1、1 页2018届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高三上学期期中联考(理)数学试题（解析版）第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集是实数集 都是的子集（如图所示） ，则阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意 ， 由图知阴影部分所表示的集合为故选 B【点睛】本题考查 Venn图表达集合的关系及运算，解题的关键是根据图象得出 再由集合的运算求出阴影部分所表示的集合2. 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是 （ ）A. B. C. D. 【答案
2、】A【解析】试题分析：由于 ， ，因此 都是偶函数， ， 都是偶函数，而当 时， 是增函数，故选 A考点：函数的奇偶性与单调性3. 已知 ，则 的大小关系是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C2 页【解析】 由指数函数的单调性可知 又由对数的运算可知，故选 C4. 设角 为锐角 的三个内角，则点 在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第三象限【答案】D【解析】 因此点 在第四象限，选 D.5. 已知是边长为 4的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图建立坐标系， ，设 ，则 ，最小值为 ，故选 B。点睛：已
3、知图形的向量问题采用坐标法，可以将几何问题转化为计算问题，数形结合的思想应用。坐标法后得到函数关系，求函数的最小值。向量问题的坐标化，是解决向量问题的常用方法。3 页6. 吴敬九章算法比类大全中描述：远望魏巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？ （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设塔顶 盏灯，则 ，解得 故选 C7. 如图曲线 和直线 所围成的图形（阴影部分）的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：令 ，所以面积为 .8. 如果对于任意实数 表示不超过 的最大整数，那么 “ ”是“ 成立”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分
4、条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A故“ ”是“|x-y|1”成立的充分不必要条件故选 A 9. 将函数 图象上的点 向右平移 个单位长度得到点 ，若 位于函数的图象上，则（ ）4 页A. ，的最小值为 B. ，的最小值为C. ，的最小值为 D. ，的最小值为【答案】A【解析】由题意得 由题意得所以 ，因此当时，的最小值为 ，选 A.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言.10. 已知点 ，点 在曲线 上，若线段 与曲线 相交且交点恰为线段 的中点，则称为
5、曲线 关于曲线 的一个关联点，那么曲线 关于曲线 的关联点的个数为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：设 则 的中点为 所以有 ，因此关联点的个数就为方程 解得个数，由于函数 在区间上 分别单调增及单调减，所以只有一个交点，选.考点：函数图像11. 如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则表上数字标签：原点处标 0点 处标 1，点 处标 2，点 处标 3，点 处标 4，点 点标 5，点 处标 6，点处标 7，以此类推，则标签 的格点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得 ，5 页选 A.12. 函数 与 的图象关于直线
6、对称， 分别是函数 图象上的动点，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得当 P 点处切线平行直线 ，Q 为 P关于直线 对称点时， 取最小值.， 的最小值为 ，选 D.点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 已知 ，则 _【答案】【解析】由 得 点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把
7、非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.14. 对于任意两集合 ，定义 且 ，记 ，则 _【答案】15. 若6 页表示不超过 的最大整数（如： 等等） ，则 _【答案】【解析】 所以 ，因此 201716. 方程 的实数解的个数为 _【答案】【解析】由题意得方程左边为正数，所以 当且仅当 时取等号，因此实数解的个数为 1个点睛：在
8、利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 所对应的边分别为 ，且 .（1）求角 和角 的大小；（2）若 ，将函数 的图象向右平移 个单位后又向上平移了 个单位，得到函数的图象，求函数 的解析式及单调递减区间.【答案】 （1） ；（2） ， .【解析】试题分析：（1）由余弦定理得 ，解得角 ，将 化为角 B关系式，可得角 B.（
9、2）先求角 C，再根据图像变换得 关系式，最后根据余弦函数性质求单调减区间试题解析：（1） 中，因为 ，所以 ，所以 ，7 页因为 ，所以 ，所以 ，即 ，即 ，所以 ，综上可得 .（2）因为 ，所以 ，所以 ，令 ，故函数 的单调递减区间为 .18. 已知数列 满足 ，其中 为 的前 项和 .（1）求 及数列 的通项公式；（2）若数列 满足 ，且 的前 项和为 ，求 的最大值和最小值.【答案】 （1） ， ；（2） 时 ， 时 .【解析】试题分析：（1）根据条件求 ，即得 ，根据和项与通项关系将条件转化为和项递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式可得数列 的通项公式；（2） 是一个等比数列
10、，根据等比数列求和公式可得 ，根据奇偶项分类讨论 的最大值和最小值 .试题解析：（1）数列 满足 ，则 ，即数列 为以 1为首项，以 为公比的等比数列，所以 ，所以 .（2）在数列 中， ，为 的前 项和，则 ，8 页显然 时 ， 时 .点睛：给出 与 的递推关系求 ，常用思路是：一是利用 转化为 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 的递推关系，先求出 与 之间的关系，再求 . 应用关系式 时，一定要注意分 两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.19. 如图，五面体 中， 平面 为直角梯形，.（1）若 为 的中点，求证： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值.【答案】 （1）详
11、见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）取 的中点 ，由三角形中位线性质得 且 ，再由平行四边形性质得 ,最后根据线面平行判定定理得结论（2）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，根据向量数量积求两法向量夹角，最后根据二面角与两法向量夹角关系求结果试题解析：（1）证明：取 的中点 ，连接 ，因为 分别是 的中点，所以 且 ，因为 ，所以 且 ，所以 ,又 平面 平面 ，所以 平面 .（2）以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴和 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 ，9 页则 ，,设平面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，得 ，同理可求平面 的一个法向量为 ，平面 和
12、平面 为同一个平面，所以二面角 的余弦值为 .点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20. 如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的焦距为 2，且过点 .（1）求椭圆 的方程；（2）若点 分别是椭圆 的左右顶点，直线经过点 且垂直与轴，点 是椭圆上异于 的任意一点，直线交于点 .设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证： 为定值；设过点 垂直于 的直线为 ，求证：直线 过定点，并求出定点的坐标.【答案】 （1） ；（2 ）
13、， .【解析】试题分析：（1）根据条件列方程组 ，解得 ， （2）设 ，则可10 页由直线交点得 ，再根据斜率公式化简 ，最后利用点 P在椭圆上得定值；先探求定点为，再根据点斜式写出直线 方程，最后令 y=0解得 x=-1.试题解析：（1）由题意椭圆 的焦距为 2，且过点 ，所以 ，解得 ，所以椭圆 的标准方程为 .（2）设 ，则直线 的方程为 ，令 得 ，因为 ，因为 ，所以 ，因为 在椭圆上，所以 ，所以 为定值，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，所以直线 过定点 .点睛：1.求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、
14、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为 ，然后利用条件建立 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关21. 已知函数 .（1）若函数 与 在 处有相同的切 线，求 的值；11 页（2）若函数 在定义域内不单调，求 的取值范围.（3）若 ，恒有 成立，求实数 的最大值 .【答案】 （1） ；（2） ， ；（3）2.【解析】试题分析：（1）分别求函数导数，再根据导数几何意义得切线斜率 ，再根据解出 ，n 的值；（2）即导函数变号，求出导函数得 在 内有至少一个实根且变号，结
15、合二次函数图像可得判别式大于零，即 ，最后根据基本不等式求最值（3）先根据绝对值定义去掉绝对值，当 时 ；当 时， ，转化为恒成立问题，再利用参变分离法将其转化为对应函数最值问题，最后根据导数求对应函数最值得实数 的取值范围，进而得最大值.试题解析：（1）函数 在 处的切线方程为 ，由 得 ，由 得 ；（2） ，因为 在定义域内不单调，所以 在 内有至少一个实根且曲线与不相切，因为 ，于是 ，所以 知 ，所以 ，（3）当 时，由 得 ，当 时 ；当 时， ，令 ，则问题转化为：当 时， 恒成立，当 时， 恒成立，而 ，当 时，函数 是单调函数，最小值为 ，为使 恒成立，注意到 ，所以 ，即 ，
16、同理，当 时， ，综上，当 ，即 的最大值为 2.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.12 页请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数） ，以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）求曲线 和 公共弦的长度.【答案】 （1） ， ；（2） .【
17、解析】试题分析：(1)利用曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，消去参数 即可得普通方程，曲线 的极坐标方程为 ，即 ，利用公式求得普通方程；(2) 利用两圆相减求得公共弦方程，利用圆心 到公共弦所在的直线的距离求得曲线 和 公共弦的长度试题解析：（1）曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，消去参数 可得普通方程：，即 曲线 的极坐标方程为 ，即 ，可得直角坐标方程： ，配方得 （2） 与 相减可得公共弦所在的直线方程 圆心 到公共弦所在的直线的距离 ，公共弦长 考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标的方程互化；3、点到直线距离公式；4、弦长公式.23. 设函数 . （1）求的最小值及取得最小值时 的取值范围；（2）若集合 ，求实数的取值范围.【答案】 （1） ，此时 ；（2） .【解析】试题分析：（1）根据绝对值三角不等式得 ，再根据等号取值条件得 的取值范围（2）由（1）可得 对 恒成立，再根据一次函数单调性可得限制条件，解对应不等式可得实数13 页的取值范围.试题解析：（1） ，所以 ，此时 .（2）由题意得 对 恒成立，即 ，的范围为 .14 页
