1、第 1 页 共 16 页2018 届河南省中原名校高三第三次质量考评数学（理）试题一、单选题1已知集合 ， ，则2|0Mx21|,NyxR（ ）NA. B. C. D. |21x|x|x|【答案】C【解析】由 解得 ，所以 ，由20x12|12Mx知 ， ，所以 .故1,yR1y|NyN|选 C.2函数 在 上的单调递减区间为（ ）sin23x2,A. B. C. D. 和5,35,352,3,2【答案】A【解析】因为函数是减函数，所以令 ，12,2kxkZ解得： ，令 ，得： ，故选 A.544,33kxZ053x3已知 ，则 与 的关系是（ ）2221fnn 1fkfA. B. kk21k
2、C. D. 2ff2fkf【答案】A【解析】因为 ，所以 ，22213fnn 22213fkk，故2 1fkk ，应选 A.221f4设 为等比数列 的前 项和且 ，则 （ ）nSna13nSA. B. C. D. 33【答案】D第 2 页 共 16 页【解析】根据等比数列 的前 项和公式知 （na111nnnaqasq） ，又1q，所以 ， ，故选 D.3nnSA13aq13aAq5已知点 在不等式组 ，表示的平面区域上运动，则 的最大值是P(x,y) 2xy0xy0y20 z=x+y（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】画出不等式组 ，表示的平面区域，如图，2x-y
3、0x-y0y-20 平移直线 ，当直线过点 时，直线截距 最大，即当 时， 取得最大值 ，y=-x+z A z x=2,y=2 z 4故选 A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第 层楼时，上下楼造成的不满意度为
4、 ，但高处nn空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第 层楼时，环境不满意度为 ，则同学们认为最适宜的教室应在（ n8）楼A. B. C. D. 2348【答案】B【解析】由题意知同学们总的不满意度 ，当且仅当 ，即842yn8n时，不满意度最小，所以同学们认为最适宜的教室应在 楼，故选 B.2n3 3点睛：本题考查函数在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，特别要学会把实际生产生活中的问题转化为数学问题，抽象出问题的本质 ，进而用数学知识解决，本题在新背景下注意使用基本不等式的性质的合理运用， 从而解决问题7执行如图所示的程序框图，
5、如果输出 ，那么判断框内应填入的条件是（ ）T=6第 3 页 共 16 页A. B. C. D. k32 k33 k64 k65【答案】C【解析】当 ，则 ，T=1log24log46log68logk(k+2)=log2(k+2)=6 k=62时需退出循环，即 时判断框内为是， 为否，故选 C.k=k+2=64 k=62 k=64【点睛】循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出
6、错.8已知函数 定义域是 ，则 的定义域是（ ）21yfx0,121logfxA. B. C. D. 1,2,【答案】D【解析】因为函数 定义域是 ，所以 ，要使函数21yfx0,121x有意义21logfx则需 解得： ，故选 D.10x10x点睛：本题考查抽象函数与已知解析式函数相结合求函数的解析式，属于中档题.解决本题时，注意理解抽象函数的定义域，用“替代”思想理解比较容易懂，同时要注意对数型函数处理定义域时，要注意真数大于 0，做分母时真数不等于 1要切实注意，不要遗漏.9在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且ABCabcABC，若 ， ，则 的面积为（ ）222sin3ab
7、c13A. B. C. D. 【答案】B【解析】由 ,得222sin3abCca，即 ，再由正弦定si osbA in3cosaCA第 4 页 共 16 页理得： ,所以 ，则 ，由余弦定理得sin3sincoACAtan3A，即 ，22coab21196b整理得 ，解得 或 （舍） ，则三角形的面积3404，故选 B.1sin2cA10某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A. B. C. D. 25623【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，几何体的是底面为边长为 的正方形，高为 的四11棱锥，直观图如下，其中平面 平面 ，四个侧面面积分别为ADEBC最大
8、面积是 ，故选 B.125,52【考点】1、几何体的三视图； 2、棱锥的侧面积及三角形面积公式 .11已知双曲线 右焦点为 ， 为双曲线左支上一点，点 ，214xyFP0,2A则 周长的最小值为（ ）APFA. B. C. D. 4122632【答案】A【解析】易得点 ,APF 的周长 = 6,0lAFP，要APF 的周长最小，只需 最小，如图，当2FaPA FA、P、F 三点共线时取到，故 .故选 A.l212a第 5 页 共 16 页点睛：圆锥曲线中与焦半径有关的长度问题常常会用到曲线的第一定义，本题中利用双曲线的定义对目标进行了转化，使得周长 = lAFP，进而只需 最小即可，显然三点共
9、线时和最小.2AFaPA12若对 ， ，有 ，则函数xyR2fxyffy的最大值与最小值的和为（ ）21gfA. B. C. D. 46912【答案】A【解析】令 ，则 ，令 ，则 ，0xyfyx4ffx令 ，则221xhgxf所以 ，故 是奇函数， ， 0hxminin2hxg，而 ，所以 ，maxax2hgminaxi ax20g即 ，故选 A.inm4点睛：本题考查了灵活运用函数奇偶性的性质以及抽象函数的性质，属于难题.本题在处理时，根据抽象函数的性质，可得 ，根据奇函数的性质，最大值4fxf和最小值互为相反数，构造奇函数 ，利用奇函数221xhgf的的性质，可转化为 ，从而求出minm
10、ax20gx.mina4gx13已知函数 的值域为 ，则 的取值集合是2fx,a_【答案】 1,2【解析】因为二次函数的值域为 ，且二次函数开口向上，故函数又最小值为0,第 6 页 共 16 页0，所以判别式 ，解得 ，故填21680a12a1,2二、填空题14已知 ，则 _207sin4xdsin2【答案】 916【解析】试题分析：因为 ，所2 200 7sincos|sinco4xdx 以 ，即 ，所以 27cosin169i16【考点】定积分的运算【技巧点睛】对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路： (1)当“已知角” 有两个时， “所求角”一般表示为两个“ 已
11、知角”的和或差的形式(2)当“已知角” 有一个时，此时应着眼于“ 所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角” 变成“已知角”15如图，设 、 是平面内相交成 角的两条数轴， 、 分别是与 轴、Oxy601e2x轴正方向同向的单位向量，若 ，则 _y 123PeOP【答案】 19【解析】因为，所以应221123493cos6019OPee填 .1916已知 、 是双曲线 （ ， ）的左右焦点，以 为直1F221xyab0ab12F径的圆与双曲线的一条渐近线交于点 ，与双曲线交于点 ，且 、 均在第一MNM象限，当直线 时，双曲线的离心率为 ，若函数 ，则1/ONe2fxx_
12、fe第 7 页 共 16 页【答案】 2【解析】双曲线中 ， ，双曲线的渐近线方程为 ，与圆22cabceabyxa联立，解得 M ，与双曲线方程 联立，解得交点 N22xy,21xyb，直线 MF1与直线 ON 平行时，即有 ，22,aca 2caa即 ，即有 ，所以 ，3230320e20ee所以 ，故填 .2fee三、解答题17设 为等差数列 的前 项和，已知 ， nSna1326a981S（1）求 的通项公式；（2）令 ， ，若 对一切 成立，12nnba12nnTb 30nTm*nN求实数 的最小值m【答案】 （1） （ ） ；（2）5n*N【解析】试题分析：（1）根据等差数列的通项
13、公式，前 n项和公式，列方程组求解即可；（2）采用裂项相消的方法求和，分析 单调性即可求参数的范围.nT试题解析：（1）等差数列 中， ， ，na1326a981S 解得756, 98a7513, 9 ，72d （ ） 5 1nan*nN（2） ，12 1323nnba ，13572nTnn 随着 增大而增大，12 是递增数列，又 ， ，nT1023n16nT第 8 页 共 16 页 ，实数 的最小值为 55m点睛：本题考查了等差数列中基本量的计算，体现了方程思想，以及数列求和的方法，属于中档题.数列求和的方法主要有错位相减法、裂项相消法，公式法、分组求和等方法，注意根据数列特点选择合适的求和
14、方法，求和后分离参数求出 m的取值范围.18某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位： ）有关如果最高气温不低于 25，需求C量为 500瓶；如果最高气温位于区间 ，需求量为 300瓶；如果最高气温低于0,520，需求量为 200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10,5,20,52,30,53,40天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）
15、求六月份这种酸奶一天的需求量 （单位：瓶）的分布列；X（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 （单位：元） 当六月份这种酸奶一天的Y进货量（单位：瓶）为多少时， 的数学期望达到最大值？【答案】 （1）分布列为：X203050P15252（2） 30【解析】试题分析：（1）由题意知 的可能取值为 200，300，500 ，分别求出相应的X概率，由此能求出 的分布列（2 ）当 时， ， ；当n6420Yn40EY时， ；当 时， ；当03max50E35nmax52时， 从而得到当 时， 最大值为 520 元5a4试题解析：(1）易知需求量可取 200，300,500， ， 216035PX 36
16、205PX，745则分布列为： 203050P15252（2）当 时， ，此时 ，当 时取到；20n64Ynmax40Y0n第 9 页 共 16 页当 时， 203n 41202025Ynn，868055此时 ，当 时取到；maxEY3n当 时，30n122220030555nn，此时 ；当 时，易知一定小于的情况Y综上所述，当 时，取到最大值为 5203n19在三棱柱 中，侧面 为矩形， ， ， 1ABC1AB2AB12是 的中点， 与 交于点 ，且 平面 D1DOC1（1 ）证明：平面 平面 ；1ABCD（2 ）若 ， 的重心为 ，求直线 与平面 所成角的正弦O1GDABC值【答案】 （1
17、）证明见解析；（2） 365【解析】试题分析：（1）通过证明 ， ，推出 平面 ，1ABCO1BD1ABCD然后证明平面 平面 （2）以 为坐标原点，分别以 ， ， 1ABCDO1所在直线为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系 求出平面Oxyz xyz的法向量，设直线 与平面 所成角 ，利用空间向量的数量积求解直线GABC与平面 所成角的正弦值即可GD试题解析：（1） 为矩形， ， ， 是 的中点，1212D1A ， ， ， ，90BA9011A从而 ， ，2tanD11tan2B第 10 页 共 16 页 ， ， ，0ABD121ABD ，1 12 ，从而 ，2O1 平面 ， 平面 ，C
18、AB1AB ，1 ， 平面 ，DO1CD 平面 ，1AB平面 平面 C（2）如图，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴OOD1BCxyz建立如图所示的空间直角坐标系 xyz在矩形 中，由于 ，所以 和 相似，1AB1/AA1从而 ，12OD又 ， ，211326BD ， ， ， ，63B6OA143 ， ， ， ， 20,A2,03B20,C1430,B，6,3D 为 的重心， ， ，G1ABC230,9G623,9GD设平面 的法向量为 ，,nxyz， ，263,0AB 230,A由 可得 整理得, 0nC26, 30,xyz20, xyz第 11 页 共 16 页令 ，则
19、 ， ， ，1yz2x2,1n设直线 与平面 所成角 ，则GDABC，632,19365sinco, 07n所以直线 与平面 所成角的正弦值为 GDABC365点睛：本题考查了空间线线垂直，线面垂直，面面垂直，以及用坐标法求线与面所成角的三角函数值，属于中档题.解题时，首先观察图形，建立合适的空间直角坐标系，写出点的坐标，通过计算得到向量坐标，利用相关平行、垂直、夹角的公式计算即可，注意运算得准确性.20已知椭圆 ： 的离心率为 ，且过点 若点C21(0)xyab123,2在椭圆 上，则点 称为点 的一个“椭点” 0,Mxy0,NM（1）求椭圆 的标准方程；（2）若直线 ： 与椭圆 相交于 ，
20、 两点，且 ， 两点的“椭点”lkxmCABAB分别为 ， ，以 为直径的圆经过坐标原点，试求 的面积PQO【答案】 （1） ；（2） 2143xy3【解析】试题分析：(1) 由 ,用 表示 ，将点 代入椭圆方程可求出 的ec,ab31,2c值，从而求出 的值，得到椭圆的方程；(2) 设 ，则,ab 12,AxyB，由以 为直径的圆经过坐标原点，得 即12,23xyxyPQPQ0OPQ第 12 页 共 16 页，将直线方程代入椭圆方程，由根与系数关系得到12043xy，代入关系式 得到 与 的关21212438,mkxk12043xymk系式 ，再求出弦长 与点 到直线 的距离，即可求得243
21、mABO:lk三角形 的面积.OAB试题解析： （）由 ，得 ， （1 分）1e2ac又 ， （2 分）22,3abc椭圆 ，因点 在 上， ，得 ，（3 分）31,2C2914+3c1c， （4 分）,ab所以椭圆 的方程为： ；（5 分）213xy（）设 ，则 ，12,AyB12,23xyxyPQ由以 为直径的圆经过坐标原点，得 ，PQ0O即 （1）（6 分）12043xy由 ，消除 整理得： ，2 kmy22348430kxm由 ，得 ，22641340kk而 （2）（7 分）121238,mxx（3）2221212114mkykkxx将（2） （3 ）代入（1 ）得： ，224340k
22、即 ， （8 分）24mk第 13 页 共 16 页又 ，（9222 2114834kmABkxx分）原点 到直线 的距离 ，（10 分）O:lykxm21dk，（11 分）222483112AB mSdk 把 代入上式得 ，即 的面积是为 .（12 分）43mkAOBSAOBS3【考点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3. 新定义问题.21已知函数 2lnafxxR（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；2ayf1,f（2）若 在 处取得极小值，求实数 的取值范围gxfaxa【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）当 时， ，利用导数几何意义，求出2lnf
23、x函数在 处的切线斜率，再求出切线方程；（2）对函数 求导，令x gx，讨论 的单调性，对 分情况讨论，得出实数lnhgaxhxa的取值范围.a试题解析：（1）当 时， ， ， 22lnfln12fxx，所以曲线 在点 处的切线方程为 .,1ffyx1,fy（2）由已知得 ，则 ，2lnagxlgxa记 ，则 ，hx0,h当 ， 时， ，函数 单调递增，0a,xx所以当 时， ，当 时， ，,1xg1,0g所以 在 处取得极小值，满足题意.g当 时， 时， ，函数 单调递增，01a0,xa0hxgx可得当 时， ， 时， 当，,xg1,a0第 14 页 共 16 页所以 在 处取得极小值，满足
24、题意.gx1当 时，当 时， ，函数 单调递增，a0,0hxgx时， ， 在 内单调递减，,xhxg1,所以当 时， ， 单调递减，不合题意.,x当 时，即 ，当 时， ， 单调递减，1a01a,1a0hgx，当 时， ， 单调递减， ，gx,0hxgx0所以 在 处取得极大值，不合题意.1综上可知，实数 的取值范围为 .a1a点睛：本题主要考查了导数在研究函数单调性、最值上的应用，考的知识点有导数几何意义，导数的应用等，属于中档题。分类讨论时注意不重不漏。22在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 （ 为参数） ，xOyl21, xty以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆
25、的极坐标方程为C，且直线 与圆 相交于不同的 ， 两点4cos2inmlCAB（1）求线段 垂直平分线 的极坐标方程；ABl（2）若 ，求过点 与圆 相切的切线方程4,N【答案】 （1） ；（2） 或 cosin34x51280y【解析】试题分析：（1）消去参数 t即可得到直线 l的普通方程；利用 ， cosx将曲线 C转化为极坐标方程；（2）设切线方程后，利用圆心到直线的距离siny等于半径求解.试题解析：（1）消去参数 ，得直线 的普通方程为 ，斜率为 1，tl10xy所以直线 的斜率为 l1因为圆 的极坐标方程可化为 ，C24cosinm所以将 ， ， ， 代入上述方程得圆22xysxx
26、siy的直角坐标方程为 ，配方，得 ，20y2215m其圆心为 ，半径为 （ ） 2,1C5m第 15 页 共 16 页由题意知直线 经过圆心 ，l2,1C所以直线 的方程为 ，即 ，yx30y所以由 ， ，得直线 的极坐标方程为 cosxsinlcosin3（2）当所求切线的斜率存在时，设切线方程为 ，即4ykx，40kxy由圆心到直线的距离等于半径，得 ，21k解得 ，所以所求切线的方程为 ；512k580xy当所求切线的斜率不存在时，切线方程为 4综上，所求切线的方程为 或 4x1223已知函数 ， fmR213gx（1）当 时，求不等式 的解集；5fx（2）若对任意的 ，都有 ，使得
27、成立，求实数 的取值1xR212fxm范围【答案】 （1） ；（2） 3,5,【解析】试题分析：（1）零点分段求解不等式的解集即可；（2）结合题意和绝对值三角不等式的性质整理计算即可求得最终结果试题解析：（1）当 时， ，1m12fxx当 时， ，由 ，解得 ，所以2x2fx153x；3当 时， 恒成立，所以 ；1135fx2当 时， ，由 ，解得 ，所以x215xx；2综上所述，不等式 的解集为 5fx3,（2）若对任意的 ，都有 ，使得 成立，1R212fxg设 ， ，则 ，|Ayfx|BygAB因为 ，fmxm第 16 页 共 16 页，213gx所以 ，解得 或 ，m5m因此，实数 的取值范围为 ,1,点睛：本题考查了含绝对值不等式的解法及函数值域之间的关系，属于中档题.此类问题的处理方式一般要通过分类讨论的方式去绝对值号，转化为普通不等式的解法，对于函数存在恒成立之类问题，主要是转化思想，本题转化为值域是包含关系，根据数轴写出参数的解.
