1、2015-2016 学年山西省临汾市曲沃中学高三（上）12 月段考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）1设集合 A=a，b，集合 B=a+1，5 ，若 AB=2，则 AB 等于（ ）A1 ，2 B1，5 C2，5 D1，2，52在复平面内，复数 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知命题 p：|x1|2，命题 q：x Z；如果“p 且 q”与“非 q”同时为假命题，则满足条件的x 为（ ）Ax |x3 或x|x 1，x Z Bx| 1x3，x ZC 1，0，1，2，3 D0，1，24已知向量 ，若 垂直，则 m 的值为（
2、 ）A1 B1 C D5已知 cos= ，（0， ） ，则 cos（ +2）的值为（ ）A B C D6在等比数列a n中，a 5a11=3，a 3+a13=4，则 =（ ）A3 B C3 或 D 3 或7如果实数 x、y 满足条件 ，那么 2xy 的最大值为（ ）A2 B1 C2 D 38一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A3 B C2 D9用一平面去截体积为 的球，所得截面的面积为 ，则球心到截面的距离为（ ）A2 B C D110抛物线 x2=4y 的准线方程是（ ）Ax=1 Bx= 1 Cy=1 Dy=111已知双曲线 =1（a0，b0）的离心率为 ，
3、则此双曲线的渐近线方程为（ ）Ay= 2x B C D12已知 M 是曲线 上的任一点，若曲线在 M 点处的切线的倾斜角均不小于 的锐角，则实数 a 的取值范围是（ ）A2 ，+） B4，+ ） C （ ，2 D （，4二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13方程 4x+2x2=0 的解是 14曲线 y=x2 与直线 y=x 所围成图形的面积为 15在 RtABC 中，若C=90 ，AC=b，BC=a，则 ABC 外接圆半径 运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a，b ，c，则其外接球的半径 R= 16已知函数 f（x ）=sinx+5x ，x （
4、 1，1） ，如果 f（1a）+f（1a 2）0，则 a 的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17已知数列a n的前 n 项和 Sn=n2+2n（）求数列a n的通项公式；（）若等比数列b n满足 b2=S1，b 4=a2+a3，求数列 bn的前 n 项和 Tn18在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B ，C 的对边， ， （1）求ABC 的面积；（2）若 a=7，求角 C19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD，且 PA=AD，点 F 是棱PD 的中点，点 E 在棱 CD 上移动（）当点 E 为 CD 的中点时，试判断直线
5、EF 与平面 PAC 的关系，并说明理由；（）求证：PEAF20已知函数 f（x ）=x 3+x16，（1）求曲线 y=f（x）在点（2，6）处的切线的方程（2）如果曲线 y=f（x）的某一切线与直线 y= x+3 垂直，求切点坐标与切线的方程21为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的 500 名志愿者中随机抽样 100 名志原者的年龄情况如下表所示（）频率分布表中的、位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）再根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在30，35）岁的人数；分组（单位：岁）频数 频率20，25 5 0.0525，30 0.
6、2030，35 35 35，40 30 0.3040，45 10 0.10合计 100 1.00（）在抽出的 100 名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加中心广场的宣传活动，从这 20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人，记这 2 名志愿者中“年龄低于 30 岁”的人数为X，求 X 的分布列及数学期望22已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 ，两个焦点分别为 F1 和F2，椭圆 G 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12圆 Ck：x 2+y2+2kx4y21=0（k R）的圆心为点Ak（1）求椭圆 G 的方程（2）求A kF1F2 的面积（3）问是否
7、存在圆 Ck 包围椭圆 G？请说明理由2015-2016 学年山西省临汾市曲沃中学高三（上）12 月段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）1设集合 A=a，b，集合 B=a+1，5 ，若 AB=2，则 AB 等于（ ）A1 ，2 B1，5 C2，5 D1，2，5【考点】子集与交集、并集运算的转换【分析】通过 AB=2，求出 a 的值，然后求出 b 的值，再求 AB【解答】解：由题意 AB= 2，所以 a=1，b=2，集合 A=1，2，A B=1，22，5=1，2，5故选 D2在复平面内，复数 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限
8、 C第三象限 D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【分析】利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位 i 的幂运算性质，求得复数为 ，它在复平面内对应的点的坐标为（ ， ） ，从而得出结论【解答】解：复数 = = ，它在复平面内对应的点的坐标为（ ， ） ，故选 D3已知命题 p：|x1|2，命题 q：x Z；如果“p 且 q”与“非 q”同时为假命题，则满足条件的x 为（ ）Ax |x3 或x|x 1，x Z Bx| 1x3，x ZC 1，0，1，2，3 D0，1，2【考点】复合命题的真假【分析】由题设条件先求出命题 P：x 4 或 x0由 “p 且 q”与“q”同时为假命
9、题知0x 4，x Z由此能得到满足条件的 x 的集合【解答】解：由命题 p：|x 1|2，得到命题 P：x12 或 x12，即命题 P：x3 或 x1；q 为假命题，命题 q：x Z 为真翕题再由“p 且 q”为假命题，知命题 P：x4 或 x0 是假命题故1 x3，xZ满足条件的 x 的值为： 0，1 ，2故选 D4已知向量 ，若 垂直，则 m 的值为（ ）A1 B1 C D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】根据向量坐标运算的公式，求出向量 的坐标再利用向量 与 互相垂直，得到它们的数量积等于 0，利用两个向量数量积的坐标表达式列方程，可求解 m 的值【解答】解向量 =（14，
10、3 +2m）=（3，3+2m）又向量 与 互相垂直， （ ）=1（3）+3（3+2m）=03 +9+6m=0m=1故选 B5已知 cos= ，（0， ） ，则 cos（ +2）的值为（ ）A B C D【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sin，进而利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解【解答】解：cos= ，（0，） ，sin= = ，cos（ +2）=sin2=2sincos= 故选：C6在等比数列a n中，a 5a11=3，a 3+a13=4，则 =（ ）A3 B C3 或 D 3 或【考点】等比数列的性质【分析】由已知中等比数
11、列a n中，a 5a11=3，a 3+a13=4，根据等比数列的性质我们易得到a3=1，a 13=3，或 a3=3，a 13=1，分别求出对应的公比 q 满足的条件，即可得到 的值【解答】解：在等比数列a n中，a 5a11=a3a13=3，a 3+a13=4，则 a3=1，a 13=3，或 a3=3，a 13=1当 a3=1，a 13=3 时，q 10=3， =q10=3，当 a3=3，a 13=1 时，q 10= ， =q10=故选：C7如果实数 x、y 满足条件 ，那么 2xy 的最大值为（ ）A2 B1 C2 D 3【考点】简单线性规划的应用【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何
12、意义求最值，z=2xy 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线 2xy=t 过点 A（0，1）时，t 最大是 1，故选 B8一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A3 B C2 D【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据已知中三视图及其标识的相关几何量，我们易判断这是一个直三棱柱，且底面为直角边长分别等于 1 和 的直角三角形，高为 ，代入棱柱体积公式即可得到答案【解答】解：由三视图得空间几何体为倒放着的直三棱柱，底面为直角三角形，两直角边长分别等于 1 和 ，棱柱高等于 ，故几何体的
13、体积 V= 1 = 故选：D9用一平面去截体积为 的球，所得截面的面积为 ，则球心到截面的距离为（ ）A2 B C D1【考点】球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算；平面与圆柱面的截线【分析】先求球的半径，再求截面圆的半径，然后求出球心到截面的距离【解答】解：球的体积 ，则球的半径是 ，截面的面积为 ，则截面圆的半径是 1，所以球心到截面的距离为故选 C10抛物线 x2=4y 的准线方程是（ ）Ax=1 Bx= 1 Cy=1 Dy=1【考点】抛物线的简单性质【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在 y 轴上以及 2p=4，再直接代入即可求出其准线方程【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x
14、2=4y，焦点在 y 轴上；所以：2p=4，即 p=2，所以： =1，准线方程 y=1，故选 D11已知双曲线 =1（a0，b0）的离心率为 ，则此双曲线的渐近线方程为（ ）Ay= 2x B C D【考点】双曲线的简单性质【分析】由离心率的值，可设 ，则得 ，可得 的值，进而得到渐近线方程【解答】解： ，故可设 ，则得 ，渐近线方程为 ，故选 C12已知 M 是曲线 上的任一点，若曲线在 M 点处的切线的倾斜角均不小于 的锐角，则实数 a 的取值范围是（ ）A2 ，+） B4，+ ） C （ ，2 D （，4【考点】直线的倾斜角；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由已知中 M 是曲线 上的
15、任一点，曲线在 M 点处的切线的倾斜角均不小于 的锐角，则曲线在 M 点处的切线的不小于 1，即曲线在 M 点处的导函数值不小于 1，根据函数的解析式，求出导函数的解析式，构造关于 a 的不等式，解不等式即可得到答案【解答】解： 3 a若曲线在 M 点处的切线的倾斜角均不小于 的锐角，则 3a 1解得 a2故选 C二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13方程 4x+2x2=0 的解是 0 【考点】指数函数综合题【分析】先换元，转化成一元二次方程求解，进而求出 x 的值【解答】解：令 t=2x，则 t0，t 2+t2=0，解得 t=1 或 t=2（舍）即 2x=1；即 x
16、=0；故答案为 014曲线 y=x2 与直线 y=x 所围成图形的面积为 【考点】定积分在求面积中的应用【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为 0，积分上限为 1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为 1，积分下限为 0直线 y=x 与曲线 y=x2 所围图形的面积 S=01（xx 2） dx而 01（xx 2）dx= （ ）| 01= =曲边梯形的面积是 故答案为： 15在 RtABC 中，若C=90 ，AC=b，BC=a，则 ABC 外接圆半径 运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别
17、为 a，b ，c，则其外接球的半径 R= 【考点】类比推理【分析】直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a，b，c，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径 R 为长方体对角线长的一半【解答】解：直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a，b，c，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径 R 为长方体对角线长的一半故为故答案为：16已知函数 f（x ）=sinx+5x ，x （ 1，1） ，如果 f（1a）+f（1a 2）0，则 a 的取值范围是 1a 【考点】正弦函数的单调性；奇偶性与单
18、调性的综合【分析】判定函数的单调性，奇偶性，然后通过 f （1a）+f （1a 2）0，推出 a 的不等式，求解即可【解答】解：函数 f （x ）=sinx +5x，x （ 1，1） ，所以函数是增函数，奇函数，所以 f （1 a） +f （1a 2）0，可得11 a2a 11，解得 1a ，故答案为：1a 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17已知数列a n的前 n 项和 Sn=n2+2n（）求数列a n的通项公式；（）若等比数列b n满足 b2=S1，b 4=a2+a3，求数列 bn的前 n 项和 Tn【考点】数列的应用【分析】 （I）由题意知 a1=3，a n=SnSn1=2
19、n，符合（II）设等比数列的公比为 q，则 ，由此能够求出数列b n的前 n 项和 Tn【解答】解：（I）a 1=S1=3当 n2 时，an=SnSn1=n2+2n（n1） 2+2（n 1）=2n+14，符合（II）设等比数列的公比为 q，则解得所以即 18在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B ，C 的对边， ， （1）求ABC 的面积；（2）若 a=7，求角 C【考点】解三角形；三角形中的几何计算【分析】 （1）先根据平面向量的数量积的运算法则化简 ，把 cosB 的值代入求出ac 的值，然后由 cosB 的值和 B 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 sinB 的值，利用三角形
20、的面积公式表示出ABC 的面积，把 ac 和 sinB 的值代入即可求出ABC 的面积；（2）由（1）求出的 ac 的值和 a 的值，求出 c 的值，再由 a，c 及 cosB 的值，利用余弦定理求出 b 的值，再由 b，sinB 以及 c 的值，利用正弦定理求出 sinC 的值，利用大边对大角，由a 大于 c 得到角 C 为锐角，由特殊角的三角函数值即可求出角 C 的度数【解答】解：（1） ，ac=35，又 ，0B， ， ；（2）由（1）知：ac=35，且 a=7，c=5，则 ， ，由正弦定理得： ， ，又a c ， ， 19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面
21、 ABCD，且 PA=AD，点 F 是棱PD 的中点，点 E 在棱 CD 上移动（）当点 E 为 CD 的中点时，试判断直线 EF 与平面 PAC 的关系，并说明理由；（）求证：PEAF【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质【分析】 （）当点 E 为 CD 的中点时，EF平面 PAC，欲证 EF平面 PAC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 EF 与平面 PAC 内一直线平行，根据中位线定理可知 EFPC ，PC平面 PAC，EF平面 PAC，满足定理所需条件；（）欲证 PEAF，而 PE平面 PDC，可先证 AF平面 PDC，根据 CD平面 PAD，有线面垂直的性质可知 A
22、FCD，根据等腰三角形可知 AFPD，CDPD=D ，满足线面垂直的判定定理【解答】解：（）当点 E 为 CD 的中点时，EF平面 PAC理由如下：点 E，F 分别为 CD，PD 的中点，EF PCPC平面 PAC，EF平面 PAC，EF 平面 PAC（）PA 平面 ABCD， CD平面 ABCD，CDPA 又 ABCD 是矩形，CDAD，PA AD=A，CD平面 PADAF平面 PAD，AF CDPA=AD，点 F 是 PD 的中点，AFPD又 CDPD=D，AF平面 PDCPE 平面 PDC，PE AF20已知函数 f（x ）=x 3+x16，（1）求曲线 y=f（x）在点（2，6）处的切
23、线的方程（2）如果曲线 y=f（x）的某一切线与直线 y= x+3 垂直，求切点坐标与切线的方程【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】 （1）确定点（2，6）在曲线上，求导函数，可得切线斜率，从而可得切线方程；（2）利用曲线 y=f（x）的某一切线与直线 y= x+3 垂直，可得斜率的积为1，从而可求切点坐标与切线的方程【解答】解：（1）f（2）=2 3+216=6，点（2 ， 6）在曲线上f（x）=（x 3+x16）=3x 2+1，在点（2，6）处的切线的斜率为 k=f（2）=32 2+1=13切线的方程为 y=13（x 2）+（6） ，即 y=13
24、x32（2）切线与直线 y= +3 垂直，斜率 k=4，设切点为（x 0，y 0） ，则 f（x 0）=3x +1=4，x 0=1，x0=1 时，y 0=14；x 0=1，y 0=18，即切点坐标为（1，14）或（ 1，18） 切线方程为 y=4（x1）14 或 y=4（x +1） 18即 y=4x18 或 y=4x1421为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的 500 名志愿者中随机抽样 100 名志原者的年龄情况如下表所示（）频率分布表中的、位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）再根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在30，35
25、）岁的人数；分组（单位：岁）频数 频率20，25 5 0.0525，30 0.2030，35 35 35，40 30 0.3040，45 10 0.10合计 100 1.00（）在抽出的 100 名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加中心广场的宣传活动，从这 20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人，记这 2 名志愿者中“年龄低于 30 岁”的人数为X，求 X 的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差【分析】 （I）根据频率、频数和样本容量之间的关系，写出频率分布表中两个位置的数字，在频率分步直方图中看出在30，35）的频率，
26、乘以总人数得到频数，根据直方图中频率的结果，得到小正方形的高（II）用分层抽样方法抽 20 人，则年龄低于 30 岁的有 5 人，年龄不低于 30 岁的有 15 人，故X 的可能取值是 0，1，2，结合变量对应的事件写出变量的概率，写出分布列和期望【解答】解：（I）0.2100=20， ，处是 20，处是 0.35，由频率分步直方图中，30，35）的人数是 0.35500=175在频率分步直方图知，在25，30）这段数据上对应的频率是 0.2，组距是 5，小正方形的高是 ，在频率分步直方图中补出高是 0.04 的一个小正方形（II）用分层抽样方法抽 20 人，则年龄低于 30 岁的有 5 人，
27、年龄不低于 30 岁的有 15 人，故 X 的可能取值是 0，1，2，P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2）=X 的分布列是X 的期望值是 EX=22已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 ，两个焦点分别为 F1 和F2，椭圆 G 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12圆 Ck：x 2+y2+2kx4y21=0（k R）的圆心为点Ak（1）求椭圆 G 的方程（2）求A kF1F2 的面积（3）问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G？请说明理由【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用【分析】 （1）先设椭圆的标准方程，然后由椭圆定义知，椭圆 G 上一点到
28、F1、F 2 的距离之和为 12，即 2a=12，求得 a，再根据离心率为 ，求得 c，最后利用椭圆中 b2=a2c2 求得 b，则椭圆 G 的方程解决（2）先通过圆 Ck：x 2+y2+2kx4y21=0（kR ）表示出其圆心 Ak 的坐标，则其纵坐标 2 为AkF1F2 的高，而 F1F2 的长度为焦距 2c，所以代入三角形面积公式问题解决（3）先对 k 进行分类，再利用特殊点（即椭圆的左右两个顶点）可判定不论 k 为何值圆 Ck都不能包围椭圆 G【解答】解：（1）设椭圆 G 的方程为： （ab0） ，半焦距为 c，则 ，解得 ，b 2=a2c2=3627=9所以椭圆 G 的方程为： （2）由圆 Ck 的方程知，圆心 AK 的坐标为（k，2） ， （3）若 k0 ，由 62+02+12k021=15+12k0 可知点（6，0）在圆 Ck 外，若 k0 ，由（6） 2+0212k021=1512k0 可知点（ 6，0）在圆 Ck 外；不论 k 为何值圆 Ck 都不能包围椭圆 G2017 年 1 月 15 日
