1、第 1 页 共 15 页黑龙江省大庆中学 2018 届高三上学期开学考试数学（理）试题评卷人 得分一、选择题1集合 ， ，则集合 的元素个数为1|03xAZ2|1ByxAB（ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】B【解析】由题意得：A=1,0,1,2，B=1,2,5 ，集合 ,A集合 的元素个数为 2.本题选择 B选项.2已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 为（ ）iz21izizA. B. C. D. 12【答案】A【解析】由题意可得 ，则 .21iz21iz本题选择 A 选项.3下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是( )A. B. C. D. 3logyxxy12yx3yx【
2、答案】D【解析】 非奇非偶函数,不正确;3l偶函数,不正确;xy非奇非偶函数,不正确;12是奇函数,且为增函数,满足,3yx故选 D.4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）第 2 页 共 15 页A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】由题意，几何体为四棱锥，其中底面是上底为 2，下底为 4，高为 2 的直角梯形，棱锥的高为 2，所以体积为 ；1423本题选择 B 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积
3、法、分割法、补形法等方法进行求解5如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，5则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）A. B. C. D. 3107354【答案】D【解析】由已知中的茎叶图可得甲的 5 次综合测评中的成绩分别为 88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：(88+89+90+91+92)5=90设污损数字为 x则乙的 5 次综合测评中的成绩分别为 83，83，87，99，90+x则乙的平均成绩： ，1837908.45x当 x=9,甲的平均数0（或 f(x)0）仅是 f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（a,b）内可导的函
4、数 f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是 f(x)0 或 f(x)0 恒成立，且f(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于 0。这就是说，函数 f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点 x0处有 f(x0)=0.第 7 页 共 15 页评卷人 得分二、填空题13若 的二项展开式中的常数项是 84，则 _.92ax 203axd【答案】1【解析】根据 的二项展开式的通项公式 ，92x 931rrTCax令 93r=0,求得 r=3,可得展开式中的常数项是 ，3984aa=1， .122310003|axdx14 已知两个平面向量 满足 ， ，且 与 的夹角为ab， 21a
5、bab，则 _12b【答案】2【解析】试题分析： 22241412aabbb（ 负 舍 ）【考点】向量数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ab|a|b|cos ；二是坐标公式ab x1x2y 1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.15 如图所示，直四棱柱 内接于半径为 的半球 ，四边形1ABCD3O为正方形，则该四棱柱的体积最大时， 的长为_ ABCDAB【答案】 2【解析】设 ，则 ，ABx212,3OxBx所以直四棱柱的体积为 ，令 ，则 ，22V2
6、0t226xt则 ，故 ，2366Vtt61tt第 8 页 共 15 页所以当 时，即 时，体积 最大.1t2x16过动点 作圆： 的切线 ，其中 为切点，若P22341xyPQ（ 为坐标原点） ，则 的最小值是_ .QOPQ【答案】 125【解析】根据题意,设 P 的坐标为(m,n),圆(x3) 2+(y4)2=1 的圆心为 N,则 N(3,4)PQ 为圆(x3) 2+(y4)2=1 的切线,则有|PN| 2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1，又由|PQ|=|PO|，则有|PN| 2=|PO|2+1，即(m3) 2+(n4)2=m2+n2+1，变形可得：6m+8n=24 ，即 P 在直
7、线 6x+8y=24 上，则|PQ|的最小值即点 O 到直线 6x+8y=24 的距离，且 ；26084125d即|PQ|的最小值是 .评卷人 得分三、解答题17已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且ABCCabc.3coscosba（1）求 的值；tn（2）若 ，求 的面积的最大值.42【答案】(1) ；(2) .8【解析】试题分析：(1)角化边求得 ，则1cos3Atan2(2)由三角形 面积公式结合均值不等式的结论可得 的面积的最大值是 .ABC82第 9 页 共 15 页试题解析：（1）角化边可得： ,则： ， 3sincosicsinoBACA1cos3A.tan2A（2）
8、 ， ，12sin3Sbcc22124333abcbcc， ，当且仅当 时.48618某校从参加高三化学得分训练的学生中随机抽出 60 名学生，将其化学成绩（均为整数）分成六段 、 、 后得到部分频率分布直方图（如0,5,09,10图）.观察图形中的信息，回答下列问题：（1）求分数在 内的频率，并补全频率分布直方图；70,8（2）据此估计本次考试的平均分；（3）若从 60名学生中随机抽取 2人，抽到的学生成绩在 内记 0分，在4,6内记 1分，在 内记 2分，用 表示抽取结束后的总记分，求 的60,880,XX分布列.【答案】(1)答案见解析；(2)71；(3)答案见解析.【解析】试题分析：(
9、1)利用频率分布直方图小长方形面积和为 1 列方程可得分数在 内的频率是70,80.3，据此补全频率分布直方图即可；(2)由频率分布直方图可估计平均分为 71；(3)由题意可得 的可能取值是 0，1，2，3，4，利用超几何分布的概率公式求得相应X的概率值即可得到其分布列.试题解析：（1）设分数在 内的频率为 ，根据频率分布直方图，有70,8x，可得 .0.5251003x（2）平均分为第 10 页 共 15 页.450.1.560.175.380.259.71x（3）成绩在 内的有 人，在 内的有 人，,26,4602在 内的有 人，易知 的可能取值是 0，1，2，3，4，8,.38X则 ，
10、， 215607CPX 1527608CPX， ， 125876091276039，218604CPX所以 的分布列为0 1 2 3 4P71878075981295190点睛：一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19如图，四棱锥 的底面 是平行四边形，侧面 是边长为 2的PABCDPAD正三角形， ， .57（1）求证：
11、平面 平面 ；PADBC（2）设 是棱 上的点，当 平面 时，求二面角 的余弦值.Q/DQABDQ【答案】(1)证明见解析；(2) .219【解析】试题分析：(1)由题意可证得 平面 ，利用面面垂直的判断定理即可证得平面OPABC平面 .PAD(2)建立空间直角坐标系，结合平面的法向量和题意可得二面角 的余弦值是ABDQ第 11 页 共 15 页.219试题解析：（1）取 中点 ，连接 ， ，因为 是边长为 2的正三角形，所以ADOPOBPAD， ，P3 ， ， ，5BAD2 ，22 ， 平面 ，OPBC 平面 ，平面 平面 .P（2）连接 交 于 ，连接 ，ACEQ 平面 ， ，/D/又 为
12、 的中点， 为 的中点.EP以 为原点，分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系，OAOBxyz则 ， ， ， ， ， 1,0A,201,0D31,2Q1,20DB.3,DQ设平面 的一个法向量为 ，B,mxyz由 得 取 ，得 . 0, mDQ20 3,xyz236,32m由图可知，平面 的一个法向量 ，ABC,1n ，219cos,nm二面角 的余弦值为 .ABDQ1920如图， 是椭圆 的右焦点， 是坐标原点， F2()xyabO，过 作 的垂线交椭圆于 ， 两点， 的面积为 .5OFO0PQ0P453第 12 页 共 15 页（1）求该椭圆的标准方程；（2）若直线 与上
13、下半椭圆分别交于点 、 ，与 轴交于点 ，且 ，l PQxM2PQ求 的面积取得最大值时直线 的方程.OPQl【答案】(1) .(2) .2194xy52xy【解析】试题分析：(1)由题意列方程组可得 ， ，椭圆方程为 .3ab2194xy(2)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得 的面积为： OPQ，结合二次函数的性质可得 的面积取得最大值时直223146St线 的方程是 .l 5xy试题解析：（1）由题意可得 ，将 代入椭圆方程得 ，cxc21cbyba即有 的面积为 ，即 ，且 ，0OPQ14523P243a25解得 ， ，3ab即椭圆方程为 .2194xy（2）设 ，且 ，即 .,0
14、Mt2t3t直线 ： ，代入椭圆方程可得 ，PQxmyt224984360myt设 ， ，1,2,则 ， ，122849ty2143609ty由 ，可得 ，PMQPMQ第 13 页 共 15 页即有 ，代入韦达定理得 ，即有 ，即有 ，2y22941mt2294t219t则 的面积为：OPQ2121124Stytyy2216864tt，346当 ，由图示可得 ，此时 ， 的面积取得最大值，且为259t0t24mOPQ，34故所求直线方程为 .152xy21已知函数 .20feax（1）当 时，求 的单调区间，并证明此时不存在 ，使 成立；a 0x0f（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围.0f
15、x,【答案】(1)答案见解析；(2) .,1【解析】试题分析：(1)由导函数的解析式可得 的增区间为 ，无减区间，结合函数的最小值即fx0,可证得题中的不等式；(2)分类讨论 和 两种情况可得 的取值范围是 .1aa,1试题解析：（1）当 时，设 ， ， 2xgxfe210xge，0x 在 上递增，即 时， ，f,0x0fxf 的增区间为 ，无减区间，且 时， x0,.22fexf（2）当 时， ，1a 21210xeaxa 时， ，0x0fxf即当 时， 恒成立， ；0,x第 14 页 共 15 页当 时，设 ， ， 1a2xhxfea210xhe，0x 在 上递增，f,又 ， ，210a2
16、afe由（1）已证 ，知 ，xe21xx ，2210faa 在 上存在唯一零点 ，即 ，fx0, 0x00xea 在 上递减，在 上递增，,又 ，0 002 20 12x xxfeae令 ， ， ，21xxg,a 0xge当 时， ，即 ，00g0fx不满足 恒成立.fx由可知 的取值范围为 .a,122选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为平面直角坐标系的原点，C229cosin极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系x（1）求曲线 的普通方程；（2） 为曲线 上两个点，若 ，求 的值.AB、 OAB221|OB【答案】 (） ;（） 219xy0.9【解析】试题分析：（1）将 代入曲线的方程，即22cos,in,xyxy可求得曲线的普通方程；（2）因为题意得 ，由 ，设 可得21si9OAB1,，2,B第 15 页 共 15 页即可求解。试题解析：(）由 得 ，229cosin22cos9in将 ， 代入得到曲线 的普通方程是 xyC219xy（）因为 ，229cosin所以 ，21由 ，设 ，则 点的坐标可设为 ，OAB1,B2,所以 2222211cossin10ico| 999
