1、页 1 第2018 届山东省曲阜市高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】求解二次不等式 可得： ，即 ，结合并集的定义可得： .本题选择 D 选项.2. 在复平面内，复数 （是虚数单位）对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】 ，对应坐标为 ， 对应的点位于第四象限，故选 D.3. 下列说法不正确的是（ ）A. 若“ 且 ”为假，
2、则 至少有一个是假命题B. 命题“ ”的否定是“ ”C. “ ”是 “ 为偶函数”的充要条件D. 当 时，幂函数 在 上单调递减【答案】C【解析】试题分析：A.正确，当两个命题都是真命题， 且 才是真命题，B.正确，C. “ ”是“为偶函数”的充分不必要条件，不是充要条件，故不正确；D.正确，当 时，幂函数在区间 是增函数，当 的，幂函数在区间 是减函数，故选 C.考点：命题4. 公比为 的等比数列 的各项都是正数，且 ，则 （ ）页 2 第A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因为 ,且 ,所以 ,因为公比 ,所以 ,所以 故 B 正确考点：1 等比数列的通项公式,及性质;2
3、对数的运算5. 在下列区间中，函数 的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C6. 使函数 为增函数的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】y2sin( 2x) 2sin(2x )，由 2k2x 2k ，kZ，解得 kx k，k Z，即函数的增区间为 k， k，kZ，k0 时，增区间为 ， ，选 C 项7. 已知函数 的定义域为 的奇函数，当 时， ，且 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 的定义域为 的奇函数 ， ，即 ，把 x 换成 x-2，可得： ，又 ， ，故函数周期为 T=4，又 ，当 时， ， 8. 已知函数 的定义域为 的奇
4、函数，当 时， ，且 ， ，则 （ ）页 3 第A. B. C. D. 【答案】B【解析】 的定义域为 的奇函数 ， ，即 ，把 x 换成 x-2，可得： ，又 ， ，故函数周期为 T=4，又 ，当 时， ， 9. 如图，在 中， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，设 = ，（ 0）得m= 且 = ，解之得 =8，m= 故选：A10. 已知 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：页 4 第由 z=xy，得 y=xz 表示，斜率为 1 纵截距为z 的一组平行直线，平移直线
5、y=xz，当直线 y=xz 经过点 B 时，直线 y=xz 的截距最大，此时 z 最小，由 ，解得 ，即 B（2，1） ，此时 zmin=21=1故选：B点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.11. 已知函数 ，若 ，使得 ，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 ；因为 ,由若 ， ，使得得 ,故选 A.点睛：对于求
6、不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.12. 定义在 上的函数 满足： 是 的导函数，则不等式 （其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D页 5 第【解析】设 ,且，又 在 上单调递增，不等式 ，即不等式 的解集为故选：D点睛：用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅
7、助函数常根据导数法则进行：如 构造 ；如 构造 ；如 构造；如 构造 等.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若当 时，不等式 恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】 ，又不等式 恒成立故答案为：点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14. 已知 ，且 ，则 _【答案】页 6 第【解析】试题分析：由题可
8、知 ，因为 所以 ，则 ，故，则 ，故答案为 .考点：1、同角三角函数之间的关系；2、两角和的正切公式及二倍角的正切公式.15. 若等差数列 满足 ，则当 _时， 的前 项和最大【答案】所以 ，所以 ， ，故数列 的前 8 项最大.考点：等差数列的性质，前 项和的最值，容易题.16. 已知函数 ，若函数 的所有零点依次记为，则 _【答案】【解析】 ,解得： ,函数在 的对称轴为 ， ， .相邻对称轴间的距离为 ，所以 ， ，以此类推， ，这项构成以首项为 ， 为公差的等差数列，第 项为 ，所以 ，解得 ，所以【点睛】本题考查了三角函数的零点问题，三角函数的考查重点是性质的考查，比如周期性，单调
9、性，对称性等，处理抽象的性质最好的方法就是画出函数页 7 第的图象，这样根据对称性就比较好解决了，本题有一个易错点是，会算错定义域内的零点个数，这就需结合对称轴和数列的相关知识，防止出错.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中， .（1）求 的值；（2）设 的中点为 ，求中线 的长.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）已知 ,可用 表示 ,用二角和的正弦定理可得 的正弦值；（2）由正弦定理可求得 ,可得 ,在 由余弦定理可得 的长.试题解析：（1）因为 ，且 是三角形的内角，所以 ，所以.（2）在 中，由正弦定理
10、，得 .所以 ，于是 .在 中， ， ，所以由余弦定理，得.即中线 的长度为 .考点：两角和的正弦定理；正弦定理；余弦定理.【易错点睛】解三角形问题的技巧：作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”（即“统一角、统一函数、页 8 第统一结构”）是使问题获得解决的突破口.18. 设 为各项不相等的等差数列 的前 项和，已知 .（1）求数列 通项公式；（2）设 为数列 的前 项和，求 .【答案】 （1） ；（2）【解析】
11、【试题分析】 （1）借助等差数列的通项公式及前项和公式建立方程组求解；（2）借助（1）的结论及列项相消法求解：（1）设 的公差为 ，则由题意知解得 （舍去）或 （2） ， 19. 已知函数 .若 的最小正周期为 .（1）求函数 的单调递增区间；（2）在 中，角 的对边分别为 ，且满足 ，求函数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）化简 ,由周期公式,可得 的值,再由正弦函数的单调性可得 的单调递增区间；（2）由正弦定理及两和的正弦公式可得 ,由三角形的内角和公式可得 的范围,最后可得函数 的取值范围.试题解析：（1）. ， ，由， ，页 9 第得 . 的单调递增区间为
12、 .（2）由正弦定理得， ， . ， .或： ， ， .又 ， ， ， ， .考点：二倍角公式；两角和的正弦公式；正弦函数的性质；正弦定理.20. 已知等差数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，且满足 .（1）求数列 和 的通项公式；（2）数列 满足 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）设等差数列a n的公差为 d，利用等差中项的性质及已知条件“a1+a2+a3=9、a2+a8=18”可得公差，进而可得数列a n的通项；利用 “bn+1=Sn+1Sn”及“b 1=2b12” ，可得公比和首项，进而可得数列b n的通项；（2）利用 ，利用错位相减法及等比数
13、列的求和公式即得结论试题解析：解：（1）设等差数列 的公差为 ，即 ，即 ，即 ，.页 10 第两式相减，得 .即 .又 ，数列 是首项和公比均为 的等比数列， .数列 和 的通项公式分别为 .（2）由（1）知 ，两式相减，得，.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.21. 已知函数 .（1）求函数 的单调区间；（2）若 恒成立，
14、试确定实数 的取值范围.【答案】 （1）函数 的递增区间为 ，函数 的递减区间为 ；（2）【解析】试题分析：（1）由已知得 x1， ，对分类讨论，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间页 11 第（2）由 得 ，即求 的最大值试题解析：解：（1）函数 的定义域为 ， ，当 时， ，函数 的递增区间为 ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，所以函数 的递增区间为 ，函数 的递减区间为 .（2）由 得 ，令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，所以 的最大值为 ，故 .点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数
15、的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立，转化为 ;（3）若 恒成立，可转化为 .22. 已知函数 .（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求实数的值；（2）若 ，求证 .【答案】 （1）4；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）求导，由题意可知 ，即可求得 a 的值；（2）由题意可知：要证 ，即证只需证 ，构造辅助函数，求得，根据函数的单调性，即可求得函数的最小值，即可证明不等式成立试题解析：页 12 第解：（1） 的导数为 ，可得在点 处的切线斜率为 ，由在点 处的切线与直线 平行，可得 ，解得 .（2）证明：若 ，要证 ，只需证 ，即证 ，令 ，可得 在 递增，则有 ，即为 ，可得 时，
