1、第 1 页 共 15 页2018 届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学考试数学（理）试题一、选择题1 ，则 （ ）2zizA. B. C. D. 3113i13i【答案】A【解析】由已知有 ，所以 ，选 A.ziizi2已知集合 ， ， ，则“|lg0x|24xB|420Cx”是“ ”的（ ）xABCA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件【答案】A【解析】集合 ，所以 ，而集| 1|2xBx， |12ABx合 ，因为 ，所以“ ”是“ ”的充|24CACC分不必要条件，选 A.3古代名著九章算术中有这样一段话： “今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四
2、斤斩末一尺，重二斤 ”意思是：“现有一根金锤，头部的 1 尺，重 4 斤；尾部的 1尺，重 2 斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列.”则下列说法错误的是（ ）A. 该金锤中间一尺重 3 斤 B. 中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的 3 倍 C. 该金锤的重量为 15 斤 D. 该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为 0.5 斤【答案】B【解析】依题意，从头至尾，每尺的重量构成等差数列 ，可得na，可知选项 A、C、D 都正确，而中间三尺的重123454,.5,2.,aaa量和不是头尾两尺重量和的 倍，故选 B.4已知某次数学考试的成绩服从正态分布 ，则 114 分以上的成绩所占的210,4N
3、百分比为（ ）（附 ， ， ()0.682PX(2)0.954PX）33974A. B. C. D. 0.%.21.%.13【答案】D【解析】由已知有 , 所以(0)0.PX第 2 页 共 15 页，选 D.10(4)0.974.13.2PX5已知函数 ，则 的值为（ ）13(,xfxf32logfA. B. C. D. 27542754【答案】B【解析】试题分析： ，即3332log1l2log，又3332log,2loglfff，4 3 3 333log23log2 1loglog2log21 2311 1log77754f ，所以 ，故选 B32l54f【考点】1、分段函数的解析式； 2
4、、函数的周期性及指数与对数的性质6已知函数 ，其中 为实数，若对任意sinfx恒成立，,6xRff且 ，则 的单调递减区间是2fffxA. B. ,36kkZ,2kkZC. D. 2, ,【答案】A【解析】因为对任意 恒成立，所以 ，,6xffRsin163f则 或 ，当 时， ，则67i26fx（舍去） ，当 时， ，则122ff 767sinf，符合题意，即 ，令ff7sin26fx第 3 页 共 15 页，解得 ，即 的单调递减73226kxk36kxkfx区间是 ；故选 A.,3Z7某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 232916
5、【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为底面半径为 、高为 的圆锥的 ，2413所以该几何体的体积 ，故选 D.1162439V【考点】三视图.8若 表示不超过 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ xx S）A. B. 5 C. 7 D. 94【答案】C【解析】当 ，否， ，否， 0,0,4?Snn1,4?nS第 4 页 共 15 页，否， ，否， 2,12,4?nSn 3,23,4?nSn，否， ，是，输出43557，选 C.79已知三棱锥 的四个顶点都在同一个球面上，底面 满足PABCABC，若该三棱锥体积最大值为 3，则其外接球的表面积为（ ）0BAA. B
6、. C. D. 21316【答案】D【解析】 因为 为等腰直角三角形，所以 AC 为截面圆的直径，故该三棱锥的外接球的球ABC心 O 在截面 ABC 中的射影为 AC 的中点 D，当 P,O,D 三点共线且 P,O 位于截面同一侧的棱锥的体积最大，棱锥的最大高度为 ，所以 ，求出P16332PD，设外接球的半径为 则 ,在 中， 3PD,R,OCRO,由勾股定理得 ，解得 ,所以外接球的表面积12CA223为 ，选 D.=46S点睛：本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算，属于中档题。本题关键是由已知条件，画出草图。10设椭圆 ： 的右顶点为 ，右焦点为 ， 为椭圆在E21(0)xyabA
7、FB第二象限内的点，直线 交椭圆于点 ， 为原点，若直线 平分线段 ，则BOCOAC椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 12345【答案】B【解析】如上图，设 AC 中点为 M,连 OM，则 OM 为 的中位线，易得ABC第 5 页 共 15 页 ，且 ,即 可得 ，选 B.OFMAB12OFMAB,ca13cea点睛：本题主要考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法 ，本题的关键是利用中位线定理和相似三角形定理。11已知 ，若 点是 所在平面内一点，且1,CttPABC，则 的最大值等于（ ）4ABPPBA13 B15 C19 D21【答案】A【解析】以 为坐标原点，建立平面直角坐标
8、系，如图所示，则 ， ，1(,0)Bt(,)Ct，即 ，所以 ，1P（ ， 0)+4(,=1,)P（ ， 4)t=（ ， -4，因此C=（ ， t-BC，因为 ，所以 的最大值146t17(4)t1424ttPBC等于 ，当 ，即 时取等号3t2xyBCAP【考点】1、平面向量数量积；2、基本不等式12已知定义域为 的奇函数是一条连续不断的曲线， R，且当 时， 导函数 ，则1,fxffa01xfxfxf在区间 上的最小值为（ ）2078A. B. 0 C. D. 2016a【答案】A【解析】因为 是奇函数，所以 ，又 ，所以fxfxf1fxf，即211fx第 6 页 共 15 页，所以 ，所
9、以函数2fxfx424fxfxffx，的周期为 4，由题意有 时，设01，则函数 在（0,1）为减函数，所2, 0fxfxfFFFx以函数 在（0,1）上为减函数，则在（2016,2017）上也是减函数，由f知， 是函数 的对称轴，又函数周期为 4，所以1x1xfx也是函数 的对称轴，所以函数 在 上为增函数，故207f 2017,8最小值为 ，选 A.450f fa点睛：本题主要考查导函数在函数单调性上的应用，属于中档题 。本题思路：先求出函数的周期，再判断函数的单调性，利用单调性和对称性求出函数在 的最2017,8小值。二、填空题13设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 ,xy2
10、0()xym2zxy_【答案】 2【解析】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点 处取得最大值： .,020z第 7 页 共 15 页14若 10 件产品包含 2 件次品，今在其中任取两件，已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率为_【答案】 41【解析】设事件 A=两件中有一件不是废品，事件 B=两件中恰有一件为废品 ，则.1280214| CPAB15设 ，则 的值是4 340122 11aaxxx24a_【答案】40【解析】 的展开式的通项为 ，所以421x 441212kkkkTCxx。24024424,6,0aCaa16在 中，角 的对边分别
11、为 .已知 ，且AB,bc27sincos2ABC，则 的面积的最大值为_c【答案】 3第 8 页 共 15 页【解析】因为 ，所以 ，化简274sincos2ABC1cos74cos22ABC有 ，又 ，由余弦定理有12co10,3C，即 ，则2csababab4a，即最大值为 。1in24ABCS点睛：本题主要考查解三角形，用到的知识点有降幂公式，余弦定理和三角形面积公式，属于中档题。解答本题的关键是灵活运用这些公式。三、解答题17 为数列 的前 项和.已知 .nSna20,43nnaS（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和.1nbanb【答案】 （1） ；（2） .n3【解
12、析】试题分析：(1)由题意整理数列的递推公式可得 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式na为 .21na(2)对数列的通项公式裂项求和可得数列 的前 项和是 .nb32n试题解析：（1）由 ，可知 ，可得243nnaS2114nnaS，即1，由于 ，可得 ，21112nnnn0na12na又 ，解得 （舍去） ， ，所以 是首项为 3，公差为143aa32 的等差数列，通项公式为 .2n（2）由 可知 ，设数1na1112323nbann列 的前 项和为 ，则nbnT第 9 页 共 15 页.121113572323nn nTb n 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪
13、些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的18某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于 小时的社区服务才合格教育部80门在全市随机抽取 200 位学生参加社区服务的数据，按时间段 ， ，75,80,5，85,90， （单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示,1（）求抽取的 200 位学生中，参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于 90 小时的概率；（）从全市高中学生（人数很多）中任意选取 3 位学生，记 为 3 位学生中参加社区服务时间不少于 90 小
14、时的人数试求随机变量 的分布列和数学期望 E【答案】 （） （）2.56.5E0 1 2 3P7481【解析】试题分析：（）根据频率分布直方图中小长方形面积为频率，而频数为总数与频率之积. 因此参加社区服务时间在时间段 小时的学生人数为90,520.650（人） ，参加社区服务时间在时间段 小时的学生人数为1.2（人） 所以抽取的 200 位学生中，参加社区服务时间不少于 90小时的学生人数为 人概率估计为 （）随机变量 的可806028.5P第 10 页 共 15 页能取值为 由（）可知，概率为 因为 ，所0,1232.52(3)5B，以 随机变量 的分布列为65E0 1 2 3P74815
15、解：（）根据题意，参加社区服务时间在时间段 小时的学生人数为 20.650（人） ，90,参加社区服务时间在时间段 小时的学生人数为 2（人） 51所以抽取的 200 位学生中，参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数为 人8所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于 90 小时的概率估计为 5 分6028.5P（）由（）可知，从全市高中生中任意选取 1 人，其参加社区服务时间不少于 90小时的概率为 .5由已知得，随机变量 的可能取值为 0,23所以 ；03327()()15PC；145；2136()()2085PC随机变量 的分布列为0 1 2 3P7546581因为
16、，所以 13 分2(3)B， 2635E【考点】频率分布直方图19如图，四棱锥 ，侧面 是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直，PACDP底面 是 的菱形， 为棱 上的动点，且 .A60MC0,1PMC第 11 页 共 15 页（1）求证： ；BCP（2）试确定 的值，使得二面角 的平面角余弦值为 .ADM25【答案】 （1）见解析（2） 13【解析】试题分析：（1）通过证明 平面 ，得出 ，因为 ，POCAP/BCAD所以 ；（2）建立空间直角坐标系 ，写出各点坐标，由 BCPxyzMP，用 表示出 P 点坐标，求出平面 MAD 的法向量，根据二面角 的平面角 余弦值为 ，求出 的值。5试题
17、解析：(1)取 中点 ，连结 ，依题意可知 均为ADO,PCA,PADC正三角形，所以 ， ，又 ， 平面 ， COO平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，OP 因为 ，所以 ./BB(2) 由（1）可知， ，又平面 平面 ，平面 平面DB， 平面 ，所以 平面 .APAAC以 为原点，建立空间直角坐标系 如图所示，xyz则 ，0,3,1,0,3,0PADC，由 ，可得点 的坐标为C PM M，,所以 ，3,1,3,13AD第 12 页 共 15 页设平面 的法向量为 ，则 即MAD,nxyz0 nAMD330 xyz解得 ，令 ，得 ，显然平面 的一个法向量为1 0xy1,0nPAD.3
18、,OC依题意 ，22315cos,nOC得 或 （舍去）13当 时，二面角 的平面角余弦值为 .PADM2520已知椭圆 的两个焦点 ，动点 在椭圆上，且使21:(0)xyCab12,FP得 的点 恰有两个，动点 到焦点 的距离的最大值为 .0129FPP1 2（1）求椭圆 的方程；1（2）如图，以椭圆 的长轴为直径作圆 ，过直线 上的动点 作圆 的C2C2xT2C两条切线，设切点分别为 ，若直线 与椭圆 交于不同的两点 ，求,AB1,D的取值范围.ABCD【答案】 （1） （2）214xy1,2ABCD第 13 页 共 15 页【解析】试题分析：（1）由对称知识有 ， ，又 ，求出bc2a2
19、2abc，再写出椭圆方程；（2）写出圆 的方程，设出 点的坐24,abC,TABCD标，写出直线 AB 的方程，求出原点 到直线 的距离表达式，联立直线 AB 方程和OAB椭圆方程，求出 的表达式，利用单调性求出范围。ABCD试题解析;（1）214xy（2）圆 的方程为 ，设直线 上动点 的坐标为 ，设22 2xT2,t， ，则直线 的方程为 ，直线 的方程为1,Axy2,BxyAT14yB，又 在直线 和 上，即 ，故直线24,TtB12 xt的方程为 .AB24xty由原点 到直线 的距离 得 ，O28dt2248tABrd联立 ，消去 得 ，设 ， 24 1xtyx22168160tyt
20、3,Cxy，4,Dxy则 ，从而 ，3342286,161tyt28tm则 ，又设 ，3355ABmC11(0)8y所以 ，设 ，126yD326fy所以由 得 ，2780f 18所以 在 上单调递增，3156fyy,即 .,2ABCD点睛：本题主要考查直线与椭圆、圆位置关系等，属于中档题。在（2）中，采用设而第 14 页 共 15 页不求的方法，求出 的表达式，利用导数求出单调性，得出范围。ABCD21已知函数 .2lnafxxR（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；2ayf1,f（2）若 在 处取得最小值，求实数 的取值范围.gxfaxa【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）当
21、 时， ，利用导数几何意义，求出函2lnfx数在 处的切线斜率，再求出切线方程；（2）对函数 求导，令x gx，讨论 的单调性，对 分情况讨论，得出实数lnhgxahxa的取值范围.a试题解析：（1）当 时， ， ， 22lnfln12fxx，所以曲线 在点 处的切线方程为 .,1ffyx1,fy（2）由已知得 ，则 ，2lnagxlgxa记 ，则 ，hx0,h当 ， 时， ，函数 单调递增，0a,xx所以当 时， ，当 时， ，,1xg1,0g所以 在 处取得极小值，满足题意.g当 时， 时， ，函数 单调递增，01a0,xa0hxgx可得当 时， ， 时， 当，,xg1,a0所以 在 处取
22、得极小值，满足题意.g1当 时，当 时， ，函数 单调递增，a0,x0hxgx时， ， 在 内单调递减，,xhg1,所以当 时， ， 单调递减，不合题意.,xx当 时，即 ，当 时， ， 单调递减，1a01a,1a0hgx第 15 页 共 15 页，当 时， ， 单调递减， ，0gx1,0hxgx0gx所以 在 处取得极大值，不合题意.综上可知，实数 的取值范围为 .a1a点睛：本题主要考查了导数在研究函数单调性、最值上的应用，考的知识点有导数几何意义，导数的应用等，属于中档题。分类讨论时注意不重不漏。22选修 4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点为平面直角坐标系 的原点，极轴为 轴正
23、半轴，两种坐标系xOyx中的长度单位相同，曲线 的参数方程为 为参数） ，直线 过C12(cosinl点 ，且斜率为 ，射线 的极坐标方程为 .1,012M34（1）求曲线 和直线 的极坐标方程；l（2）已知射线 与圆 的交点为 ，与直线 的交点为 ，求线段 的长.OC,OPlQP【答案】 （1） ， （2）24sincos210in53【解析】试题分析：(1)将直角坐标方程化简极坐标方程可得曲线 和直线 的极坐标方程为Cl， ；24sincos210in(2)利用题意求得 ，故线段 的长为 .,3OPQPQ523试题解析：解：(1) 曲线 的普通方程为 ，将 代入C221xycos,xyin整理得 ，即曲线 的极坐标方程为 .直2cos0inC24i线 的方程为 ，所以极坐标方程为 .l1yxcos10in(2)当 时， ，343 222,43OPsinOQ故线段 的长为 .Q53
