1、第 1 页 共 15 页2018 届河南省郑州市第一中学高三上学期入学考试数学（文）试题一、选择题1 已知集合 ， ，则 （ ）|6AxN230BxRxABA. B. C. D. 3,456|34,56|36x或【答案】C【解析】由题意，得 ，则 ；0,12,30x或 45， ，故选 C.2已知 （ ） ，其中 为虚数单位，则 （ ）aibi,aRiabA. -3 B. -2 C. -1 D. 1【答案】A【解析】因为 （ ） ，所以 ，则 ；ii2i,b1,23ab故选 A.3每年三月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生 3 人，女生 2 人，现需选出 2 名青年志愿者到社区做公益宣传活动，
2、则选出的 2 名志愿者性别相同的概率为（ ）A. B. C. D. 521530【答案】B【解析】设男生为 ，女生为 ，从 5 人中选出 2 名志愿者有： ,ABC,ab，共 10 种不,),AaBCab（同情况，其中选出的 2 名志愿者性别相同的有 ，共 4 种),ABa（不同情况，则选出的 2 名志愿者性别相同的概率为 ；故选 B.42105P4中国古代数学著作算法统宗 中有这样一个问题： “三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了
3、6 天后到达目的地，请问第二天走了（ ）A. 96 里 B. 48 里 C. 192 里 D. 24 里【答案】B【解析】记每天走的路程里数为 ，易知 是公比 的等比数列，由题意知nan12，故选 A.166 122378,9,96aS第 2 页 共 15 页5已知抛物线 与双曲线 （ ）的一个交点为 为抛物线28xy21xa0,MF的焦点，若 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）5MFA. B. C. D. 530xy30xy450xy540xy【答案】B【解析】设抛物线 与双曲线 的一个交点为 ，因2821()a0,M为抛物线 的焦点为 ，且 ，所以2xy0,F5M，解得 ，则该双曲线的渐近线
4、220005,8,1yxa2033,4,yxa方程为 ，即 ；故选 B. 3xy5点睛：在处理抛物线上的点到焦点的距离时，要注意利用抛物线的定义将抛物线上点到焦点的距离和到准线的距离进行互化；已知双曲线方程求渐近线方程，学生往往记不清渐近线方程的形式，记住以下结论即可，双曲线 的渐21(0,)xyab近线方程为 .20xyab6如下程序框图的算法思路源于数学名著几何原本 中的“辗转相除法” ，执行该程序框图（图中“ ”表示 除以 的余数） ，若输入的 分别为mMODnn,mn495，135，则输出的 （ ）第 3 页 共 15 页A. 0 B. 5 C. 45 D. 90【答案】C【解析】试题
5、分析： ,故选4951390,514,905245mC.【考点】1、程序框图；2、辗转相除法.7 的外接圆的圆心为 ，半径为 1， ，且 ，则ABO2AOBCAB向量 在向量 方向上的投影为（ ）CA. B. C. D. 123123【答案】D【解析】因为 ，所以 ，即 ，AOBC0ABOCAOBC即外接圆的圆心 为 的中点，则 是以 为斜边的直角三角形，又因为，所以 ，则向量 在向量 方向上的投影1,36为 ；故选 D.3cos62CA8已知 且满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）*,xyN12 5xyxyA. 1 B. 4 C. 6 D. 7【答案】C第 4 页 共 15 页【解析】作出不
6、等式组 所表示的平面区域（如图所示，不含边界） ，其中125xy整数点为 ，所以 的最小值为 6；故选 C.3,4,， ， xy9定义运算： ，将函数 （ ）的13|a241423a3|1fxsinxco0图象向左平移 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则 的最小值是（ ）A. B. C. D. 14574【答案】B【解析】函数 （ ），3|1fxsinxco3csin2cos6xx0的图象向左平移 个单位，所得图象对应的函数为fx2；又函数 为偶函数，22coscos3636y x（ ） （ ） y， ，解得 ， ；当 时， 取得最小值36kZ14kZ1k是 ，故选 B.5410设曲线 （
7、 ）上任一点 处切线斜率为 ，则21cosfxmxR,xygx函数 的部分图象要以为（ ）2ygA. B. C. 第 5 页 共 15 页D. 【答案】D【解析】因为 ，所以 ，则21cosfxmx21singmx，易知 为奇函数，其图象关于原点对称，2inFxygF故排除选项 B、C，又因为 ，故排除选项 A；故选20, 04FD.点睛：已知函数的表达式判定图象的形状时，往往从以下几方面考虑：定义域、值域或最值、对称性或奇偶性、单调性、特殊自变量所对应的函数值.11某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工
8、件材料的利用率为（ ） （ ）新 工 件 的 体 积材 料 利 用 率 原 工 件 的 体 积A. B. C. D. 89163421321【答案】A【解析】试题分析：分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体体的长，宽，高分别为 ， ， ，长方体上底面截圆锥的截面半径为 ，则 ，如下图所示，圆锥的轴截面如图所示，则可知，而长方体的体积第 6 页 共 15 页，当且仅当 ， 时，等号成立，32167a此时利用率为 ，故选 A.【考点】1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较难题，需要考生从
9、实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量，或利用导数或利用基本不等式，求其最值.12设函数 ，若关于 的方程 有四个不同的21,0 logxfxfa解 ，且 ，则 的取值范围是（ ）1234,x1234xx12434xA. B. C. D. ,【答案】D【解析】作出函数 和 的图象（如图所示） ，若关于 的方程fxtax有四个不同的解 且 ，则fxa1234,x1234x且 ，即 ，且1223244,loglxa012341,x，则 在区间 上单调递增，
10、则 ，4x12443x,443x即 的取值范围为 ；故选 D.12434,第 7 页 共 15 页点睛：在处理函数的零点个数问题时，往往转化为判定两个函数的图象交点个数问题，一般利用数形结合思想进行处理；本题的难点在于判定四个解的关系及 的取值范4x围.二、填空题13已知 是等差数列 的前 项和，若 ，则数列 的公差为nSna5410Sana_【答案】2【解析】设等差数列的首项为 ，公差为 ，因为 ，所以1d54，解得 ，即数列 的公差为 2.115030ad2na14已知 三点都在体积为 的球 的表面上，若 ， ,ABC53O3AB，则球心 到平面 的距离为_ 06OABC【答案】3【解析】
11、设球 的半径为 ， 平面 ，垂足为 ，因为球 的体积为RHHO，所以 ，解得 ；因为 ，所以 ，5345560AB120AB又因为 ，所以 ，则球心 到平面 的距离为AB4BOC.2543OH15已知曲线 在点 处的切线为 ，若 与曲线lnyx1,l相切，则 _2yaxa【答案】8【解析】试题分析：函数 在 处的导数为 ，所以切lnyx1,11|2xxy线方程为 ；曲线 的导函数的为 ，2ax因 与该曲线相切，可令 ，当 时，曲线第 8 页 共 15 页为直线，与直线 平行，不符合题意；当 时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得 .【考点】导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切
12、线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数16已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆上一点12,F21xyab(0)aP（异于左、右顶点） ，过点 作 的角平分线交 轴于点 ，若P12FxM，则该椭圆的离心率为_212PM【答案】【解析】不妨设 ，则 ，因为0,b21,PMObPFbca，所以 ，则该椭圆的离心率为212|PMF2a.2cae点睛：本解法的技巧在
13、于，寻找符合题意的特殊点，大大降低了思维量和运算量，也是解决选择题或填空题常用的方法.三、解答题17在 中，角 的对边分别为 ，且满足ABC, ,abc.cos2cosba（1）求角 的大小；（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.4AB3ABC【答案】 （1） ;（2） 345【解析】试题分析：（1）先利用诱导公式和正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公式进行求解；（2）利用余弦定理和面积公式进行求解.试题解析：（1） ，coscosbAaB ，cosbAaB第 9 页 共 15 页由正弦定理可得： ，sinco2sincosBACAB .sin2A又角 为 内角， ，Csi0
14、1cs2又 ，0,B3（2）有 ，得1sin2ACSacB4ac又 ， ，216b25所以 的周长为 4518已知某中学高三文科班学生共有 800 人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取 100 人进行成绩抽样调查，先将 800 人按001，002，800 进行编号（1）如果从第 8 行第 7 列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的 3 个人的编号；（下面摘取了第 7 行到第 9 行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95
15、 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54（2）抽取的 100 人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有 .201842若在该样本中，数学成绩优秀率是 30%，求 的值：,ab数学人数优秀 良好 及格优秀 7 20 5良好 9 18 6地理及格 a4 b在地理成绩及格的学生中，已知 ，
16、，求数学成绩优秀的人数比及格的17b人数少的概率.【答案】 （1）785，667，199; （2）【解析】试题分析：（1）从第 8 行第 7 列的数开始向右读，最先检查的编号为：785，916，955，667，199，去除大于 800 的编号，可得最先检查的 3 个人的编号；（2）根据数学成绩优秀率是 ，构造关于 的方程，解方程可得 值，进而根30%aa据抽取样本容量为 100，可得 值；求出满足 ， 的基本事件总数及满b17b足数学成绩优秀的人数比及格的人数少的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，第 10 页 共 15 页可得答案.试题解析：（1）785，667，199.（2） ， ；
17、.7930%a14a0321845617b .25986b因为 ， ，所以 的搭配：1a7,， ， ， ， ， ， ， ,20,134,175,61,57,14， ， ， ， ， ， ，共有83920,02938214 种.设 ， 时，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件 ， .1a7b A5ab事件 包括： ， ，共 2 个基本事件；A,1,9，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为 .24P 214719如图，在四棱锥 中， ， ， PABCDPACDB/ADC， 平面 .ADC（1）求证： 平面 ；BCPA（2）若 为线段 的中点，且过 三点的平面与线段 交于点 ，确定M,CDMPB
18、N点 的位置，说明理由；并求三棱锥 的高.NN【答案】 （1）详见解析（2） 2【解析】试题分析：（1）先分别利用勾股定理和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明；（2）利用三角形的中位线证明线线平行，进而通过四点共面确定点 的位置，再利用等体积法进行求解.试题解析：（1）连接 ，在直角梯形 中， ，ACABCD22ADC，所以 ，即 .22BCD2B又 平面 ， ，又 ，故 平面 .PPPP（2） 为 的中点，N因为 为 的中点， 为 的中点，所以 ，且 .MANB/MNA12A第 11 页 共 15 页又 ， ，所以 四点共面，/ABCD/MN,NCD所以点 为过 三
19、点的平面与线段 的交点., PB因为 平面 ， 为 的中点，所以 到平面 的距离PNPAC.12d又 ，所以 .12ACMAPSC1233NACMV由题意可知，在直角三角形 中， ， ，2P在直角三角形 中， ， ，所以B2B.2CMNS设三棱锥 的高为 ， ，解得： Ah123NACMNVh，h故三棱锥 的高为 .CN220已知圆 关于直线 对称的圆为 .21:60xy1:2lyxC（1）求圆 的方程；（2）过点 作直线 与圆 交于 两点， 是坐标原点，是否存在这样的直,0l,ABO线 ，使得在平行四边形 中 ？若存在，求出所有满足条件的直lOS线 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】 （
20、1） （2）存在直线 和29xy1xyx【解析】试题分析：（1）将圆的一般方程转化为标准方程，将圆关于直线对称问题转化为点关于直线对称问题，进而求出圆的方程；（2）先由条件判定四边形 为矩OASB形，将问题转化为判定两直线垂直，利用平面向量是数量积为 0 进行求解.试题解析：（1）圆 化为标准为 ，1C239xy设圆 的圆心 关于直线 的对称点为 ，则 ，3,01:l ,Cab1Clk且 的中点 在直线 上，1,2abM1:2lyx所以有 ，3102ba第 12 页 共 15 页解得： ，12ab所以圆 的方程为 .C229xy（2）由 ，所以四边形 为矩形，所以 .OSABOASBOAB要使
21、 ，必须使 ，即： .0120xy当直线 的斜率不存在时，可得直线 的方程为 ，与圆l l22:19Cxy交于两点 ， .,5A1,52B因为 ，所以 ，所以当直线 的 0OB OABl斜率不存在时，直线 满足条件.:lx当直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为 .l l1ykx设 12,Axy由 得： .由于点)2)(9k2221440kxkxk在圆 内部，所以 恒成立，1,0C0，22221,24414kkkx， ，212k21kx要使 ，必须使 ，即 ，OAB0AOB120xy也就是： 221241kkx整理得： 22240k解得： ，所以直线 的方程为1kl1yx存在直线 和 ，它们与
22、圆 交 两点，且四边形 对角线相等.x1yxC,ABOASB点睛：在处理平面解析几何时，往往先设出直线方程，但要注意直线的斜率是否存在，如本题中当斜率不存在时也符合题意.第 13 页 共 15 页21已知函数 .2ln1fxax（1）讨论函数 的单调性；（2）当 时，证明：对任意的 ，有 .a0,x2ln11xfa【答案】 （1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）求导，通过讨论导函数的零点的大小确定导函数的符号，进而确定函数的单调性；（2）将问题合理等价转化为证明不等式恒成立问题，再转化为求函数的最值问题，证明 即可.maxinFg试题解析：（1）由题意知： 211(0)xf当 时
23、，由 ，得 且 ，a0fx 2a98a， ，1984ax21984当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；fx0,1,当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；1a22x当 时， 在 上单调递增；98fx,当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递20x1,21,x减.（2）当 时，要证： 在 上恒成立，1a 2lnfa0,只需证： 在 上恒成立，lnl1xa0,令 ， ，Fxlg因为 ，1易得 在 上递增，在 上递减，故 ，x0,1,1Fx由 得lnga22ln(0)xg当 时， ；当 时， xexeg所以 在 上递减，在 上递增0, ,所以 1egxa又 ， ，即 ，1amaxinFg第
24、 14 页 共 15 页所以 在 上恒成立，lnl1xa0,故当 时，对任意的 ， 恒成立.1aln1xfa22选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为xOyC1 costyin极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. .（1）求圆 的极坐标方程；（2）直线 的极坐标方程是 ，曲线 的极坐标方程为 ，l2sin241C0其中 满足 ，曲线 与圆 的交点为 ，与直线 的交点为 ，求线00tan1C,OPlQ段 的长.PQ【答案】 （1） （2）cos451【解析】试题分析：（1）利用互化公式 ， 进行求解；（2）联cosxsiny立两极坐标方
25、程，利用 的几何意义进行求解.试题解析：（1）圆 的普通方程为 ，又 ， ，C21coxsiny所以圆 的极坐标方程为 ；cos（2）设 为点 的极坐标，则有 解得1,P112costan125tan设 为点 的极坐标， 解得2,Q224sicosit253tan由于 ，所以 ，所以线段 的长为 .121245PQPQ45123选修 4-5：不等式选讲已知函数 .fx（1）求不等式 的解集；12（2）若函数 的最小值为 ，且 （ ） ，gxffxamna0,n第 15 页 共 15 页求 的最小值.41mn【答案】 （1） （2）最小值为0,392【解析】试题分析：（1）利用零点分段讨论法进行求解；（2）先利用三角绝对值不等式求最值，再利用基本不等式进行求解.试题解析：（1） 1fx3,12,xx当 时， ，得 ，即 ；1x32x3当 时， ，得 ，即 ；0x12x当 时， ，得 ，即 .2xx12综上，不等式的解集为 .0,3（2）由条件得： ，212132gxxx当且仅当 时，其最小值 ，即 .1,amn又 ，441414955222mn n所以 的最小值为 ，当且仅当 时等号成立.19,3n
