１ａ，＋∞）单调递增若ａ＝１，则ｆ（ｘ）在（０，＋∞）单调递增若ａ＞１，则ｆ（ｘ）在（０，１ａ）单调递增，（１ａ，１）单调递减，（１，＋∞）单调递增……７分（３）ｇ（ｘ）＝ｌｎｘ＋（１－ａ）ｘ＋１２ｘ２， ｇ′（ｘ）＝１ｘ＋ｘ＋１－ａ＝ｘ２＋（１－ａ）ｘ＋１ｘ令ｇ′（ｘ）＝０，则ｘ２＋（１－ａ）ｘ＋１＝０，故ｘ１＋ｘ２＝ａ－１，ｘ１ｘ２＝１……８分∴ｇ（ｘ１）－ｇ（ｘ２）＝［ｌｎｘ１＋（１－ａ）ｘ１＋１２ｘ２１］－［ｌｎｘ２＋（１－ａ）ｘ２＋１２ｘ２２］＝ｌｎｘ１ｘ２＋（１－ａ）（ｘ１－ｘ２）＋１２（ｘ２１－ｘ２２）＝ｌｎｘ１ｘ２－１２（ｘ２１－ｘ２２）＝ｌｎｘ１ｘ２－１２（ｘ１ｘ２－ｘ２ｘ１）理科数学参考答案 第４页∵０＜ｘ１＜ｘ２，令ｘ１ｘ２＝ｔ，则０＜ｔ＜１，记ｈ（ｔ）＝ｌｎｔ－１２（ｔ－１ｔ）（０＜ｔ＜１）∵ｈ′（ｔ）＝１ｔ－１２（１＋１ｔ２）＝－（ｔ－１）２２ｔ２＜０∴ｈ（ｔ）在（０，１）上单调递减……１０分∵ａ≥７２，∴（ａ－１）２≥２５４即（ｘ１＋ｘ２）２＝（ｘ１＋ｘ２）２ｘ１ｘ２＝ｔ＋１ｔ＋２≥２５４，解得ｔ≤１４或ｔ≥４又∵０＜ｔ＜１，∴０＜ｔ≤１４，……１１分∴ｈ（ｔ）ｍｉｎ＝ｈ（１４）＝１５８－２ｌｎ２即ｇ（ｘ１）－ｇ（ｘ２）的最小值为１５８－２ｌｎ２……１２分２２．（１）Ｃ１：ｘ２６＋ｙ２２＝１……２分Ｃ２：ｙ＝ｘ＋４……４分（２）设Ｐ（槡６ｃｏｓα，槡２ｓｉｎα），则｜ＰＱ｜＝槡｜６ｃｏｓα槡＋４－２ｓｉｎα｜槡２槡＝｜３ｃｏｓα－ｓｉｎα槡＋２２｜＝｜２ｃｏｓ（α＋π６）槡＋２２｜……７分当ｃｏｓ（α＋π６）＝－１时，｜ＰＱ｜ｍｉｎ槡＝２２－２……９分此时Ｐ（－槡３２２，槡２２）……１０分２３．（１）ａ＝６时，不等式即｜２ｘ＋３｜＋｜２ｘ－１｜＜６……１分ｘ≤－３２－４ｘ{－２＜６或－３２＜ｘ＜１２{４＜６或ｘ≥１２４ｘ{＋２＜６－２＜ｘ＜１……４分∴Ｍ＝（－２，１）……５分（２）Ｍ≠，则｜２ｘ＋３｜＋｜２ｘ－１｜＜ａ有解……６分而ｆ（ｘ）＝｜２ｘ＋３｜＋｜２ｘ－１｜∈［４，＋∞）……８分∴ａ＞４……１０分理科数学参考答案 第５页页 1 第页 2 第页 3 第页 4 第页 5 第页 6 第