1、页 1 第2018 届河南省郑州市第一中学高三上学期期中考试（理科）数学试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合 ， ， （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 得： ，则 ，故选 B.2. 我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（ ）A. 134 石 B. 169 石 C. 338 石 D. 1365 石【答案】B【解析】试题分析：设夹谷
2、石，则 ，所以 ，所以这批米内夹谷约为石，故选 B.考点：用样本的数据特征估计总体.3. 复数 ， ，若 是实数，则实数 的值为（ ）A. 0 B. C. 6 D. 【答案】C考点：复数的运算.4. 某程序框图如图所示，若输出的 ，则判断框内应填入（ ）页 2 第A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前 1 1/第一圈 2 4 是第二圈 3 11 是第三圈 4 26 是第四圈 5 57 否故退出循环的条件应为 k4考点：程序框图5. 已知命题 ：对任意 ，总有 ；命题 ：“ ”是“ ”的充分不必要条件，则下列命题为真命题
3、的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据指数函数的值域和图像，易知命题 是真命题， 是假命题；“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以 是假命题， 是真命题， 是真命题， 是假命题， 是假命题， 是假命题。故选 页 3 第6. 等差数列 的前 项和为 ，若公差 ， ，则当 取最大值时， 的值为（ ）A. 10 B. 9 C. 6 D. 5【答案】D【解析】试题分析：由 得， ，又因为 ，故当 时， 取最大值，故选 D.考点：等差数列的性质.7. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体的图象
4、如图所示，原几何体的图象为四棱锥 ，其底面为直角梯形 ， 平面 ， ， ，故其体积为，故选 C8. 设 满足约束条件 ，若目标函数 （其中 ， ）的最大值为3，则 的最大值为（ ）页 4 第A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由 得直线 过 时取最大值，即令 ，其中 ，则令 ，解得当 时， ，当 时，当 ， ，故选 A点睛：本题为线性规划与导数结合的综合题型。线性规划求得最优解部分，因为 ，所以直线的斜率是负的，因此得到 时最优解，求导时要注意定义域，再结合单调性求出最值.9. 已知函数 对定义域 内的任意 都有 ，且当 时其导函数 满足，若
5、 则（ ）A. B. C. D. 【答案】C页 5 第【解析】试题分析：函数 f（x）对定义域 R 内的任意 x 都有 f（x）=f（4-x） ，f （x）关于直线 x=2 对称；又当 x2 时其导函数 f（x）满足 xf（x）2f（x）f（ x） （x-2）0，当 x 2 时，f （x）0，f（ x）在（2，+）上的单调递增；同理可得，当 x2 时，f（x ）在（- ，2）单调递减；2 a4， ，2 4- 3，又 4 16，f（ ）=f（4- ） ，f（x）在（2，+）上的单调递增；f（ ） f（3）f（ ）考点：函数的单调性与导数的关系10. 在三棱锥 中， ， ， ，则三棱锥 的外接球的
6、表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】该三棱锥的图象如图所示，由 ， ， ，可得 ， ，易证 平面 .在 中，由余弦定理可得 ，即以 为 轴，以 为 轴建立如图所示的坐标系，则 ， ， ，设三棱锥 的外接球球心为 ，则解得：外接球的半径为外接球的表面积为 ，故选 C.11. 已知椭圆 的右焦点为 ， 是椭圆上页 6 第一点，点 ，当 的周长最大时， 的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由椭圆方程 得 ，设椭圆的左焦点为 ，则 的周长=，当且仅当三点共线时，且 在 的延长线上取等号 ，直线 的方程为 ，即由 得 的纵坐标为当 的周长最大时，该三角形的面积为
7、，故选 D.点睛：圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法，判别式法，重要不等式及函数的单调性法等.12. 已知函数 在 上的最大值为 ，最小值 ，则（ ）A. 2017 B. 2018 C. 4034 D. 4036【答案】D【解析】令 则 关于 中心对称页 7 第 在 关于 中心对称 ，故选 D点睛：本题主要考查在闭区间上的最值问题，在解函数最值时，常对所给函数性质进行探究，如定义域、奇偶性
8、、对称性以及单调性，本题构造了新函数 ，并证明出 关于 中心对称，故此题利用函数的对称性解题.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 二项式 展开式中 项的系数为_【答案】15【解析】根据二项式定理， 的通项 ，当 ，即 时，可得 项的系数为 15，故答案为 1514. 设 ，向量 ， ， ，且 ， ，则_【答案】【解析】由 得 ， ，由 得 ， ，所以 15. 若将函数 的图象向左平移 个单位长度，平移后的图象关于点 对称，则函数 在 上的最小值是_【答案】【解析】将函数 图象向左平移 个单位后，得到函数的解析式为：平移后的图象关于点 对称对
9、称中心在此函数图象上，即页 8 第 在 上的最小值是 ，故答案为点睛：解答本题的难点是先运用三角变换公式将函数的形式进行变形，进而依据中心对称图形的特点，借助坐标之间的关系建立方程求出 的值，再根据 ，解得 ，进而确认 的最小值.16. 数列 满足 ，若 为等比数列，则首项 的取值范围是_【答案】【解析】当 时， ， 与 为等比数列矛盾，故舍去当 时， ，即当 时， 为等比数列 ，即 （舍）页 9 第当 时， ，此时可得 为等比数列 ，故答案为点睛：本题主要考查了递推公式，等比数列的通项公式，以及分类讨论数列的通项公式，通过讨论，把递推公式转化为等比数列求解，然后求出 的取值范围.三、解答题
10、（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知 中，角 对边分别是 ， ，且 的外接圆半径为 .（1）求角 的大小；（2）求 面积的最大值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由正弦定理 将角化成边，再根据余弦定理即可求出角 ；（2）利用三角形面积公式、三角形内角和定理、两角和与差的正弦公式及二倍角公式得出三角形面积解析式，再根据角 的取值范围即可求出最大值 .试题解析：（1）由 得.又 ， ， .又 ， .（2） .当 ，即 时， .18. 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率
11、为 .现有 10 件产品，其中 6 件是一等品，4 件是二等品.（1）随机选取 1 件产品，求能够通过检测的概率；（2）随机选取 3 件产品，其中一等品的件数记为 ， 求 的分布列及数学期望页 10 第【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据题设可得通过检测的事件等于“取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”，再借助古典概型的计算公式求出其概率；（2）由题意可得 的可能取值为 0,1,2,3，再结合超几何分布公式，即可求得分布列，然后算出数学期望.试题解析：（1）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为事件 等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”（2
12、）由题可知 可能取值为 0,1,2,3.， ， .分布列：19. 如图，在六面体 中，平面 平面 ， 平面 ， ， .且， .（1）求证： 平面 ；（2）求锐二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析；（2） .页 11 第试题解析：（1）设 的中点为 ，连接 ， .易证：四边形 是平行四边形. ，且 .平面 平面 ， ， ， ，且 ，四边形 是平行四边形， .又 平面 ， 平面 ，故 平面 .（2）由题意可得， 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系.设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 .又平面 的法向量 . .由于所求的二面角为锐二面角，二面角 的余弦值为 .20. 设 ， 是椭圆 上
13、的两点，椭圆的离心率为 ，短轴长为 2，已知向量 ， ，且 ， 为坐标原点.（1）若直线 过椭圆的焦点 ， （ 为半焦距） ，求直线 的斜率 的值；（2）试问： 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.【答案】 （1） ；（2 ）见解析.页 12 第【解析】试题分析：（1）根据条件可得 ，再设直线 的方程为： ，与椭圆联立方程组，利用韦达定理和已知条件 ，即可求出 的值；（2）先考虑直线 斜率不存在的情况，即 ， ，根据 ，求得 和 的关系式， 代入椭圆的方程求得 点的横坐标和纵坐标的绝对值，进而求得AOB 的面积的值；当直线 斜率存在时，设出直线 的方程，与椭圆联立方程组
14、，利用韦达定理表示出 和 ，再利用 ，弦长公式及三角形面积公式求得答案.试题解析：（1）由题可得： ， ，所以，椭圆的方程为设 的方程为： ，代入 得： ， ， ， ，即： 即 ，解得：（2）直线 斜率不存在时，即 ， ，即又 点在椭圆上 ，即 ， ，故 的面积为定值 1当直线 斜率存在时，设 的方程为 ，联立 得： ， ， 所以三角形的面积为定值 1.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的定值问题，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的设而不求，整体代换的方法；探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个这个值与变量无关；直接推理、
15、计算，借助韦达定理，结合向量页 13 第所提供的坐标关系，然后经过计算推理过程中消去变量，从而得到定值.21. 已知函数 .（1）求函数 的单调区间；（2）若 恒成立，试确定实数 的取值范围；（3）证明： .【答案】 （1）见解析；（2） ；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）对函数 求导得 ，对 进行分类讨论，即可得到函数的单调区间；（2）由（1）可得， 时， 在 上是增函数 ，而 ， 不成立，故 ，由（1）可得 ，即可求出 的取值范围；（3）由（2）知，当 时，有 在恒成立，即 ，进而换元可得 ，所以 ，即可得证.试题解析：（1）定义域为 ，若 ， ， 在 上单调递增若 ， ，所以，当
16、时， ，当 时，综上：若 ， 在 上单调递增；若 ， 在 上单调递增，在 上单调递减（2）由（1）知， 时， 不可能成立；若 ， 恒成立 ， ，得综上， .（3）由（2）知，当 时，有 在 上恒成立，即令 ，得 ，即，得证.点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分页
17、 14 第22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线的参数方程为 （为参数） ，在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，圆 的方程为 .（1）求圆 的直角坐标方程；（2）设圆 与直线交于点 ，若点 的坐标为 ，求 的最小值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）根据 将圆 的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）由直线参数方程得 ，所以将直线参数方程代入圆直角坐标方程得 t2+2(cos-sin)t-7=0，利用韦达定理化简得，最后根据三角函数有界性求最小值.试题解析：（1）由 =6sin 得 2=6sin，化为直角坐
18、标方程为 x2+y2=6y，即 x2+(y-3)2=9（2）将的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 t2+2(cos-sin)t-7=0 由=4(cos-sin) 2+470，故可设 t1，t 2是上述方程的两根，所以又由直线过点(1,2)，故，结合参数的几何意义得，当时取等所以|PA|+|PB|的最小值为 23. 选修 4-5：不等式选讲已知不等式 .（1）若 ，求不等式的解集；（2）若已知不等式的解集不是空集，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）结合函数的解析式，由零点分段法进行分类讨论，即可得到不等式的解集；（2）化简函数的解析式，作出函数的图象，通过图象即可求出 的取值范围.试题解析：（1）当 时，不等式即为 ，若 ，则 ， ，舍去；若 ，则 ， ；页 15 第若 ，则 ， .综上，不等式的解集为（2）设 ，则 作出函数 的图象，如图所示.由图象可知， ， ， ，即 的取值范围为 .
