1、第 1 页 共 16 页2018 届四川省双流中学高三上学期 9 月月考数学（理）试题一、选择题1 复数 （ ）42iA. B. C. D. 3113i13i【答案】A【解析】解：由复数的运算法则可知： .4213ii i本题选择 A 选项.2 若集合 ， ，若 ，则 的值为（ 2|,xxR1,BmABm）A. 2 或 B. 或 2 C. 2 D. 1【答案】C【解析】解：由题意可知： ，则满足题意时， .A2本题选择 C 选项.3下列函数中，既是偶函数，又在 内单调递增的为（ ）,0A. B. C. D. 42yx2xy2xy12logyx【答案】D【解析】 为非奇非偶函数， 排除； 为偶函
2、数，但在4xAx内单调递减， 排除； 为奇函数， 排除故本题答,0B2xyC案选 4在 展开式中，二项式系数的最大值为 ，含 项的系数为 ，则 （ 62x m5xnm）A. B. C. D. 5335【答案】D【解析】因为 是偶数，所以展开式共有 7 项，其中中间一项的二项式系数最大，6n其二项式系数为 时，含 项的系数为 ，则320mC5x162nC，应选答案 D。12055若 ，则 （ ）sin2sincos4in2A. B. C. D. 535第 2 页 共 16 页【答案】C【解析】由题意可得： ，2sinco2sincos据此整理可得： ，i3,ta3则： .222scosinitn
3、15本题选择 C 选项 .点睛：(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos 可以知一求二(2)关于 sin ，cos 的齐次式，往往化为关于 tan 的式子6已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，两条渐近线2:1(0,)xyab12F、分别为 ，过 作 于点 ，过 作 于点 为原点，若12l、 1F1Al2F2Bl,O是边长为 的等边三角形，则双曲线 的方程为（ ）AOB3CA. B. C. D. 219xy219xy2139xy2193xy【答案】C【解析】由题意得 002286, ,3B
4、FbOOBab，即双曲线 的方程为 ，选 C.139xy7下列关于命题的说法错误的是（ ）A. 命题“若， ，则 ”的逆否命题为“若 ，则20x2x2x”230xB. “ ”是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件alogafx+，C. 命题“ ，使得 ”的否定是：“ 均有 ”xR210xR210xD. “若 为 的极值点，则 ”的逆命题为真命题0yffx【答案】D【解析】由原命题与逆否命题的构成关系可知答案 A 是正确的；当 时，函数21a在定义域内是单调递增函数，故答案 B 也是正确的；由于存在性命题的2logfx否定是全称命题，所以命题“ ，使得 ”的否定是：“ 均xR210xxR
5、有 ”，即答案 C 是也是正确的；又因为 的根不一定是极值点，210xf第 3 页 共 16 页例如函数 ，则 就不是极值点，也就是说命题31fx230fxx“若 为 的极值点，则 ”的逆命题是假命题，所以应选答案 D。0y8我国古代名著庄子天下篇 中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭 ”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度（单位：尺） ，则处可分别填入的是（ ） Ai7? s=s1i i=i+1Bi128? s=s1i i=2iCi7? s=s12i i=i+1Di128? s=s12i
6、 i=2i【答案】B【解析】程序运行过程中，各变量值如下表所示：第 1 次循环： ，s=112,i=4第 2 次循环： ，s=11214,i=8第 3 次循环： ，s=1121418,i=16依此类推,第 7 次循环： ，s=11214181128,i=256此时不满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i128?，执行框应填入： ，s=s1i应填入：i=2i.本题选择 B 选项.点睛：(1)解决程序框图问题要注意的三个常用变量第 4 页 共 16 页计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如 ii 1.累加变量：用来计算数据之和，如 SSi；累乘变量：用来计算数据之积，如 ppi.(2
7、)使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别9已知函数 ，且 ，则（ sin2fxx0.3231ln,log,2afbfcf）A. B. C. D. cabcbca【答案】D【解析】因为 ，所以函数 的单调递减函数，又os20fx sin2fxx因为 ，即 ，所以由函数的单.3213log0,ln1,e 0.321logl调性可得： ，应选答案 D。0.32llnfff10已知平面向量 满足 ，若 ，则,PAB 11,2PABC的最大值为（ ）ACA. B. C. D. 21312131【答
8、案】D【解析】因为 ，所以 ，即 ，由余弦11,2PABP1cos2APB23APB定理可得 ，如图，建立平面直角坐标系，则+3，由题设点 在以 为圆心，半径为 的圆上3,0,2,Cxy3,021运动，结合图形可知：点 运动到点 时， ,D第 5 页 共 16 页，应选答案 D。max| 13ACDAB11已知三棱锥 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥SC的外接球的表面积为（ ）SA. B. C. D. 32128364【答案】B【解析】如图，取 中点 ，连接 ，则在 中 ACFBRTCF23,4BCFB，在 中， ，所以 ，RTBS442S设球心到平面 ABC 的距离为 d因为
9、 平面 ABC,且底面 为正三角形,所以 .Ad因为 的外接圆的半径为 ,AC3所以由勾股定理可得 ,2248Rd所以三棱锥外接球的表面积是 ,故选 B.213点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.12已知函数 ，直线 过原
10、点且与曲线 相sinco,0fxxLyfx切，其切点的横坐标从小到大依次排列为 ，则下列说法正确的是（ 123,nx ）第 6 页 共 16 页A. B. 数列 为等差数列1nfxnxC. D. ta4nn221nnxf【答案】D【解析】易得 ，故 A 错误，设切点为 ， 1nfx,siconnxx，则切线的斜率为 ，又切线过原点， 则cosifx cf，整理得 ，即 ，sinsinnxta1nnxtan4x故 B,C 错误，因为 ，sico2si4nnnfxxx由得 ，22ii4cos1sn4nnxx即 ，整理得 ，221nnfxx221nnfx故选 D点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用
11、之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点 及斜率，其求法为：设 是曲线 上的一点，则以0,Pxy0,Pxyfx的切点的切线方程为： 若曲线 在点00fyfx的切线平行于 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0,xfy二、填空题13各项为正数的等比数列 中， 与 的等比中项为 ,则na2a103_3438logla【答案】 1【解析】由题设 ，又因为 ，所以210a21048a第 7 页 共 16 页，应填答案 。343834831loglloglaa114已知实数 满足 ，则 最大值为_ ,xy201yx2zxy【答案】5【解析】可行域为一个三角形 ABC 及其内部，其中 ，3122
12、,1,ABC则直线过点 A 时取最大值 515设函数 ，若 在区间 的值域为2log,1 14,3xfxfx,4m，则实数 的取值范围为_1,2m【答案】 8,【解析】函数 的图象如图所示，结合图象易得，当 时， ，故答fx 8,1m1,2fx案为 .8,1【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及数形结合思想，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3 、求不等式的解集；4、研究函数性质16 已知动点 P 在棱长为 1 的正方体 的表面
13、上运动，且线段1ABCD，记点 P 的轨迹长度为 .给出以下四个命题：(0)Arfr ； ； 312f23f23f函数 在 上是增函数， 在 上是减函数.fr0, fr2,其中为真命题的是_（写出所有真命题的序号）【答案】第 8 页 共 16 页【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，如图，则 ，所以 的轨0,APxyzPAr迹的几何意义是以 为圆心 为半径的球面。则 是 的函数，当0,Arlfr时，以 为圆心 为半径的圆与正方体的表面的交线是四分之一圆周长1r弧长，相邻三个侧面的面积之和是 ，故答案正确；13324lf当 时，以 为圆心 为半径的圆过点 ，则 ，2r0,Ar1,BCD23lf故
14、答案不正确；当 时，以 为圆心 为半径的圆过点23r0,Ar，则 ，故答案不正确；由30,1Q123lf于 时，单调递增且当 时， 最大；当 ，单调递减，rrlfr2,3r故答案正确；应填答案。点睛：解答本题的关键是借助题设中提供的新信息，分别逐一验证所给的四个命题的真伪，进而做出正确判断，从而使得问题获解。难点是如何发挥空间想象能力，求解时充分借助图形的直观，借助与发挥空间想象，探求到轨迹的形状（圆弧、线段） ，进而求得其长度，以便做出正确的判断。三、解答题17已知等差数列 满足 ， 的前 项和为 .na3574,1ananS（）求 ；n（）设 ， 为数列 的前 项和，求证： .*21nbN
15、anTnb34nT【答案】 （1） （2）略n第 9 页 共 16 页【解析】试题分析：（）借助等差数列的通项公式建立方程组 求124 0ad出 ，进而求出 ；（）先依据（）的结论求出12 adna，再运用列项相消法求 ，进而运用放缩法212nbnT简单缩放进行推证。解：（）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，因为 ，na1d3574,1a所以有 ，解得 ，124 0ad2 d所以 ；1nn（）由（）知 ，212nban所以 111234512nT2n318继共享单车之后，又一种新型的出行方式-“共享汽车 ”也开始亮相北上广深等十余大中城市，一款叫“一度用车”的共享汽车在广州提供的车型是“奇瑞
16、eQ”，每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1 元/公里+0.1 元/分钟” ，李先生家离上班地点 10 公里，每天租用共享汽车上下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计 40 次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下：时间（分钟） 15,25,35,45,次数 8 14 8 8 2以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为 分钟.15,6（）若李先生上.下班时租用一次共享汽车路上开车不超过 45 分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设 是 4 次使用共享汽车中最优选择的次数，求的分布列和期望.（）若李先生每
17、天上下班使用共享汽车 2 次，一个月（以 20 天计算）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表）.第 10 页 共 16 页【答案】 （）见解析;（）542 元. 【解析】 【试题分析】 （1）运用二项分布建立随机变量的概率分布列，再运用数学期望公式进行求解；（2）运用加权平均数的计算公式分析求解。（）李先生一次租用共享汽车，为最优选择的概率 304p依题意 的值可能为 0，1，2，3，434,B0441(56P3142(2454(6P31408(204(56P分布列0 1 2 3 4P 2562565461082561256或14108343E34E（）每次用车路上平均花的
18、时间（分钟）82205605.t 每次租车的费用约为 10+35.50.1=13.55 元.一个月的平均用车费用约为 542 元. 19如图，多面体 中，四边形 是菱形， EFABCDABC， 相交于 ， ，点 在平面 上的4,60AB,O/EFABCD射影恰好是线段 的中点.O第 11 页 共 16 页（）求证： 平面 ；BDACF（）若直线 与平面 所成的角为 ，求平面 与平面 所成角E45DEFABC（锐角）的余弦值.【答案】 （）见解析;（） .27【解析】 【试题分析】 （1）运用线面垂直的判定定理进行分析推证；（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量的知识及数量积公式分析求解：（）取
19、 AO 的中点 H，连结 EH，则 EH平面 ABCDBD 在平面 ABCD 内，EHBD 又菱形 ABCD 中，ACBD 且EHAC=H，EH、AC 在平面 EACF 内BD平面 EACF，即 BD平面 ACF（）由（）知 EH平面 ABCD，以 H 为原点，如图所示建立空间直角坐标系 H-xyzEH平面 ABCD，EAH 为 AE 与平面 ABCD 所成的角，即EAH45，又菱形 ABCD 的边长为 4，则 23,3AOHE各点坐标分别为 ,E(0,0, 0,3,0,00HAD)3易知 为平面 ABCD 的一个法向量，记 = ， = E n,3EA23,0, = D,23EF/AC， 设平
20、面 DEF 的一个法向量为F 23,0AO（注意：此处 可以用 替代）,mxyzEmF则 EFAO即 , D320yz230x令 ，则， ,0,yx则 , 37cos,nm平面 DEF 与平面 ABCD 所成角（锐角）的余弦值为 . 27第 12 页 共 16 页点睛：立体几何是高中数学中重要知识点与重点内容，也是高考重点考查的考点之一。这类问题的设置常常有两类题型：其一是线面位置关系的推证；其二是距离角度的计算。求解第一问时，运用线面垂直的判定定理进行推证；求解第二问时，则通过建立空间直角坐标系，运用向量的坐标形式的运算，先求两个平面的法向量，再借助向量的数量积公式进行求解，从而使得问题获解
21、。20已知动点 到定点 的距离比 到定直线 的距离小 1.M1,0FM2x（）求点 的轨迹 的方程；C（）过点 任意作互相垂直的两条直线 ，分别交曲线 于点 和 .设12,lC,AB,MN线段 ， 的中点分别为 ，求证：直线 恒过一个定点；ABN,PQP（）在（）的条件下，求 面积的最小值.F【答案】 （1） （2）过定点 ， （3）44yx,0【解析】试题分析：（）先借助抛物线定义确定曲线的形状是抛物线，再确定参数，进而求出 ；（）先依据（）的结论分别建立2p标 准 方 程的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为12,l两 条 互 相 垂 直 的 直 线的坐标，最后借助斜率的变化确定直
22、线 经过定点；（）在（）前提条件,PQPQ下，先求出 ，然后建立 面积关于变量 的函数EFFk，再运用基本不等式求其最小值：121Skk解：（）由题意可知：动点 到定点 的距离等于 到定直线 的距M1,0M1x离.根据抛物线的定义可知，点 的轨迹 是抛物线.C ，抛物线方程为： 2p24yx（）设 两点坐标分别为 ，则点 的坐标为 .,AB12,yP1212,xy由题意可设直线 的方程为 .1l 0ykx第 13 页 共 16 页由 ，得 .24 1yxk22240kxxk.24261因为直线 与曲线 于 两点，所以 .1lC,AB121212244,xykxkk所以点 的坐标为 .P2,k由
23、题知，直线 的斜率为 ，同理可得点 的坐标为 . 2l1Q21,k当 时，有 ，此时直线 的斜率1k2kP.2221PQk所以，直线 的方程为 ，整理得 .221kyxk230ykxy于是，直线 恒过定点 ；P3,0E当 时，直线 的方程为 ，也过点 .1kQx3,0E综上所述，直线 恒过定点 .,（）可求得 .所以 面积 .2EFP1214SFkk当且仅当 时， “ ”成立，所以 面积的最小值为 4.1kQ点睛：圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，也是高考重点考查的考点与热点。解答本土的的第一问时，先借助抛物线定义确定曲线的形状是抛物线，再确定参数 ，2p进而求出 ；第二问是求解则是先依据（）
24、的结论运用点斜式分别建立两标 准 方 程的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为 的12,l条 互 相 垂 直 的 直 线 ,PQ坐标，最后借助斜率的变化确定直线 经过定点；求解第三问时，先在（）前提PQ条件下，求出 ，然后建立 面积关于变量 的函数EFFk，再运用基本不等式求出了其最小值。121Skk第 14 页 共 16 页21已知函数 的图象在 处的切线 过点 .21lnfxaxb1xl1,2（1）若函数 ，求 的最大值（用 表示） ；0gfga（2）若 ，证明： .121214, 3axx12x【答案】(1) ；(2)证明见解析.ln2【解析】试题分析：(1)由题意可得： .结合
25、导函数研究函数的单调性可得 .0bmax1ln2g(2)由题意结合(1) 的结论有，构2121211211213lnfxfxxx造函数 ，结合函数的特征即可证得题中的结论.lnm试题解析：（1）由 ，得 ，1fxab1fab的方程为 ，又 过点 ，l2yxl1,2 ，解得 .11122abab0b ，ln1gxfxxa ，211 (0)xaaxx当 时， ， 单调递增；0,a0g当 时， ， 单调递减.1,xxgx故 .2max11lnln2gaaa（2）证明： ，4，22121211 1213ll 3ffxxxx，2lnx212111lnx第 15 页 共 16 页令 ， ， ，令 得12(
26、0)xmlnm1m0；令 得 .01 在 上递减，在 上递增，, ， ， ，解得： 1m2121xx120x.12x22 【 选修 4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，点 .以极点C =2cos+2sin(0|MB|（1）若 为曲线 上任意一点，求 的最大值，并求此时点 的极坐标；P(,) C P（2）求 .|MA|MB|【答案】 （1） （2）(22,4) |MA|MB|=2+ 3【解析】试题分析：（1）由两角和的正弦公式可得 ，可以求=22sin(+4),0|MB| t |MA|=6+22 |MB|=6- 22故 .|MA|MB|=6+26- 2=2+ 3点睛：
27、在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决转化时要注意两坐标系的关系，注意 的取值范围，取值范围不同对应的曲,线不同23 【 选修 4-5：不等式选讲】已知函数 .f(x)=|x2|（1）求不等式 的解集；f(x)5|x1|第 16 页 共 16 页（2）若函数 的图象在 上与 轴有 3 个不同的交点，求 的取值范围.g(x)=1xf(2x)a (12,+) x a【答案】 （1） （2）1,4 a(222,1)【解析】试题分析：（1）本题可转化为含两个绝对值的不等式，分三种情况去绝对值即可
28、；（2）本题转化为当 有三个不同交点时， 的范围，可作 的h(x)=1x|2x2|,y=a a h(x)图象，得 的范围。a（1）由 ，得 ，f(x)5-|x-1| |x-1|+|x-2|5 或 或 ，x22x-35 1x215 x13-2x5 解得 ，故不等式 的解集为 .-1x4 f(x)5-|x-1| -1,4（2） ，h(x)=1x-f(2x)=1x-|2x-2| =1x-2x+2,x11x+2x-2,12x1 当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号，12x1 h(x)=1x+2x-221x2x-2=22-2 1x=2x x=22 ，h(x)min=22-2当 时， 递减，x1 h(x)=1x-2x+2由 ，得 ，g(x)=1x-f(2x)-a=0 h(x)=a又 ，结合 的图像可得 .h(12)=h(1)=1 h(x) a(22-2,1)
