1、页 1 第2018 届四省名校（南宁二中等）高三上学期第一次大联考数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集为 ，集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】求解指数不等式可得 ，求解一元二次不等式可得 ，则 ，利用交集的定义有： .本题选择 C 选项.2. 已知是虚数单位，是的共轭复数， ，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得： ，则 ，据此可得，的虚部为 .本题选择 A 选项.3. 如图是今年国庆中秋长假期
2、间某客运站客运量比去年同期增减情况的条形图.根据图中的信息，以下结论中不正确的是（ ）A. 总体上，今年国庆长假期间客运站的客流比去 年有所增长页 2 第B. 10 月 3 日、4 日的客流量比去年增长较多C. 10 月 6 日的客运量最小D. 10 月 7 日，同比去年客流量有所下滑【答案】C【解析】观察所给的条形图可知：从 10 月 6 日到 10 月 7 日，客流量减少，则 10 月 6 日的客运量最大，选项 C 的说法是错误的.本题选择 C 选项.4. 的展开式中 的系数为（ ）A. 320 B. 300 C. 280 D. 260【答案】B【解析】 展开式的通项为 ： ，则： ， ，
3、据此可得： 的系数为 .本题选择 B 选项.5. 已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】双曲线 的渐近线方程为： ，由直线垂直的充要条件可得： ，抛物线 的准线方程为 ，据此可得方程组： ，求解方程组有： ，页 3 第则双曲线的方程为 .本题选择 C 选项.6. 设函数 ，则下列结论错误的是（ ）A. 的一个周期为B. 的图形关于直线 对称C. 的一个零点为D. 在区间 上单调递减【答案】D【解析】逐一考查所给的选项：函数 的最小正周期为 ，则函数的周期为： ，取 可得函数的一个周期为 ；函数
4、图象的对称轴满足： ，则： ，令 可得函数的一条对称轴为 ；函数的零点满足： ，则： ，令 可得函数的一个零点为 ；若 ，则 ，则函数在 上不具有单调性；本题选择 D 选项.7. 执行如图所示的程序框图，若输出的 值为 ，则输入的 值为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B页 4 第【解析】依据流程图考查程序的运行过程如下：初始化： ，第一次循环： 成立， ；第二次循环： 成立， ；第三次循环： 成立， ；第四次循环： 成立， ；此时 不成立，不再循环，据此可得： .本题选择 B 选项.点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的
5、条件，决定循环是否结束要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节8. 已知正三棱柱（上下底面是等边三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱）的高为 2，它的 6 个顶点都在体积为 的球的球面上，则该正三棱柱底面三角形边长为（ ）A. B. C. 3 D. 【答案】A【解析】设正三棱柱的外接球半径为 R，底面三角形外接圆半径为 r，边长为 a，则： ，解得： ， ，结合正弦定理： .本题选择 A 选项.9. 中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作九章算术 、 算法统宗中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列 的前 项和 ， ，等比数列 满足 ，则 （ ）A.
6、 4 B. 5 C. 9 D. 16【答案】C【解析】由题意可得： ， ，则：等比数列的公比 ，故 .页 5 第本题选择 C 选项.10. 过椭圆 的左顶点且斜率为 的直线与圆 交于不同的两个点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得，直线的方程为 ，即 ，由直线与圆 交于两个不同的点可得：坐标原点 到直线的距离 ，即 ，整理可得： ，解得： ，又椭圆的离心率： ，故： .本题选择 C 选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a，c，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 a，b，
7、c 的齐次式，结合 b2a 2c 2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式) 两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围) 11. 已知定义在区间 上的函数 满足 ，其中 是任意两个大于 0 的不等实数.若对任意 ，都有 ，则函数 的零点所在区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由 可得函数 在区间 上单调递增，而 =常数， 故 为常数，不妨设 ，则 ，而 ，据此有： ，页 6 第令 ，增函数之和为增函数，则 在区间 上单调递增，且 ，则 ，据此可得 ，故：，故： ，其中：且函数 在区间 上连续，由函数零点存在定
8、理可得函数 的零点所在区间是 .本题选择 B 选项.点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数 f(x)在a， b上单调且 f(a)f(b)0，则 f(x)在a，b上只有一个零点.12. 已知半径为 2 的扇形 中， ， 是 的中点， 为弧 上任意一点，且 ，则 的最大值为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，则 ，设 则： ，即： ，解得： ，则： ，其中 ，据此可知，当 时， 取得最大值 .页 7 第本题选择 C 选项.点睛：(1)应用平
9、面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 为坐标原点，点 ，若点 为平面区域 上的动点，则 的最大值是_.【答案】2【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的解析式，平移直线 ，由图可知，当直线经过点 时，直线的截距最大，此时目标函数取得最大值 .14. 设 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线上的一点，满足 ， 是坐标原点，若 的面积为 4，则 _.【答案】2【解析】设 ，若 ，则点 的轨迹 方程为： ，页 8 第联立圆的方程 与双曲线的方程
10、 可得： ，则 的面积为： ，结合 可得 .15. 已知函数 若 ，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】由函数的解析式可得： ，则： ，原不等式即： ，分类讨论：当 时： ，解得： ，则此时 ；当 时： ，解得： ，则此时 ；综上可得，实数的取值范围为 ，表示为区间的形式即： .点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围16. 已
11、知底面边长为 2 的正三棱锥 （底面为正三角形，且顶点在底面的射影为正三角形的中心的棱锥叫正三棱锥）的外接球的球心 满足 ，则这个正三棱锥的内切球半径 _.【答案】【解析】取 AB 的中点 D，则 ，结合题意由 ，则球心 O 与ABC 的重心重合，因为 D 为 AB 中点，由 可得：，利用等体积法有：.其中 ， ，代入式解方程可得： .点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点页 9 第和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正
12、方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 的内角 的对边分别为 ，若 .（1）求角 的大小；（2）已知 ，求 面积的最大值 .【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：(1)由题意利用正弦定理边化角，结合两角和差正余弦公式可得 ，则 .(2)结合(1)中的结论和余弦定理可得 ，则 ，由均值不等式的结论可知 的面积 .试题解析：（1） .由正弦定理得. ，在 中， ， . ， .（2）由余弦定理得 .又 ， . ，当且仅当 时取等号， 的面积 .即 面积的最大值为 .18. 在某单位的食堂中，食堂每天以
13、10 元/斤的价格购进米粉，然后以 4.4 元/碗的价格出售，每碗内含米粉 0.2 斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以 2 元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂某天页 10 第米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂购进了 80 斤米粉，以 （斤） （其中 ）表示米粉的需求量， （元）表示利润.（1）估计该天食堂利润不少于 760 元的概率；（2）在直方图的需求量分组中，以区间中间值作为该区间的需求量，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求 的分布列和数学期望.【答案】(1)0.65；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可得利润函数 结合题意求解不等式有
14、即 .则食堂利润不少于 760 元的概率是 .(2)由题意可知 可能的取值为 460，660，860，960.分别求得相应的概率有 ， ， .据此得出分布列，然后计算数学期望有 .试题解析：（1）一斤米粉的售价是 元.当 时， .当 时， .故设利润 不少于 760 元为事件 ，利润 不少于 760 元时，即 .解得 ，即 .由直方图可知，当 时，.（2）当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， .所以 可能的取值为 460，660，860，960.页 11 第，.故 的分布列为.19. 直角三角形 中， ， ， ， 是 的中点， 是线段 上一个动点，且，如图所示，沿 将 翻折至 ，使得平
15、面 平面 .（1）当 时，证明： 平面 ；（2）是否存在，使得 与平面 所成的角的正弦值是 ？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2) 存在 ，使得 与平面 所成的角的正弦值为 .【解析】试题分析：(1)由题意可得 ，取 的中点 ，连接 交 于 ，当 时，由几何关系可证得平面 .则 .利用线面垂直的判断定理可得 平面 .(2)建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量与平面的法向量计算可得存在 ，使得 与平面 所成的角的正弦值为 .试题解析：（1）在 中， ，即 ，则 ，取 的中点 ，连接 交 于 ，当 时， 是 的中点，而 是 的中点， 是 的中位线， .在 中，
16、 是 的中点，页 12 第 是 的中点.在 中， ， ，则 .又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 .又 平面 ， .而 ， 平面 .（2）以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系.则 ， ， ， ，由（1）知 是 中点， ，而平面 平面 . 平面 ，则 .假设存在满足题意的，则由 .可得 ，则 .设平面 的一个法向量为 ，则 即令 ，可得 ， ，即 . 与平面 所成的角的正弦值.解得 （ 舍去）.页 13 第综上，存在 ，使得 与平面 所成的角的正弦值为 .20. 已知椭圆 的右焦点为 ，过 且与 轴垂直的弦长为 3.（1）求椭圆 的标准方程；（2）过 作直
17、线与椭圆交于 两点，问在 轴上是否存在点 ，使 为定值，若存在，请求出 点坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1) ；(2) 存在满足条件的点 ，其坐标为 .【解析】试题分析：(1)由题意计算可得 .则椭圆 的标准方程为 .(2)假设存在点 满足条件，设其坐标为 ，设 ， ，分类讨论：当斜率存在时，联立直线方程与椭圆方程有： ， .则.满足题意时有： .解得 .此时 .验证可得当斜率不存在时也满足，则存在满足条件的点 ，其坐标为 .此时 的值为 .试题解析：（1）由题意知 ， .又当 时， . .则 .椭圆 的标准方程为 .（2）假设存在点 满足条件，设其坐标为 ，设 ， ，当斜率存在时，设
18、方程为 ，页 14 第联立 ， 恒成立 . ， . ， .当 为定值时， . .此时 .当斜率不存在时， ， .， ，.存在满足条件的点 ，其坐标为 .此时 的值为 .21. 已知函数 .（1）若 ，求 的单调区间；（2）若关于 的不等式 对一切 恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：对 ，都有 .页 15 第【答案】(1) 单调增区间为 ，单调减区间为 .(2) ；(3)证明见解析.【解析】试题分析：(1)求解导函数有 .结合函数的定义域和导函数与原函数之间的关系可得 的单调增区间为 ，单调减区间为 .(2)二次求导可得 .分类讨论：当 时， 对一切 恒成立.当 时， ， 对一切 不恒成立.
19、当 时， 对一切 不恒成立.综上可得实数的取值范围是 .(3)结合(2)的结论，取 ，有 时， .则 .结合对数的运算法则即可证得题中的不等式.试题解析：（1）当 时，函数 ，定义域为 ， .令 可得 ，令 可得 .所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 .（2） ，.当 时， ， .故 在区间 上递增，所以 ，从而 在区间 上递增.所以 对一切 恒成立.当 时， ，页 16 第.当 时， ，当 时， .所以 时， .而 ，故 .所以当 时， ， 递减，由 ，知 ，此时 对一切 不恒成立.当 时， ，在区间 上递减，有 ，从而 在区间 上递减，有 .此时 对一切 不恒成立.综上，实数的取值范围是
20、 .（3）由（2）可知，取 ，当 时，有 .取 ，有 ，即 .所以，所以 .点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.页 17 第2
21、2. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 （为参数） ，圆 （为参数）.（1）当 时，求 与 的交点坐标；（2）过坐标原点 作 的垂线，垂足为 ， 为 的中点，当 变化时，求 点的轨迹方程，并指出它是什么曲线.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)当 时， 的普通方程为 ， 的普通方程为 .则 与 的交点为 .(2)由题意可得 点坐标为 .则 点轨迹的参数方程为（ 为参数）.消去参数可得 点的轨迹方程为 .它表示圆心为 ，半径为 的圆.试题解析：（1）当 时， 的普通方程为 ，的普通方程为 .联立方程组 得 与 的交点为 .（2） 的普通方程为 .由题意可得 点坐标为 .故当 变化时， 点轨迹的参数方程为（ 为参数）.点的轨迹方程为 .故 点轨迹是圆心为 ，半径为 的圆.23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当 时，求不等式 的解集；页 18 第（2）若不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式零点分段求解不等式可得不等式 的解集是 ；(2)结合题意有： ，令 ，则 .即实数 的取值范围为 .试题解析：（1）当 时，当 时，由 得 ，解得 ；当 时， 成立；当 时，由 得 ，解得 .综上，不等式 的解集为 .（2）由 得 ，令知 .实数 的取值范围为 .
